Die drei antiken Probleme

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Seitentitel: Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Näherungskonstruktionen: Die drei antiken Probleme
(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Näherungskonstruktionen: Die drei antiken Probleme)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie → Näherungskonstruktionen

Als Die drei antiken Probleme oder Klassische Probleme der antiken Mathematik werden bezeichnet:

  • die Quadratur des Kreises
  • die Dreiteilung des Winkels
  • die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen nicht (exakt) als  Konstruktion mit Zirkel und Lineal lösbar.

  • Lösungskriterien, Historisches u. a. m. sind im Artikel  Klassische Probleme der antiken Mathematik enthalten.
  • In diesem Kapitel werden zu den drei klassischen Problemen Methoden aufgezeigt, mit denen außergewöhnlich genaue Näherungslösungen möglich sind. Die Approximationen sind auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung auf Format DIN A4 darstellbar.

Hilfsmittel[Bearbeiten]

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl[Bearbeiten]

Verwendungszweck[Bearbeiten]

  • Für Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels u. a. m., in denen ein Bruch als exakte Strecke benötigt wird.
  • Vorzugsweise geeignet für Brüche > >

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.
  • Die Hauptelemente sind ein horizontaler Zahlenstrahl s1, zwei vertikale Teilerstrahlen s2 und s4, ein horizontaler Scheitelstrahl s3, zwei Diagonalstrahlen s5 und s6 und zwei Hilfsstrahlen s7 und s8.
  • Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar.
  • Tipp: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

Konstruktion[Bearbeiten]

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl
  1. Zeichne durch den Punkt A den horizontalen Zahlenstrahl s1, er ist für die Darstellung des konstruierten Zählers und des konstruierten Nenners bestimmt.
  2. Zeichne den Teilerstrahl s2 durch den Punkt A senkrecht zum Zahlenstrahl s1.
  3. Trage z. B. zwei gleichlange Strecken ab dem Punkt A nach unten auf dem Teilerstrahl s2 ab und bezeichne deren Endpunkte mit B bzw. C.
  • Beachte: Die Position des Punktes A vom Strahl s1 auf dem Strahl s2 (Abstand zu Punkt C) ist frei wählbar.
  1. Zeichne durch den Punkt C den zum Zahlenstrahl s1 parallelen Scheitelstrahl s3.
  2. Trage die Strecke AB achtmal ab dem Punkt A nach oben auf dem Teilerstrahl s2 ab, es ergibt sich der Schnittpunkt D,10, der Teilerstrahl s2 ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
  3. Konstruiere die Strecke CE auf dem Scheitelstrahl s3 mittels eines Kreisbogens um C mit dem Radius gleich der Strecke CD,10.
  4. Zeichne den Teilerstrahl s4 ab dem Punkt E parallel zum Teilerstrahl s2.
  5. Trage die Strecke AB einmal ab dem Punkt E sowie achtmal ab dem Punkt 2 auf dem Teilerstrahl s4 ab, es ergeben sich die Schnittpunkte F und 10,G, der Teilerstrahl s4 ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
  6. Verbinde den Punkt B mit dem Punkt F.
  7. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s5 ab dem Scheitelstrahl s3 durch den Punkt B bis zum Punkt 10,G, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s3 der Scheitelpunkt H. Der Scheitelpunkt H ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s4 ausgehen.
  8. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s6 ab dem Scheitelstrahl s3 durch den Punkt F bis zum Punkt D,10, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s3 der Scheitelpunkt I. Der Scheitelpunkt I ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s2 ausgehen.
  9. Teile den Scheitelstrahl s3 in drei gleichlange Teile, es ergeben sich die Punkte J und K.
  10. Zeichne die Hilfsstrahlen s7 und s8 jeweils senkrecht zum Scheitelstrahl s3 ab dem Punkt J bzw. ab dem Punkt K. Die beiden Hilfsstrahlen werden alternativ nur zur Lagebestimmung (Abstand zum Scheitelstrahl s3) der projizierten Zahl verwendet.
  • Beachte: Die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen können nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden!
  1. Konstruiere die Strecke LE gleich der Strecke EI auf dem Scheitelstrahl s3
  2. Verbinde den Punkt L mit dem Punkt 3 auf dem Teilerstrahl s4.
  3. Zeichne eine Parallele zur Strecke L3 ab dem Punkt F vom Teilerstrahl s4, es ergibt sich der Schnittpunkt M auf dem Scheitelstrahl s3.
  4. Konstruiere die Strecke NJ gleich der Strecke LM sowie die Strecke JO gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s3, es entstehen die beiden Scheitelpunkte N und O.
  5. Konstruiere die Strecke KP gleich der Strecke LM sowie die Strecke KQ gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s3, es entstehen die beiden Scheitelpunkte P und Q.
  • Somit ist das Schema (exakt) konstruiert.

