(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 65537-Eck) (Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 65537-Eck)
[ Bearbeiten ] Da eine exakte Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht praktikabel abgebildet werden kann, wird im Folgenden mithilfe GeoGebra die erste Seite als Näherungskonstruktion in einer stark vergrößerter Ansicht dargestellt. Es sei ein Kreis um
M
{\displaystyle M}
A
M
¯
{\displaystyle {\overline {AM}}}
Halbgerade durch
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
E
65537
{\displaystyle E_{65537}}
Halbgerade senkrecht zu
A
E
65537
¯
{\displaystyle {\overline {AE_{65537}}}}
M
{\displaystyle M}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
Strecken
A
D
¯
=
1
10
⋅
A
M
¯
=
A
F
¯
=
F
G
¯
=
G
H
¯
=
H
I
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}
Kreis um
M
{\displaystyle M}
D
{\displaystyle D}
J
{\displaystyle J}
Strecke
A
K
¯
=
D
K
¯
{\displaystyle {\overline {AK}}={\overline {DK}}}
M
{\displaystyle M}
K
{\displaystyle K}
Bestimmen der Funktionspunkte: Es beginnt mit Punkt
L
{\displaystyle L}
E
65537
{\displaystyle E_{65537}}
F
K
¯
{\displaystyle {\overline {FK}}}
|
E
65537
L
|
=
F
K
¯
{\displaystyle |E_{65537}L|={\overline {FK}}}
N
{\displaystyle N}
|
B
N
|
=
A
H
¯
{\displaystyle |BN|={\overline {AH}}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
|
E
65537
A
1
|
=
M
A
¯
{\displaystyle |E_{65537}A_{1}|={\overline {MA}}}
Einzeichnen der Kreissekanten: Es beginnt mit der Sekante ab
A
1
{\displaystyle A_{1}}
W
{\displaystyle W}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
V
{\displaystyle V}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
D
1
{\displaystyle D_{1}}
M
1
{\displaystyle M_{1}}
Verbinde den Punkt
M
1
{\displaystyle M_{1}}
M
{\displaystyle M}
E
1024
{\displaystyle E_{1024}}
M
E
65537
E
1024
{\displaystyle ME_{65537}E_{1024}}
[ Bearbeiten ]
65537-Eck, 1. Vergrößerung
Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens
M
E
65537
E
1024
{\displaystyle ME_{65537}E_{1024}}
dreimal den Winkel
E
65537
M
E
1024
{\displaystyle E_{65537}ME_{1024}}
ergibt die Ecken
E
512
,
E
256
{\displaystyle E_{512},E_{256}}
E
128
{\displaystyle E_{128}}
65537-Eck, 2. Vergrößerung
Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens
M
E
65537
E
128
{\displaystyle ME_{65537}E_{128}}
viermal den Winkel
E
65537
M
E
128
{\displaystyle E_{65537}ME_{128}}
ergibt die Ecken
E
64
,
E
32
,
E
16
{\displaystyle E_{64},E_{32},E_{16}}
E
8
{\displaystyle E_{8}}
65537-Eck, 3. Vergrößerung
Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens
M
E
65537
E
8
{\displaystyle ME_{65537}E_{8}}
dreimal den Winkel
E
65537
M
E
8
{\displaystyle E_{65537}ME_{8}}
ergibt die Ecken
E
4
,
E
2
{\displaystyle E_{4},E_{2}}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E65537 E1 = a des regelmäßigen 65537-Ecks.
Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra)
μ
1024
=
5,624
91417062117
∘
{\displaystyle \mu _{1024}=5{,}62491417062117^{\circ }}
Winkel
μ
1024
S
O
L
L
=
360
∘
⋅
1024
65537
=
5,624
91417062118
∘
{\displaystyle \mu _{1024\;SOLL}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5{,}62491417062118^{\circ }}
Absoluter Fehler des konstruierten Winkels
F
μ
1024
=
μ
1024
−
μ
1024
S
O
L
L
=
−
1
E
−
14
∘
{\displaystyle F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;SOLL}=-1E-14^{\circ }}
(1 Winkelsekunde =
1
∘
3600
{\displaystyle {\frac {1^{\circ }}{3600}}}
Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra)
a
=
E
65537
E
1
¯
=
9,587
23363103780
E
−
5
[
L
E
]
{\displaystyle a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]}
Seite des 65537-Ecks
a
S
O
L
L
=
2
⋅
sin
(
180
∘
65537
)
=
9,587
2336310378200
E
−
5
[
L
E
]
{\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]}
Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite
F
a
=
a
−
a
S
O
L
L
=
−
2
E
−
19
[
L
E
]
{\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]}
Absoluter Fehler der letzten Seite
F
a
65537
=
−
F
a
⋅
65537
=
2
E
−
19
⋅
65537
=
1,310
74
E
−
14
[
L
E
]
{\displaystyle F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]}
Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra)
μ
=
5,493
08024474723
E
−
3
∘
{\displaystyle \mu =5{,}49308024474723E-3^{\circ }}
Zentriwinkel
μ
S
O
L
L
=
360
∘
65537
=
5,493
0802447472420
E
−
3
∘
{\displaystyle \mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5{,}4930802447472420E-3^{\circ }}
Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel
F
μ
=
μ
−
μ
S
O
L
L
=
−
1
,
2...
E
−
17
∘
{\displaystyle F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=-1{,}2...E-17^{\circ }}
Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen [ Bearbeiten ] Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.
![{\displaystyle a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e5b1c3fbd3091428794d9d876957c672b16c2f)
![{\displaystyle a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d680c43dd7be36e967d25982ab3bd15d2c71d)
![{\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3354fd5327298110908fc2e5110e175556097f4b)
![{\displaystyle F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0cd39604df09e99f9d56559fc4559745cea06a)
65527-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias und einem Programm für dynamische Geometrie als zusätzliche Hilfsmittel
