65537-Eck

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Seitentitel: Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: 65537-Eck
(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: 65537-Eck)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie → Polygonkonstruktionen

Näherungskonstruktion der ersten Seite in zwei Hauptschritten[Bearbeiten]

  • Da eine exakte Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht abgebildet werden kann, wird im Folgenden mithilfe GeoGebra die erste Seite als Näherungskonstruktion in einer stark vergrößerter Ansicht dargestellt.

Näherungskonstruktion der Ecke 1.024[Bearbeiten]

01-65537-Eck E-17 o. Hinweise
  1. Bestimme die Lage des Mittelpunktes M
  2. Zeichne einen Kreis, den Umkreis des späteren 65537-Ecks, um den Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  3. Zeichne die horizontale und die vertikale Mittelachse, damit ergeben sich auf dem Umkreis die Punkte A, E65537 bzw. B und C.
  4. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse außerhalb des Kreises die Strecke AD, sie ist ein Zehntel der Strecke MA.
  5. Trage die Strecke AD ab dem Punkt A viermal auf die horizontale Mittelachse ab, damit ergeben sich die Punkte F, G, H und I.
  6. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MD um den Punkt M, er wird im Folgenden Hilfskreis durch D genannt; der Schnittpunkt mit der vertikalen Mittelachse ist J.
  7. Halbiere die Strecke AD, damit ergibt sich der Punkt K.
  8. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MK um den Punkt M; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch K genannt.
  9. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt L mit einem Abstand |E65537L|, der gleich lang ist wie die Strecke FK.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt N mit einem Abstand |BN|, der gleich lang ist wie die Strecke AH.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt O mit einem Abstand |CO|, der gleich lang ist wie die Strecke GK.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt P mit einem Abstand |KP|, der gleich lang ist wie die Strecke FK.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt Q mit einem Abstand |CQ|, der gleich lang ist wie der Abstand |CI|.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt R mit einem Abstand |BR|, der gleich lang ist wie die Strecke AG.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt S mit einem Abstand |HS|, der gleich lang ist wie der Abstand |BI|.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt T mit einem Abstand |DT|, der gleich lang ist wie die Strecke IK.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt U mit einem Abstand |E65537U|, der gleich lang ist wie die Strecke AI.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt V mit einem Abstand |GV|, der gleich lang ist wie die Strecke DI.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch K den Punkt W mit einem Abstand |JW|, der gleich lang ist wie die Strecke AI.
  20. Bestimme auf dem Hilfskreis durch D den Punkt A1 mit einem Abstand |E65537A1|, der gleich lang ist wie die Strecke MA.
  21. Zeichne ab dem Punkt A1 eine gerade Linie durch den Punkt W, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1 auf dem Hilfskreis durch D.
  22. Zeichne ab dem Punkt B1 eine gerade Linie durch den Punkt V, damit ergibt sich der Schnittpunkt C1 auf dem Hilfskreis durch D.
  23. Zeichne ab dem Punkt C1 eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt D1 auf dem Hilfskreis durch D.
  24. Zeichne ab dem Punkt D1 eine gerade Linie durch den Punkt T, damit ergibt sich der Schnittpunkt F1 auf dem Hilfskreis durch D.
  25. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Hilfskreis durch D.
  26. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt R, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Hilfskreis durch D.
  27. Zeichne ab dem Punkt H1 eine gerade Linie durch den Punkt Q, damit ergibt sich der Schnittpunkt I1 auf dem Hilfskreis durch D.
  28. Zeichne ab dem Punkt I1 eine gerade Linie durch den Punkt P, damit ergibt sich der Schnittpunkt J1 auf dem Hilfskreis durch D.
  29. Zeichne ab dem Punkt J1 eine gerade Linie durch den Punkt O, damit ergibt sich der Schnittpunkt K1 auf dem Hilfskreis durch D.
  30. Zeichne ab dem Punkt K1 eine gerade Linie durch den Punkt N, damit ergibt sich der Schnittpunkt L1 auf dem Hilfskreis durch D.
  31. Zeichne ab dem Punkt L1 eine gerade Linie durch den Punkt L, damit ergibt sich der Schnittpunkt M1 auf dem Hilfskreis durch D.
  32. Verbinde den Punkt M1 mit dem Mittelpunkt M, auf dem Umkreis ergibt sich somit annähernd die Ecke E1024, d. h. der Kreisbogen ME65537E1024 beinhaltet annähernd 1024 Seiten des regelmäßigen 65537-Ecks.

Näherungskonstruktion der ersten Seite[Bearbeiten]

65537-Eck, 1. Vergrößerung

  1. Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des
Kreisbogens und halbiere mittels MS
dreimal den Winkel ,
ergibt die Ecken und
65537-Eck, 2. Vergrößerung

  1. Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des
Kreisbogens und halbiere mittels MS
viermal den Winkel ,
ergibt die Ecken und
65537-Eck, 3. Vergrößerung

  1. Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des
Kreisbogens und halbiere mittels MS
dreimal den Winkel ,
ergibt die Ecken und

In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E65537E1 = a des regelmäßigen 65537-Ecks.

Ergebnis[Bearbeiten]

  • Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra)
  • Winkel
  • Absoluter Fehler des konstruierten Winkels
(1 Winkelsekunde = = 0,000277...° = 2,77...E-4°)

 

  • Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra)
  • Seite des 65537-Ecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite
  • Absoluter Fehler der letzten Seite

 

  • Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra)
  • Zentriwinkel
  • Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.

Weblinks[Bearbeiten]