Weblinks[Bearbeiten]

  Dritter Strahlensatz
  Zahlenstrahl

Quadratur des Kreises[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfangs

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Die Hauptelemente sind ein horizontaler Zahlenstrahl s1, zwei vertikale Teilerstrahlen s2 und s4, ein horizontaler Scheitelstrahl s3, zwei Diagonalstrahlen s5 und s6 und zwei Hilfsstrahlen s7 und s8.
  • Von dem vorgegebenen Nenner und Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor verkleinert und auf einem vertikalen Teilerstrahl s2 oder s4 geometrisch addiert bzw. subtrahiert.
  • Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt A des Teilerstrahls s2 addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. V, Nenner, mit dem Punkt T des Zahlenstrahls s1 (Wert = 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke V, NennerT.
Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s2 addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B. W, Zähler.
Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke V, NennerT erzeugt den Schnittpunkt B1 auf dem Zahlenstrahl s1. Somit entspricht die Länge der Stecke AB1 exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.
  • Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an bzw. an hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.
  • Es sind sämtliche Brüche z. B. mit einer beliebigen Näherung an bzw. an einsetzbar.

Konstruktion[Bearbeiten]

  • Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl eingearbeitet.
  • Wähle z. B. einen Dezimalbruch oder einen unechten Bruch der die gewünschte Näherung an hat.
  • Im dargestellten Beispiel ist der unechte Bruch gewählt, dieser wurde schon 1770 von Johann Heinrich Lambert in seinem Buch "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung" veröffentlicht.
  • Fünfzehn Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes .
01-Quadratur des Kreises-Lambertscher Bruch.svg

Radius des Kreises[Bearbeiten]

  1. Bestimme den Radius r des Kreises mittels der beliebigen Strecke AT. Um die prinzipielle Genauigkeit des Konstruktionsprinzips (mithilfe GeoGebra) zu verdeutlichen, ist in der folgenden Darstellung der Radius r = 1 gewählt.
  2. Konstruiere den Mittelpunkt MK so, dass der anschließend eingezeichnete Kreis mit dem Radius r gleich der Strecke MKT, den Teilerstrahl s2 und den Zahlenstrahl s1 berührt.

Nenner[Bearbeiten]

  1. Verbinde den neunten Punkt des Teilerstrahls s4 (Zahl 9, START Einer, Nenner) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s7, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 9. Der Wert der Zahl 9 vom Teilerstrahl s4 ist dadurch mit dem Faktor verkleinert.
  2. Greife die Strecke J9 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79.
  3. Verbinde den Schnittpunkt 79 des Teilerstrahls s2 mit dem Scheitelpunkt P des Hilfsstrahls s8, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt O des Hilfsstrahls s7 oder mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s4 verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s3 haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s2, s4) und Hilfsstrahlen (s7, s8) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
  4. Greife die Strecke K79 vom Hilfsstrahl s8 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s4, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
  5. Verbinde den Schnittpunkt 779 des Teilerstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
  6. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Nenner mit dem Schnittpunkt 78.256.779 auf dem Teilerstrahl s4 konstruiert ist.
  7. Greife die Strecke EU (Nenner) ab und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt V, Nenner. Somit ist der Nenner konstruiert.
  8. Verbinde den Schnittpunkt V, Nenner mit dem Punkt T des Zahlenstrahles s1, es ergibt sich die Strecke V, NennerT.

Zähler[Bearbeiten]

