Näherungskonstruktionen

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Seitentitel: Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Näherungskonstruktionen
(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Näherungskonstruktionen)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie

Transformation Quadrat in Kreis[Bearbeiten]

Tranformation Quadrat in Kreis

Näherungskonstruktion: Aus einem gegebenen Quadrat wird ein Kreis mit nahezu gleichem Flächeninhalt konstruiert, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunktete Linie ab Punkt N sowie der Punkt O, dienen als Hilfe für die Berechnung des Radius r.

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Zeichne durch den Punkt M zwei zueinander senkrechte Geraden.
  2. Konstruiere das Quadrat ABCD. Die Punkte E, F, G, u. H sind Mittelpunkte der betreffenden Seiten des Quadrates.
  3. Zeichne einen Viertelkreis um den Punkt H mit Radius MH ab dem Punkt M bis zum Punkt D.
  4. Konstruiere die Strecke MJ, sie ist ein Drittel der Strecke MH.
  5. Halbiere die Strecke MJ, es ergibt sich der Punkt K.
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke MG ab dem Punkt K bis zur Strecke CD, es ergeben sich die Schnittpunkte L auf CD und N auf dem Viertelkreis HMD.
  7. Verbinde den Punkt N mit dem Punkt G.
  8. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius GN um den Punkt D, es ergibt sich der Schnittpunkt P auf der Strecke AD . Die Strecke MP ist der gesuchte Radius r.
  9. Zeichne einen Kreis um Punkt M mit dem Radius r.

Fehler[Bearbeiten]

Bei einem Quadrat mit der Seite s = 1 [LE]:

  • Konstruierter Radius r = 0,564189924824387...[LE]
  • Soll-Radius rs = = 0,564189583547756...[LE]
  • Absoluter Fehler = r - rs = 0,000000341276631... = 3,412...E-7 [LE]
  • Mit konstruiertem Radius r erzeugte Kreisfläche A = r2 = 1,000001209794523... [FE]
  • Soll-Kreisfläche As = 1,0 [FE]
  • Absoluter Fehler = A - As = 0,000001209794523... = 1,209...E-6 [FE]
    • Bei einem Quadrat mit der Seite s = 10 km wäre der Fehler des Radius r ≈ 3,4 mm
    • Bei einem Quadrat mit der Seite s = 1 m wäre der Fehler der Kreisfläche A ≈ 1,2 mm2

Berechnung[Bearbeiten]

Die gepunktete Linie ab Punkt N sowie der Punkt O, dienen als Hilfe für die Berechnung des Radius r.

Rechtwinkeliges Dreieck HNO[Bearbeiten]

1.0 

 Gegeben:

 

 

1.1 

1.2 

 

Rechtwinkeliges Dreieck GLN[Bearbeiten]

2.0 

 Gegeben:

 

 

 

2.1 

 

2.2 

 

Rechtwinkeliges Dreieck HMP[Bearbeiten]

3.0 

 Gegeben:

 

 

3.1 

 

3.2 

 

Konstruierter Radius des Kreises[Bearbeiten]

Schema für die Näherungskonstruktion regelmäßiger Vielecke[Bearbeiten]

01- Schema-Vielecke-wiki

Verwendungszweck: Als Hilfsmittel für regelmäßige Vielecke mit gegebenem Umkreis, die keine exakte Lösung haben.

