257-Eck

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: 257-Eck)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie → Polygonkonstruktionen

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: 257-Eck)

Konstruktion[Bearbeiten]

Das regelmäßige 257-Eck, im englischen Sprachraum 257-gon, ist zwar als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal theoretisch möglich, kann aber wegen der sehr hohen Anzahl und Dichte der erforderlichen Linien nicht übersichtlich abgebildet werden.

Die im Jahre 1991 veröffentlichte Konstruktionsmethode von Duane W. DeTemple unter Verwendung des sogenannten Carlyle-Kreises, ist deutlich einfacher, verwehrt aber wegen der dicht neben- und übereinander liegenden 150 Hilfskreisen den erforderlichen Durchblick.[1]

Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E1 und damit die Seitenlänge des 257-Ecks darstellbar.

Exakte Konstruktion der Seitenlänge mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel[Bearbeiten]

257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Würde der gleiche Ansatz wie beim Elfeck angewandt werden, d. h. den Umkreisradius zuerst in 257 gleiche Abschnitte teilen und anschließend den vierten Teilungspunkt zur Konstruktion des Mittelpunktswinkels μ nutzen, wäre z.B. bei einem Umkreisradius r = 100 mm der Abstand von einem zum nächsten Teilungspunkt etwas kleiner als 0,4 mm.

Eine machbare Alternative zeigt die folgende Konstruktion. Übrigens ist sie auch mit realem Zirkel, Lineal und z. B. mithilfe der Quadratrix in Form einer Schablone auf einem Blatt Papier im Format DIN A4 realisierbar.

Unter Verwendung der Quadratrix wird nicht zuerst der erste Eckpunkt E1 des 257-Ecks gesucht, sondern der sechzehnte Eckpunkt E16.

Der Eckpunkt lässt sich auf folgende Art und Weise finden.
Für den Mittelpunktswinkel des Kreisausschnittes gilt
,
mit Berücksichtigung des Mittelpunktswinkels des Viertelkreises erhält man
Diese Dezimalzahl ist mithilfe des dritten Strahlensatzes mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Die Länge der Strecke in Längeneinheiten [LE], sprich der Abstand vom Mittelpunkt des Umkreises bis zum Funktionspunkt errechnet sich aus
[LE]
Der der Wert des Quotienten ist ebenso mit Zirkel und Lineal mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruierbar. [2]