  1. Verbinde den zweiten Punkt des Teilerstrahls s4 (Zahl 2, START Einer, Zähler) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s7, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 2.
  2. Greife die Strecke R2 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom dritten Teilungspunkt des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
  3. Verbinde den Schnittpunkt 22 des Teilerstrahls s2 mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s4, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
  4. Greife die Strecke F22 ab und subtrahiere sie vom zehnten Teilungspunkt des Teilerstrahls s4, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.
  • Beachte: Die nächste Stelle des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s4, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 5, mit dem Faktor verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!
  1. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.
  2. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s2 mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s4, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 0.922. Der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s4 ist dadurch mit dem Faktor verkleinert.
  3. Greife die Strecke F0.922 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s4, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922.
  4. Verbinde den Schnittpunkt 50.922 des Teilerstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt Q des Hilfsstrahls s8, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s7 oder mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s2 verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s3 haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s2, s4) und Hilfsstrahlen (s7, s8) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
  5. Greife die Strecke K50.922 vom Hilfsstrahl s8 ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Teilerstrahls s2, es ergibt sich der Schnittpunkt 850.922.
  6. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 245.850.922 auf dem Teilerstrahl s4 konstruiert ist.
  7. Greife die Strecke E245.850.922 (Zähler) und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s2, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt W, Zähler. Somit ist der Zähler konstruiert.
  8. Ziehe eine Parallele zur Strecke V, NennerT bis auf den Zahlenstrahl s1, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1.
  9. Errichte eine Senkrechte auf den Zahlenstrahl s1 ab dem Punkt B1 bis auf die horizontale Mittelachse des Kreises, es ergibt sich der Schnittpunkt C1.
  10. Halbiere die Strecke D1C1, dabei entsteht der Mittelpunkt M1.
  11. Zeichne über M1 den Thaleskreis ab C1, er schneidet die vertikale Mittelachse des Kreises in E1.
  12. Verbinde den Punkt D1 mit dem Punkt E1, die Strecke D1E1 entspricht der konstruierten Seitenlänge SQK des gesuchten Quadrates.
  13. Halbiere die Strecke D1E1, es ergibt sich der Schnittpunkt M2.
  14. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt MK mit dem Radius MKM2.
  15. Konstruiere mithilfe der Seitenlänge SQK um den Mittelpunkt MK und mittels des Hilfskreises mit dem Radius MKM2 das gesuchte Quadrat.
  • Somit ergibt sich:
a) Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der vom gegebenen Kreis.
b) Eine Strecke AB1 mit einer Länge, die nahezu gleich dem halben Umfang des Kreises ist.

Berechnung[Bearbeiten]

  • Allgemein: Seite des Quadrates SQ = r
  • Die Berechnung der konstruierten Seite des Quadrates SQK geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s2 bzw. s4.
  • Der vorgegebene unechte Bruch wird auf dem Zahlenstrahl s1 prinzipiell exakt dargestellt.

Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates FSQK[Bearbeiten]

[LE]

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

  • Bei einem Kreis mit Radius r = 100 Milliarden km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 91 Stunden) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates SQK ≈ 2,2 mm.
  • Bei einem Kreis mit Radius r = 100 km wäre der Fehler der Fläche des Quadrates ≈ -0,781 mm2

Weblinks[Bearbeiten]

 Quadratur des Kreises
 Johann Heinrich Lambert: Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung Quadratur des Circuls, S. 157 Abgerufen am 2. Juli 2017.

 Commons: Animation, Quadratur des Kreises – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Dreiteilung des Winkels[Bearbeiten]

  • Einleitung und Erklärungen zu "Klassisches Problem", "Verallgemeinerung", "Nicht-klassische Verfahren" u. a. m. sind im Artikel  Dreiteilung des Winkels enthalten.

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Näherungskonstruktion
  • Den gegebenen Winkel mit vier Winkelhalbierenden verkleinern und den Kreisbogen MFG zwischen Winkelhabierende w3 und w4 mit einer Näherungslösung dritteln.

Konstruktion für Winkel > 0° bis 180°[Bearbeiten]

