Neuneck
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(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Neuneck)
Neuneck (Nonagon)[Bearbeiten]
- Näherungskonstruktion für das regelmäßige Neuneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.
- Einleitung und Erklärungen zu "Mathematische Zusammenhänge", "Konstruktionen" mit weiteren Näherungskonstruktionen u. a. m. sind in dem Artikel Neuneck enthalten.
Konstruktion[Bearbeiten]
Besonderheit[Bearbeiten]
- Die Darstellung zeigt eine Konstruktion bei gegebenem Umkreis. Eine Alternative bei gegebener Seite ist mit "alternativ" gekennzeichnet.
Konstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]
- Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
- Bestimme den Punkt S auf der Strecke MJ. In der Darstellung wurde hierfür die Strecke MJ halbiert. Prinzipiell ist die Lage des Punktes S bei gegebenem Umkreis frei wählbar.
- Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt S, es ist der Umkreis des späteren Neunecks.
- Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Punkt J mit dem Radius MJ.
- Bestimme den Punkt B mit einem Abstand |SB|, der gleich lang ist wie die Strecke MS. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
- Zeichne eine gerade Linie ab dem Punkt M bis zum kurzen Kreisebogen, es ergibt sich der Schnittpunkt K.
- Verbinde den Punkt K mit dem Punkt J, somit entsteht das gleichseitige Dreieck MJK.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W1.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W2, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W3, etwas länger als die Strecke MJ.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W4, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W3.
- Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W4, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W4 und der Schnittpunkt N auf W3.
- Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
- Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
- Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
- Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
- Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M, es ergibt sich der Schnittpunkt A auf dem Umkreis des entstehenden Neunecks.
- Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, es ergibt sich die erste Seite des entstehenden Neunecks.
- Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
- Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.
Fehler der ersten Seite[Bearbeiten]
1.0
Gegeben:
1.1
1.2
Beispiel zur Verdeutlichung[Bearbeiten]
Bei einem Umkreisradius r = 100.000 km wäre der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm.
Konstruktion bei gegebener Seite[Bearbeiten]
- Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
- Konstruiere über und mittels der Strecke MJ ein gleichseitiges Dreieck und bezeichne den dritten Eckpunkt mit K.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W1.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W2, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W3, etwas länger als die Strecke MJ.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W4, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W3.
- Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W4, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W4 und der Schnittpunkt N auf W3.
- Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
- Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
- Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
- Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
- Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M.
- Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W5.
- Zeichne auf der Winkelhalbierenden W5 einen Kreis um den in der Lage frei wählbaren Punkt T mit einem Radius, der gleich der halben gegebenen Neuneckseite ist.
- Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierende W5 durch den Punkt T, es ergibt sich auf dem Kreis um Punkt T der Schnittpunkt V.
- Konstruiere eine Parallele zur Winkelhalbierende W5 ab dem Punkt V bis zur Strecke MK, es ergibt sich der Schnittpunkt B. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
- Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt B, es ist der Umkreis des entstehenden Neunecks. Es ergibt sich der Schnittpunkt A auf der Strecke MR.
- Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, dies ist die erste Seite des entstehenden Neunecks.
- Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
- Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.
Fehler des Umkreisradius[Bearbeiten]
2.0
Gegeben:
2.1
Beispiel zur Verdeutlichung[Bearbeiten]
Bei einer Seitenlänge s1 = 10.000 km wäre der konstruierte Umfangsradius r ≈ 14.629,0219989 km um ca. 1,8 mm zu kurz.
Berechnung[Bearbeiten]
Kreissektor mit gleichseitigem Dreieck MJK[Bearbeiten]
1.0
Gegeben aus Zeichnung:
1.1
1.2
1.3
Rechtwinkeliges Dreieck PNT[Bearbeiten]
2.0
Gegeben:
- Der Punkt liegt mittig auf der Sekante
2.1
2.2
2.3
Rechtwinkeliges Dreieck MNU[Bearbeiten]
3.0
Gegeben:
3.1
3.2
3.3
Rechtwinkeliges Dreieck MQU[Bearbeiten]
4.0
Gegeben:
4.1
4.2
4.3
Stumpfwinkeliges Dreieck MQR[Bearbeiten]
5.0
Gegeben:
Mit dem Kosinussatz ergibt sich:
5.1
Nebenwinkel JMR[Bearbeiten]
6.0
Gegeben:
6.1
Zentriwinkel RMK[Bearbeiten]
7.0
Gegeben:
7.1
Erste Seite des Neunecks[Bearbeiten]
8.0
Gegeben:
- 8.1
8.2
Konstruierter Umkreisradius bei gegebener Seite s1[Bearbeiten]
9.0
Gegeben:
9.1
Umkreisradius bei gegebener Seite s1[Bearbeiten]
10.0
Gegeben:
10.1
Weblinks[Bearbeiten]
Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme
Drittel der Strecke in diesem Buch im Kapitel Verschiedenes
Neuneck mit gegebener Seitenlänge