Die fünf Hauptschritte der Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Schema
  2. Zahl 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
  3. Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias
  4. Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
  5. Eckpunkt E1
Schema[Bearbeiten]
257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion des Schemas
  1. Bestimme den Punkt A.
  2. Zeichne die vertikale Strecke AB mit der Länge 1.
  3. Errichte eine zu AB senkrechte Strecke BC mit der Länge 1.
  4. Konstruiere eine Strecke CD parallel zur Strecke AB, etwas länger als 1.
  5. Zeichne eine horizontale Gerade parallel zur Strecke BC durch den Punkt A mit einer kurzen Unterbrechung nahe der Strecke CD, d. h. CD und die horizontale Gerade haben keinen Schnittpunkt.
  6. Teile die Strecken AB in 10 gleiche Abschnitte, aber zeichne nur die Teilungspunkte (Teilungspunkt im weiteren Verlauf mit TP bezeichnet) TP1 bis TP3 und TP5 bis TP7 ein.
  7. Projiziere die TPs der Strecke AB auf die Strecke CD und ergänze darauf TP4.
  8. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch TP1 der Strecke AB sowie eine gerade Linie vom Punkt B durch TP1 der Strecke CD, jeweils bis zur horizontalen Gerade die durch A verläuft, es ergeben sich die Scheitelpunkte C1 bzw. B1.
  9. Verbinde TP1 von Strecke AB mit TP1 von Strecke CD, es ergibt die Strecke (1)(1).
Zahl 4,015625[Bearbeiten]
257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion der Zahl 4,015625
  1. Verbinde TP5 (letzte Nachkommastelle der Zahl 4,015625) mit C1, es ergibt den Schnittpunkt 5 auf AB. Der Wert der Zahl 5 ist damit auf 0,5 verkleinert, eingetragen wird aber 5.
  2. Addiere 5 zum TP2 auf AB, es ergibt 25.
  3. Verbinde 25 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 25 auf CD.
  4. Greife die Strecke (1)25 von CD ab und subtrahiere sie vom TP7 auf AB, es ergibt 625.
  5. Verbinde 625 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 625 auf CD.
  6. Addiere 625 zum TP5 auf CD, es ergibt 5625.
Zusätzlicher Hilfsstrahl wird eingearbeitet:
  1. Bestimme den Punkt E auf C1,B1, mit AE ungefähr ein Viertel der Länge von BC.
  2. Errichte eine Senkrechte zur Strecke C1,B1 ab E bis auf die Strecke (1)(1), es ergibt den Schnittpunkt F.
  3. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch F bis zur Strecke C1,B1, es ergibt den Schnittpunkt C2.
Es geht weiter mit 5625
  1. Verbinde 5625 mit C2, es ergibt 5625 auf der Strecke EF.
  2. Addiere 5625 zum TP1 auf CD, es ergibt 15625.
  3. Verbinde 15625 mit C1, es ergibt den Schnittpunkt 15625 auf AB.
Da die nächste Dezimalstelle eine 0 (Null) ist, muss der bisher hierher konstruierte Wert 0,15625 nochmals durch 10 geteilt werden, bevor er weiter verwendet werden kann.
  1. Verbinde 15625 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 015625 auf CD, die Unterbrechung der horizontalen Geraden ermöglicht eine Markierung des Punktes 015625.
  2. Greife die Strecke (1)015625 von CD ab und subtrahiere sie vom TP5 auf AB, somit ist die Zahl 4,015625 fertig konstruiert.
Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias[Bearbeiten]
257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Einheitskreis und Quadratrix
  1. Halbiere die Strecke C1,B1, es ergibt den Schnittpunkt G.
  2. Bestimme den Mittelpunkt O für den Umkreis des 257-Ecks mit dem Radius GO = AB = 1.
  3. Zeichne den Umkreis um O, es ergibt den Schnittpunkt E257 auf der horizontalen Geraden.
  4. Errichte eine zu GE257 senkrechte Strecke OH.
  5. Mit den noch fehlenden Seiten (Länge 1) vervollständige das Quadrat über OE257.
  6. Zeichne die Quadratrix ein mit der Parameterkurve :

mit

Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625[Bearbeiten]
257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
  1. Verlängere die Strecke (1)(1) bis zur Strecke OH, es ergibt den Schnittpunkt I.
  2. Errichte eine Senkrechte im Punkt G bis zur Strecke BC, es ergibt den Schnittpunkt J.
  3. Ziehe eine Parallele ab der konstruierten Zahl 4,015625 bis zur Strecke GJ, es ergibt den Schnittpunkt K.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt K durch I bis zur Strecke OE257, es ergibt den Schnittpunkt L.
  5. Verbinde Punkt J mit L, es ergibt den Schnittpunkt M auf OH, somit ist die Funktionsstrecke OM konstruiert.
Eckpunkt E16 bis E1[Bearbeiten]
  1. Ziehe eine Parallele zu OE257 ab dem Punkt M bis zur Quadratrix, es ergibt den Schnittpunkt N.
  2. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch N bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der sechzehnte Eckpunkt E16 des 257-Ecks.
  3. Die abschließende vierfache Winkelhalbierung erzeugt die Eckpunkte , , und schließlich . Somit entspricht der Abstand |E257E1| exakt der Seitenlänge des 257-Ecks.

Näherungskonstruktion der 1. Seite[Bearbeiten]