01-Dreiteilung des Winkels.svg
  • Für Winkel < 90° ist, zur klaren Unterscheidung der Punkte die auf der geraden Hilfslinie g liegen, meist die Drittelung des Supplementwinkels vorteilhaft. Dies wird im folgenden Beispiel berücksichtigt.
  1. Zeichne durch den Punkt M eine horizontale Gerade.
  2. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis, es ergeben sich auf der Gerade die Schnittpunkte A und B, die Strecke MA ist der erste Winkelschenkel.
  3. Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke AB ab Punkt M bis sie den Halbkreis schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
  4. Konstruiere als Beispiel den Winkel = 60°, es ergibt sich der Schnittpunkt D auf dem Halbkreis MAB
  5. Verbinde den Punkt M mit dem Punkt D, es ergibt sich der zweite Winkelschenkel der mit der Strecke MB den Supplementwinkel = 120° einschließt.
  6. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende w1, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt E.
  7. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende w2, die Länge der Strecke Mw2 etwas länger als
  8. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende w3, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt F.
  9. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende w4, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt G.
  10. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt G den Punkt F anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte F und G angelegt), aber mit ihrer Länge, ca. Abstand |EF|, nur bis zum Punkt G verläuft und keine Verbindung der Punkte F und G herstellt. Somit ist zwischen diesen beiden Punkten der Halbkreis MAB für den späteren Schnittpunkt J frei zugänglich.
  11. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt G mit dem Radius gleich dem Abstand |FG|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt H.
  12. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke HI, sie ist ein Drittel der Strecke GH.
  13. Zeichne einen Kreis um den Punkt I mit dem Radius gleich der Strecke GH, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB zwischen den Punkten F und G der Schnittpunkt J.
  14. Verbinde den Punkt J mit dem Punkt M, die Winkelschenkel JM und MB schließen den Winkel ein. Somit ist vorerst vom Supplementwinkel 120° ein approximiertes Drittel dargestellt. .
  15. Halbiere die Strecke JM, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt K.
  16. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis der durch den Punkt K verläuft, es ergeben sich die Schnittpunkte L und N auf der Strecke AB.
  17. Zeichne um den Punkt K einen Halbkreis der vom Punkt M zum Punkt J verläuft, es ergibt sich der Schnittpunkt O mit dem Halbkreis MNL.
  18. Zeichne eine Gerade vom Punkt J durch den Punkt O bis zum Halbkreis MAB, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt P.
  19. Verbinde den Punkt P mit dem Punkt M, die Winkelschenkel PM und MA schließen den Winkel ein.
  20. Trage die Strecke AP ab dem Punkt P einmal auf dem Halbkreis MAB ab, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt Q. Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.

Fehler[Bearbeiten]

  • Der max. Winkelfehler von bzw. ist ca. 1,25E-6°, wenn der Winkel nahezu bzw. nahezu 180° ist.

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

  • Bei einem Radius r = MA = 100 km wäre der max. Fehler an der Sehne 2,2 mm

Berechnung[Bearbeiten]

  • Im Kapitel "Neuneck", unter "Berechnung" sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels (Beispiel ) aufgezeigt. Für die Dreiteilung des oben dargestellten Supplementwinkels 120°, sind in den Formeln die entsprechenden Werte (u. a. Länge des Winkelschenkels ändert sich von 2r in r) und Bezeichnungen (Punkte, Winkel, Strecken etc.) einzusetzen.

Weblinks[Bearbeiten]

Wikibooks-logo.svg Neuneck

 Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Wikibooks-logo.svg Dreiteilung einer Strecke

Wikibooks-logo.svg Dreiteilung des Winkels 60°

 Commons: Dreiteilung des Winkels mit 5 Wh – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Verdoppelung des Würfels[Bearbeiten]

Konstruktionsprinzip[Bearbeiten]

  • Näherungskonstruktion
  • Die Hauptelemente sind ein horizontaler Zahlenstrahl s1, zwei vertikale Teilerstrahlen s2 und s4, ein horizontaler Scheitelstrahl s3, zwei Diagonalstrahlen s5 und s6 und zwei Hilfsstrahlen s7 und s8. Näheres wird in der Konstruktion beschrieben.
  • Von dem vorgegebenen Zähler bzw. Nenner (wenn keine Dezimalzahl) werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor verkleinert und auf einem vertikalen Teilerstrahl geometrisch addiert oder subtrahiert.
  • Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt A des Teilerstrahls s2 addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. T, Nenner, mit dem Punkt U des Zahlenstrahls s1 (S1 Würfel 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke T, NennerU.
Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s2 addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B. V, Zähler.
Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke T, NennerU erzeugt den Schnittpunkt W auf dem Zahlenstrahl s1. Somit entspricht die Länge der Stecke AW exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.
  • Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.

Konstruktion[Bearbeiten]

  • Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl eingearbeitet.
  • Alternative: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.
  • Wähle z. B. einen Dezimalbruch der die gewünschte Näherung an hat. Die Qualität der Näherung ist einfach voraussehbar, wenn ein Dezimalbruch (Anzahl der Nullen im Nenner) eingesetzt wird.
  • Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch gewählt.
  • Einundzwanzig Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes .

Nenner[Bearbeiten]

01-Würfelverdoppelung.svg
  1. Bestimme die Seite des Würfel 1 S1 mittels der beliebigen Strecke AU.
  2. Konstruiere den Würfel 1 so, dass die Vorderseite auf dem Zahlenstrahl s1 und an dem Teilerstrahl s2 anliegt.
  3. Verbinde den Punkt T,Nenner mit dem Punkt U, somit ist der Nenner konstruiert.