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.
  • Die Hauptelemente sind zwei vertikale Teilerstrahlen s1 und s4, ein horizontaler Zahlenstrahl s2 und ein horizontaler Scheitelstrahl s3.
  • Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar.
  • Tipp: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Zeichne durch den Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Vielecks - mit Radius r.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt M. Der darunter liegende Schnittpunkt (vertikale Mittelachse mit dem Umkreis) ist die erste Ecke A des Vielecks.
  3. Zeichne eine Parallele s1 zur Strecke MA durch den Punkt K.
  4. Zeichne eine Parallele s2 zur Strecke MK durch den Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt L.
  5. Teile die Strecke MA in drei Teile, es ergibt sich der Schnittpunkt r/3.
  6. Trage die Länge r/3, vom Punkt K wegführend, ab Punkt L zweimal auf die Parallele s1 ab, es ergeben sich die Schnittpunkte N und O.
  7. Zeichne eine Parallele s3 zur Parallele s2 durch den Punkt O.
  8. Setze den Punkt P, mit dem Abstand Strecke KO + Strecke MK (oder mit einem ähnlich großen Abstand) zum Punkt O auf die Parallele s3.
  9. Zeichne eine Parallele s4 zur Parallele s1 durch den Punkt P ca. gleich lang wie die Parallele s1.
  10. Trage die Strecke L r/3, einmal ab Punkt r/3 und fünfmal ab Punkt K auf der Parallele s1 ab, es ergibt sich als zehnter Teilungspunkt der Schnittpunkt Q. Die Parallele s1 wird im Folgenden als Teilerstrahl s1 bezeichnet.
  11. Trage die Strecke L r/3, ab Punkt P, zehnmal auf der Parallele s4 ab, es ergibt sich als zehnter Teilungspunkt der Schnittpunkt S. Die Parallele s4 wird im Folgenden als Teilerstrahl s4 bezeichnet.
  12. Verbinde den Punkt N mit dem Punkt R, es ergibt sich der Schnittpunkt V.
  13. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt S durch den Punkt N bis auf die Parallele s3, es ergibt sich der Schnittpunkt T. Der Punkt T ist der Scheitelpunkt für die Strahlen, die vom Teilerstrahl s4 ausgehen.
  14. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt Q durch den Punkt R bis auf die Parallele s3, es ergibt sich der Schnittpunkt U. Der Punkt U ist der Scheitelpunkt für die Strahlen, die vom Teilerstrahl s1 ausgehen.
  15. Verbinde den Punkt L mit dem Punkt V, somit ist das Schema konstruiert.

Regelmäßige Vielecke mit gegebener Seite[Bearbeiten]

Ohne Umkreis und ohne die beiden Mittelachsen ist das Schema auch für regelmäßige Vielecke mit gegebener Seite, die keine exakte Lösung haben, anwendbar.

Siehe hierzu die Beschreibung im Abschnitt "Das regelmäßige Neuneck" unter "Regelmäßiges Neuneck mit gegebener Seite".

Weblinks[Bearbeiten]

  Dritter Strahlensatz
  Zahlenstrahl

Neuneck (Nonagon)[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion mit gegebenem Umkreis

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Die Hauptelemente sind zwei vertikale Teilerstrahlen s1 und s4, ein horizontaler Zahlenstrahl s2 und ein horizontaler Scheitelstrahl s3.
  • Von dem vorgegebenen Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor verkleinert und auf einem vertikalen Teilerstrahl geometrisch addiert oder subtrahiert.
  • Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an 2 ⋅ sin(180°/9) hat, sowie die Anwendung des dritten Strahlensatzes in kompakter Form.

Konstruktion[Bearbeiten]

01-Neuneck-wiki-2
  1. Wähle einen Dezimalbruch der die gewünschte Näherung an 2 ⋅ sin(180°/9) hat.
    • Die Qualität der Näherung ist einfach voraussehbar, wenn ein Dezimalbruch (Anzahl der Nullen im Nenner) eingesetzt wird.
    • Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch 68404/1E+5 = 684040/1E+6 = gewählt.
    • Sechs Nachkommastellen sind gleich dem Wert 2 ⋅ sin(180°/9) = 0,684040286651337...
  2. Verbinde den vierten Punkt des Zahlenstrahls s4 (Zahl 4, Einerstelle des Zählers vom Dezimalbruch) mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 4 auf dem Zahlenstrahl s1. Der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s4 ist dadurch verkleinert (Faktor 1/10).
    • Beachte: Die nächste Stelle (Zehner) des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s4, vor der geometrischen Addition mit der nächsten Dezimalstelle 4, mit dem Faktor 1/100 verkleinert sein!
  3. Verbinde den Punkt 4 des Zahlenstrahls s1 mit dem Scheitelpunkt U, es ergibt sich der Punkt 04. Der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s4 ist nun mit Faktor 1/100 verkleinert.
  4. Greife die Strecke R04 ab und subtrahiere sie vom fünften Teilungspunkt des Zahlenstrahls s1, es ergibt sich der Punkt 404. Da der Wert 404 sehr nahe am vierten Teilungspunkt liegt, wird dieser vor der geometrischen Subtraktion entfernt.
  5. Verbinde den Punkt 404 des Zahlenstrahls s1 mit dem Scheitelpunkt U, es ergibt sich der Punkt 404 auf dem Zahlenstrahl s4.
  6. Greife die Strecke P404 ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Zahlestrahls s4, es ergibt sich der Punkt 8404.
  7. Verbinde den Punkt 8404 des Zahlenstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 8404 auf dem Zahlenstrahl s1.
  8. Greife die Strecke O8404 ab und addiere sie zum sechsten Teilungspunkt des Zahlestrahls s4, es ergibt sich der Punkt 68404.
  9. Verbinde den Punkt 68404 des Zahlenstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 68404 auf dem Zahlenstrahl s1.
  10. Greife die Strecke O68404 ab und addiere sie zum ersten Teilungspunkt N des Zahlestrahls s1, es ergibt sich der Punkt W.
  11. Zeichne eine Parallele zur Strecke LV durch den Punkt W bis zur Strecke NR, es ergibt sich der Schnittpunkt X. Die rote Strecke NX ist die Seite des Neunecks.
  12. Trage die Strecke NX, ab Punkt A, achtmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
  13. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHJ.

Fehler[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 1 [LE]:

  • Konstruierte Neuneckseite s = 0,68404 [LE]
  • Soll-Neuneckseite ss = 2 ⋅ sin(180°/9) ⋅ 1 [LE] = 0,684040286651337... [LE]
  • Absoluter Fehler = sss = -0,000000286651337... = -2.866...E-7 [LE]
    • Bei einem Umkreisradius r = 10 km wäre die Abweichung ≈ -2,9 mm

Berechnung[Bearbeiten]

a) Für das dargestellte Beispiel: Konstruierte Neuneckseite

b) Allgemein: Konstruierte Neuneckseite   Neuneckseite   ( = Umkreisradius)

  • Die Berechnung der konstruierten Neuneckseite geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen / Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnissen auf den Zahlenstrahlen bzw. .
  • Der vorgegebene Dezimalbruch und somit die konstruierte Seite des Neunecks werden auf der Strecke prinzipiell exakt dargestellt.

Neuneck mit gegebener Seite.[Bearbeiten]

Mit geringer Änderung der Arbeitsschritte ist auch eine Näherungskonstruktion mit gegebener Seite des Neunecks machbar.

  • Basiskonstruktion ohne Umkreis und ohne Mittelachsen.
  • Zuerst den Zähler als Strecke NX auf die Strecke NR konstruieren.
  • Die Parallele LV zur Strecke WX einzeichnen, es ergibt sich die Strecke NV.

Die Strecke NV ist der Umkreisradius .

Die Quadratur des Kreises[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion: Aus einem gegebenen Kreis wird ein Quadrat mit nahezu gleichem Flächeninhalt sowie der halbe Kreisumfang konstruiert, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Version 1, halber Kreisumfang (π) als Strecke[Bearbeiten]

Die Quadratur des Kreises und daraus den halben Kreisumfang (π) als Strecke
  1. Zeichne durch den Punkt M zwei zueinander senkrechte Geraden.
  2. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt M, es ergeben sich die Schnittpunkte F auf der horizontalen und G auf der vertikalen Mittelache.
  3. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MG durch den Punkt G und eine Senkrechte zur Strecke MF durch den Punkt F, die Senkrechten schneiden sich im Punkt H.
  4. Konstruiere die Strecke GJ, sie ist ein Drittel der Strecke GH.
  5. Halbiere die Strecke GJ, es ergibt sich der Punkt K.
  6. Übertrage die Strecke GK auf die Strecke MG, es ergibt sich der Punkt L.
  7. Zeichne eine Parallele zur Strecke GH ab dem Punkt L etwas länger als die Strecke GJ.
  8. Übertrage die Strecke GK auf die Parallele aus 7., es ergibt sich der Punkt N.
  9. Übertrage die Strecke GJ auf die Parallele aus 7., es ergibt sich der Punkt O.
  10. Verbinde den Punkt K mit dem Punkt O.
  11. Verbinde den Punkt N mit dem Punkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
  12. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius GK um den Punkt F, er schneidet die Strecke FH im Punkt Q, den Kreis im Punkt R und die Strecke FM im Punkt S.
  13. Errichte eine Senkrechte zur Strecke FM durch den Punkt S und eine Parallele zur Strecke FM durch den Punkt R, es ergibt sich der Schnittpunkt T.
  14. Verbinde den Punkt H mit dem Punkt T.
  15. Zeichne eine Parallele zur Strecke HT durch den Punkt P bis zur Strecke Strecke NO, es ergibt sich der Schnittpunkt U auf dem Kreis und der Schnittpunkt V auf der Strecke NO.
  16. Verbinde den Punkt V mit dem Punkt M. Die Strecke MV ist die halbe Seitenlänge bzw. der Inkreisradius des gesuchten Quadrates.
  17. Zeichne einen Kreisbogen ab dem Punkt V bis auf die Strecke MG, es ergibt sich der Schnittpunkt W.
  18. Übertrage die Strecke MW zweimal auf die horizontale Mittelachse und einmal auf die vertikale Mittelachse, es ergeben sich die Schnittpunkte X, Y, u. Z.
  19. Konstruiere das Quadrat ABCD. Die Punkte W, X, Y u. Z sind Mittelpunkte der betreffenden Seiten des Quadrates.

Halber Kreisumfang (π) als Strecke

  1. Errichte eine Senkrechte auf die Strecke FM im Punkt F.
  2. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt M mit dem Radius AB (s), es ergibt sich der Schnittpunkt F1.
  3. Verbinde den Punkt F1 mit dem Punkt M.
  4. Verlängere die Strecke FM mit einer Geraden ab dem Punkt F.
  5. Errichte eine Senkrechte auf die Strecke MF1 im Punkt F1, es ergibt sich der Schnittpunkt B1 mit der Geraden aus 23..

Die Strecke entspricht .

Fehler[Bearbeiten]

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

  • Konstruierte Seite des Quadrates s = 1,77245384141934376... [LE]
  • Soll-Seite des Quadrates ss = = 1,772453850905516... [LE]
  • Absoluter Fehler = s - ss = -0,000000009486172... = -9,486...E-9 [LE]
  • Fläche des konstruierten Quadrates A = s2 = 3,141592619962188... [FE]
  • Soll-Fläche des Quadrates As = = 3,141592653589793... [FE]
  • Absoluter Fehler = A - As = -0,000000033627605... = -3,3627...E-8 [FE]
  • Fazit: Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von bzw. sind gleich denen von .
    • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1000 km wäre der Fehler der Seite s ≈ -9,5 mm
    • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ -3,4 mm2
    • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler des halben Kreisumfanges U/2 ≈ -3,4 mm

Berechnung[Bearbeiten]

Die gepunkteten schwarzen Linien sowie die Punkte A1, B1, C1, D1 und E1 dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Quadrates s.

Rechtwinkeliges Dreieck A1HN[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

1.0  

  Gegeben aus Zeichnung:

1.1  

1.2  

1.3   Hypotenuse  

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

 

1.4  

 

1.5  

1.6  

1.7  

Stumpfwinkeliges Dreieck HKP (2.0) mit eingebundenem rechtwinkeligen Dreieck B1HP (2.1)[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

2.0 

 Gegeben:

 

 

 

2.1 

 Gegeben:

 

 

 

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

 2.1.1  

Berechnung des arithm. Ausdrucks

Mit dem Additionstheorem

ergibt sich:

 2.1.2  

Mit dem Additionstheorem

ergibt sich:

 2.1.3  

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

2.2  

Berechnung des arithm. Ausdrucks

Mit dem Additionstheorem

ergibt sich:

 2.2.1  

 2.2.2  

2.3  

Mit dem Sinussatz ergibt sich:

 2.3.1  

Gleichschenkeliges Dreieck MFR[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

3.0 

 Gegeben aus Zeichnung:

 

 

3.1 

 Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

 3.1.1  

 3.1.2  

3.2  Höhe zur Seite

 3.2.1  

Rechtwinkeliges Dreieck HE1T[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

4.0 

  Gegeben:

 

 

4.1 

 

4.2  Hypotenuse  

 

4.3 

 

Rechtwinkeliges Dreieck A1HN[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

5.0 

 Gegeben:

 

 

5.1 

 

5.2 

 

Stumpfwinkeliges Dreieck E1HN[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

6.0 

 Gegeben:

 

 

 

 

6.1 

6.2: 

 

Stumpfwinkeliges Dreieck NPV[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

7.0 

  Gegeben:

 

 

 

7.1 

 

Rechtwinkeliges Dreieck LMV[Bearbeiten]
01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

8.0 

  Gegeben:

 

 

 

8.1 

8.2   entspricht der konstruierten Hälfte der Seite des Quadrates.

  Hypotenuse

Konstruierte Seite des Quadrates[Bearbeiten]

Version 2[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion

Quadratur des Kreises

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Zeichne einen Kreis um dessen Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  2. Zeichne die horizontale Mittelachse AB und die vertikale Mittelachse CD.
  3. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse, außerhalb des Kreises, ab dem Punkt A die Strecke AE, sie ist ein Zehntel der Strecke AM.
  4. Trage auf der Strecke AM, in Richtung M, ab dem Punkt A die Strecke AE viermal ab; die Schnittpunkte sind F, G, H und I.
  5. Ziehe den Hilfskreis um M und durch E, er wird im Folgenden Hilfskreis durch E genannt.
  6. Halbiere die Strecke AE; der Schnittpunkt ist J.
  7. Ziehe den Hilfskreis um M und durch J, der Schnittpunkt auf der horizontalen Mittelachse ist K; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch J genannt.
  8. Halbiere die Strecke FG; der Schnittpunkt ist L.
  9. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt N mit einem Abstand |CN|, der gleich lang ist wie die Strecke GJ.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt O mit einem Abstand |KO|, der gleich lang ist wie die Strecke ML.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt P mit einem Abstand |AP|, der gleich lang ist wie die Strecke EF.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Q mit einem Abstand |BQ|, der gleich lang ist wie die Strecke AL.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt R mit einem Abstand |AR|, der gleich lang ist wie der Abstand |DI|.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt S mit einem Abstand |AS|, der gleich lang ist wie die Strecke ML.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt T mit einem Abstand |DT|, der gleich lang ist wie die Strecke MF.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt U mit einem Abstand |KU|, der gleich lang ist wie die Strecke KM.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt V mit einem Abstand |JV|, der gleich lang ist wie die Strecke EI.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt W mit einem Abstand |CW|, der gleich lang ist wie die Strecke BI.
  19. Ziehe ab dem Punkt W eine Linie durch den Punkt V, der Schnittpunkt Z ist auf dem Hilfskreis durch E.
  20. Ziehe ab dem Punkt Z eine Linie durch den Punkt U, der Schnittpunkt A1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  21. Ziehe ab dem Punkt A1 eine Linie durch den Punkt T, der Schnittpunkt B1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  22. Ziehe ab dem Punkt B1 eine Linie durch den Punkt S, der Schnittpunkt C1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  23. Ziehe ab dem Punkt C1 eine Linie durch den Punkt R, der Schnittpunkt D1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  24. Ziehe ab dem Punkt D1 eine Linie durch den Punkt Q, der Schnittpunkt E1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  25. Ziehe ab dem Punkt E1 eine Linie durch den Punkt P, der Schnittpunkt F1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  26. Ziehe ab dem Punkt F1 eine Linie durch den Punkt O, der Schnittpunkt G1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  27. Ziehe ab dem Punkt G1 eine Linie durch den Punkt N, der Schnittpunkt H1 ist auf dem Hilfskreis durch E.
  28. Ziehe ab dem Punkt H1 eine Linie bis zum Punkt E, der Schnittpunkt I1 ist auf der vertikalen Mittelachse CD.
Mit der Strecke MI1 ist somit angenähert die halbe Seitenlänge des gesuchten Quadrates konstruiert.
  1. Konstruiere abschließend mittels der Strecke MI1 das Quadrat A' B' C' D'.
  • Somit ergibt sich:
Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der des gegebenen Kreises.

Fehler[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Quadrates in GeoGebra .
  • Seitenlänge des Quadrates .
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates .
  • Fläche des konstruierten Quadrates .
  • Die Fläche des Quadrates
  • Absoluter Fehler des Quadrates .

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

  • Bei einem Radius r = 1 Mrd.km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min) wäre der Fehler der konstruierte Seite des Quadrats ca. 1 mm
  • Bei einem Radius r = 100 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats ca. 36 mm2.

Weblinks[Bearbeiten]

Dreiteilung des Winkels 60°[Bearbeiten]

01- Dreiteilung des Winkels 60°
  • Näherungskonstruktion
  • "Konstruktionsprinzip", "Konstruktion Winkel 0 > bis 180°" u. a. m. siehe Kapitel Dreiteilung des Winkels.
  • Beginnt der Kreisbogen b um den Punkt M ab dem Punkt E und endet im Punkt B, ist der Punkt G auf der Hilfslinie g gut erkennbar. Somit kann bereits ein Winkel 60° direkt gedrittelt werden.

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Zeichne durch den Punkt M eine horizontale Gerade.
  2. Bestimme den beliebigen Punkt A auf dieser Gerade, es ergibt sich die Strecke MA als erster Winkelschenkel.
  3. Konstruiere den Winkel 60° um den Punkt M entgegen dem Uhrzeigersinn, mittels je einem kurzen Kreisbogen um den Punkt A sowie um den Punkt M mit dem Radius gleich der Strecke MA, die beiden Kreisbogen schneiden sich im Punkt B
  4. Verbinde den Punkt M mit dem Punkt B, es ergibt sich der zweite Winkelschenkel.
  5. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W1.
  6. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W2, die Länge der Strecke MW2 etwas länger als
  7. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W3, etwas länger als die Strecke MA.
  8. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W4, etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W3.
  9. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt B bis zur Winkelhalbierende W4, es ergibt sich der Schnittpunkt E auf W4 und der Schnittpunkt D auf W3.
  10. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt E den Punkt D anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte E und D angelegt), aber nur bis zum Punkt E verläuft. Somit ist zwischen den Punkten E und D keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MED für den späteren Schnittpunkt H frei zugänglich.
  11. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt E mit dem Radius gleich dem Abstand |DE|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt F.
  12. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke FG, sie ist ein Drittel der Strecke EF.
  13. Zeichne einen Kreis um den Punkt G mit dem Radius gleich der Strecke EF, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MED der Schnittpunkt H.
  14. Verbinde den Punkt H mit dem Punkt M, die Winkelschenkel MH und MA schließen den Winkel ein.
  • Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.

Zusätzliche Approximationen herleitbar[Bearbeiten]

  • Neuneckseite
  • Seite vom 36-Eck, Näherungskonstruktion Winkel 10°
  • Näherungskonstruktion Winkel 5°

Fehler[Bearbeiten]

  • Die Fehler der Winkel bzw. sind zu gering für eine korrekte Anzeige in GeoGebra, sie werden deshalb als exakt 20° bzw. 40° angezeigt.
  • Neuneckseite, bei einem Radius r = MA = 100.000 km wäre der Fehler an der Sehne ca. 8,6 mm.

Berechnung[Bearbeiten]

  • Im Kapitel Neuneck, unter Berechnung sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels 60° aufgezeigt.

Weblinks[Bearbeiten]

Wikibooks-logo.svg Neuneck

Wikibooks-logo.svg Dreiteilung des Winkels

Wikibooks-logo.svg Drittel der Strecke

 Dreiteilung des Winkels

Verdoppelung des Würfels[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion

01-Würfelverdoppelung-E-15-3
01-Würfelverdoppelung-E-15-2

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Konstruiere ein Quadrat mit einer beliebigen Seitenlänge a1 und bezeichne die Ecken gegen den Uhrzeigersinn mit A, B, C, und D.
  2. Bestimme mithilfe zweier kurzer Diagonalenabschnitten den Mittelpunkt M des Quadrates.
  3. Zeichne den Umkreis des Quadrates.
  4. Zeichne die horizontale Mittelachse EF und die vertikale Mittelachse GH, damit ergeben sich die Schnittpunkte I, J, K und L auf den Seiten des Quadrates.
  5. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse die Strecke IN, sie ist ein Zehntel der Strecke IJ.
  6. Trage auf der Strecke EM die Strecke IN einmal ab dem Punkt I in Richtung Punkt E und zweimal ab dem Punkt N in Richtung Punkt M ab, damit ergeben sich die Punkte O, P, und Q.
  7. Halbiere die Strecke IO, damit ergibt sich der Punkt R.
  8. Trage auf der Strecke EM ab dem Punkt E die Strecke OR ab, damit ergibt sich der Schnittpunkt S.
  9. Zeichne einen Hilfskreis um den Mittelpunkt M durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt T auf der Strecke MF; er wird im Folgenden Hilfskreis durch S genannt.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt U, mit einem Abstand |GU|, der gleich lang ist wie die Strecke IN.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt V mit einem Abstand |PV|, der gleich lang ist wie der Abstand |PH|.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt W mit einem Abstand |GW|, der gleich lang ist wie die Strecke QS.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt Z mit einem Abstand |CZ|, der gleich lang ist wie die Strecke MS.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt A1 mit einem Abstand |DA1|, der gleich lang ist wie die Strecke QS.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt B1 mit einem Abstand |TB1|, der gleich lang ist wie die Strecke PS.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt C1 mit einem Abstand |LC1|, der gleich lang ist wie die Strecke MN.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt D1 mit einem Abstand |BD1|, der gleich lang ist wie die Strecke NS.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt E1 mit einem Abstand |DE1|, der gleich lang ist wie die Strecke EI.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch S den Punkt F1 mit einem Abstand |BF1|, der gleich lang ist wie die Strecke MQ.
  20. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt E1, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Umkreis.
  21. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt D1, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Umkreis.
  22. Zeichne ab dem Punkt H1 eine gerade Linie durch den Punkt C1, damit ergibt sich der Schnittpunkt I1 auf dem Umkreis.
  23. Zeichne ab dem Punkt I1 eine gerade Linie durch den Punkt B1, damit ergibt sich der Schnittpunkt J1 auf dem Umkreis.
  24. Zeichne ab dem Punkt J1 eine gerade Linie durch den Punkt A1, damit ergibt sich der Schnittpunkt K1 auf dem Umkreis.
  25. Zeichne ab dem Punkt K1 eine gerade Linie durch den Punkt Z, damit ergibt sich der Schnittpunkt L1 auf dem Umkreis.
  26. Zeichne ab dem Punkt L1 eine gerade Linie durch den Punkt W, damit ergibt sich der Schnittpunkt M1 auf dem Umkreis.
  27. Zeichne ab dem Punkt M1 eine gerade Linie durch den Punkt V, damit ergibt sich der Schnittpunkt N1 auf dem Umkreis.
  28. Zeichne ab dem Punkt N1 eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt O1 auf dem Umkreis.
  29. Verbinde den Punkt O1 mit dem Punkt E, damit ergibt sich der Schnittpunkt P1 auf der vertikale Mittelachse GH.
  30. Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Mittelpunkt M mit dem Radius MP1, der Schnittpunkt Q1 ist auf der vertikale Mittelachse GH.
  • Somit ergibt sich:
a) Die Strecke P1Q1, sie entspricht der Seitenlänge a2 des Würfels 2.
b) Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist..

Fehler[Bearbeiten]

Bezogen auf einem Würfel mit der Seitenlänge a1 = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des verdoppelten Würfels in GeoGebra
  • Seitenlänge des verdoppelten Würfels
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des verdoppelten Würfels
  • Volumen des verdoppelten Würfels mit konstruierter Seitenlänge in GeoGebra
  • Volumen des verdoppelten Würfels
  • Absoluter Fehler des Volumens mit konstruierter Seitenlänge

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

  • Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a1 = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a2 des verdoppelten Würfels 2 ca. -1,2 mm.
  • Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a1 = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 ca. -5,5 dm3 oder ca. -5,5 Liter.

Weblinks[Bearbeiten]