  • Wie in der Einleitung näher beschrieben, kann eine exakte Konstruktion des 257-Ecks ohne Verwendung eines zusätzlichen Hilfsmittels nicht übersichtlich abgebildet werden. Die nun folgende Alternative, auch allein mit Zirkel und Lineal auf Papier konstruierbar, liefert die erste Seite des 257-Ecks, deren Länge nahezu gleich der berechneten Länge ist.
01-257-Eck E-15 o. Hinweise.svg
  1. Bestimme die Lage des Mittelpunktes M
  2. Zeichne einen Kreis, den Umkreis des späteren 257-Ecks, um den Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  3. Zeichne die horizontale und die vertikale Mittelachse, damit ergeben sich auf dem Umkreis die Punkte A, E257 (Eckpunkt 257) bzw. B und C.
  4. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse außerhalb des Kreises die Strecke AD, sie ist ein Zehntel der Strecke AM.
  5. Trage die Strecke AD ab dem Punkt A viermal auf die horizontale Mittelachse ab, damit ergeben sich die Punkte F, G, H und I.
  6. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MD um den Punkt M, er wird im Folgenden Hilfskreis durch D genannt, damit ergibt sich der Schnittpunkt K auf der horizontalen Mittelachse.
  7. Halbiere die Strecke AD, damit ergibt sich der Punkt J.
  8. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MJ um den Punkt M; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch J genannt.
  9. Halbiere die Strecke AF, damit ergibt sich der Punkt L.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt N mit einem Abstand |KN|, der gleich lang ist wie die Strecke AD.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt O mit einem Abstand |FO|, der gleich lang ist wie die Strecke MG.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt P mit einem Abstand |KP|, der gleich lang ist wie die Strecke MH.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Q mit einem Abstand |BQ|, der gleich lang ist wie die Strecke IJ.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt R mit einem Abstand |CR|, der gleich lang ist wie die Strecke AI.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt S mit einem Abstand |KS|, der gleich lang ist wie der Abstand |BI|.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt T mit einem Abstand |E257T|, der gleich lang ist wie die Strecke E257M.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt U mit einem Abstand |BU|, der gleich lang ist wie die Strecke AG.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt V mit einem Abstand |CV|, der gleich lang ist wie der Abstand |CL|.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt W mit einem Abstand |CW|, der gleich lang ist wie die Strecke ML.
  20. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Z mit einem Abstand |AZ|, der gleich lang ist wie der Abstand |CH|.
  21. Zeichne ab dem Punkt Z eine gerade Linie durch den Punkt W, damit ergibt sich der Schnittpunkt A1 auf dem Hilfskreis durch D.
  22. Zeichne ab dem Punkt A1 eine gerade Linie durch den Punkt V, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1 auf dem Hilfskreis durch D.
    01-257-Eck E-15 o. Hinweise.svg
  23. Zeichne ab dem Punkt B1 eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt C1 auf dem Hilfskreis durch D.
  24. Zeichne ab dem Punkt C1 eine gerade Linie durch den Punkt T, damit ergibt sich der Schnittpunkt D1 auf dem Hilfskreis durch D.
  25. Zeichne ab dem Punkt D1 eine gerade Linie durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt F1 auf dem Hilfskreis durch D.
  26. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt R, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Hilfskreis durch D.
  27. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt Q, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Hilfskreis durch D.
  28. Zeichne ab dem Punkt H1 eine gerade Linie durch den Punkt P, damit ergibt sich der Schnittpunkt I1 auf dem Hilfskreis durch D.
  29. Zeichne ab dem Punkt I1 eine gerade Linie durch den Punkt O, damit ergibt sich der Schnittpunkt J1 auf dem Hilfskreis durch D.
  30. Zeichne ab dem Punkt J1 eine gerade Linie durch den Punkt N, damit ergibt sich der Schnittpunkt K1 auf dem Hilfskreis durch D.
  31. Verbinde den Punkt K1 mit dem Mittelpunkt M, somit ergibt sich auf dem Umkreis der Schnittpunkt E4 als vierter Eckpunkt des 257-Ecks.
  32. Konstruiere innerhalb des Winkels E257ME4 zwei Winkelhalbierende, es ergeben sich die Eckpunkte E2 und mit E1 annähernd die 1. Ecke des regelmäßigen 257-Ecks.

Somit ergibt sich mit der Strecke annähernd die erste Seite des 257-Ecks.

Ergebnis[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seite des 257-Ecks in GeoGebra (Anzeige 15 sigifikante Nachkommastellen, gerundet)
  • Seite des 257-Ecks, 15 sigifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seite
  • Konstruierter Zentriwinkel in GeoGebra (Anzeige 14 sigifikante Nachkommastellen, gerundet)
  • Zentriwinkel des 257-Ecks, 14 sigifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet
  • Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels
Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min) wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge a < 1 mm.

Quellen[Bearbeiten]

  1.  257-Eck
  2. Commons-logo.svg 257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Weblinks[Bearbeiten]

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Carlyle-Kreis

 Quadratrix des Hippias

 Mittelpunktswinkel

  Scheitelpunkt

 GeoGebra

link=commons:File%3A01-257-Eck_E-15_Animation.gif 257-Eck E-15, Näherungskonstruktion der ersten Seite, Animation