Zähler[Bearbeiten]

  1. Verbinde den siebten Punkt des Teilerstrahls s4 (Zahl 7, Einerstelle des Zählers vom Dezimalbruch) mit dem Scheitelpunkt N, es ergibt sich der Schnittpunkt 7 auf dem Hilfsstrahl s7. Der Wert der Zahl 7 vom Teilerstrahl s4 ist dadurch mit dem Faktor verkleinert.
  2. Greife die Strecke J7 ab und addiere sie zum sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s2, es ergibt sich der Schnittpunkt 67.
  3. Verbinde den Schnittpunkt 67 des Teilerstrahls s2 mit dem Scheitelpunkt P, es ergibt sich der Schnittpunkt 67 auf dem Hilfsstrahl s8. Es könnte alternativ mit den Scheitelpunkten O oder I verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s3 haben, ist es vorteilhaft abfangs die Teilerstrahlen (s2, s4) und Hilfsstrahlen (s7, s8) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
  4. Greife die Strecke K67 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s4, es ergibt sich der Schnittpunkt 767.
  5. Verbinde den Schnittpunkt 767 des Zahlenstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt 767 auf dem Teilerstrahl s2.
  6. Greife die Strecke C767 ab und addiere sie zum vierten Teilungspunkt des Teilerstrahls s2, es ergibt sich der Schnittpunkt 4.767. Es ist bezüglich Übersicht im Folgenden vorteilhaft: Die Zifferngruppierung (Punkt oder Abstand) zu verwenden und ggf. lange Zahlen mittig mit "..." abzukürzen.
  7. Setze diese Vorgehensweise bis zur Zahl 49.894.873.164.767 (angezeigt als 49.894...767 auf Teilerstrahl s4) fort.
  • Beachte: Die nächste Stelle des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s4, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 1, mit dem Faktor verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!
  1. Verbinde den Schnittpunkt 49.894...767 des Teilerstrahls s4 mit dem Scheitelpunkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt 49.894...767 auf dem Teilerstrahl s2. Der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s4 ist nun mit dem Faktor verkleinert.
  2. Verbinde den Schnittpunkt 49.894...767 des Teilerstrahls s2 mit dem Scheitelpunkt I, es ergibt sich der Schnittpunkt 049.894...164.767 auf dem Teilerstrahl s4. Der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s4 ist nun mit dem Faktor verkleinert.
  3. Greife die Strecke F049.894...164.767 ab und subtrahiere sie vom zweiten Teilungspunkt A des Teilerstrahls s2, es ergibt sich der Schnittpunkt 1.049...767.
  4. Setze diese Vorgehensweise fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 1.259.921.049.894.873.164.767 auf dem Teilerstrahl s4 konstruiert ist.
  5. Greife die Strecke E1.259.921.049.894.873.164.767 ab und addiere sie zum zweiten Teilungspunkt A des Teilerstrahls s2, es ergibt sich der Punkt V, Zähler.
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke T,NennerU durch den Punkt V, Zähler bis zum Zahlenstrahl s1, es ergibt sich der Schnittpunkt W. Die Strecke AW ist die gesuchte Seite S2 des Würfel 2.
  7. Konstruiere den Würfel 2 so, dass die Vorderseite auf dem Zahlenstrahl s1 und an dem Teilerstrahl s2 anliegt.
  • Somit ergibt sich:
Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist..

Berechnung[Bearbeiten]

  • Allgemein: Seite des Würfel 2 S2 = S1 .
  • Die Berechnung der konstruierten Seite des Würfel 2 S2 geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s2 bzw. s4.
  • Der vorgegebene Dezimalbruch wird auf dem Teilerstrahl s4 und s2 prinzipiell exakt dargestellt.

Fehler[Bearbeiten]

Bezüglich des Ansatzes sind die Fehler bis zur 21. Nachkommastelle prinzipiell = 0 [LE bzw. VE]. Siehe hierzu auch die Abschnitte Berechnung und Weblinks (Animation).

Beispiele um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

  • Bei einem Würfel 1 mit S1 = 1 Billiarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 105,8 Jahre) wäre vom Würfel 2 der Fehler der Seite S2 ≈ -0,21 mm.
  • Bei einem Würfel 1 mit S1 = 100 km wäre vom Würfel 2 der Fehler des Volumens ≈ -1,0 cm3

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Animation, Verdoppelung des Würfels – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien