65537-Eck

(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 65537-Eck)

(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 65537-Eck)

Näherungskonstruktion der ersten Seite in zwei Hauptschritten

• Da eine exakte Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht praktikabel abgebildet werden kann, wird im Folgenden mithilfe GeoGebra die erste Seite als Näherungskonstruktion in einer stark vergrößerter Ansicht dargestellt.

Näherungskonstruktion der Ecke 1.024

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{65537}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\overline {AE_{65537}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkt $J$.
6. Strecke ${\overline {AK}}={\overline {DK}}$, Kreis um $M$ durch $K$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $E_{65537}$ ist gleich der Strecke ${\overline {FK}}$. In der Darstellung beschrieben als $|E_{65537}L|={\overline {FK}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|BN|={\overline {AH}}$ bis $A_{1}$ als $|E_{65537}A_{1}|={\overline {MA}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $A_{1}$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $B_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $B_{1}$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $C_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $D_{1}$ bis $M_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Verbinde den Punkt $M_{1}$ mit dem Mittelpunkt $M$, auf dem Umkreis ergibt sich somit annähernd die Ecke $E_{1024}$, d. h. der Kreisbogen $ME_{65537}E_{1024}$ beinhaltet annähernd 1024 Seiten des regelmäßigen 65537-Ecks.

Näherungskonstruktion der ersten Seite

65537-Eck, 1. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{1024}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel $E_{65537}ME_{1024}$, ergibt die Ecken $E_{512},E_{256}$ und $E_{128}$

65537-Eck, 2. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{128}$ und halbiere mittels MS viermal den Winkel $E_{65537}ME_{128}$, ergibt die Ecken $E_{64},E_{32},E_{16}$ und $E_{8}$

65537-Eck, 3. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{8}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel $E_{65537}ME_{8}$, ergibt die Ecken $E_{4},E_{2}$ und $E_{1}$

In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E₆₅₅₃₇E₁ = a des regelmäßigen 65537-Ecks.

Ergebnis

• Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra) $\mu _{1024}=5{,}62491417062117^{\circ }$
• Winkel $\mu _{1024\;SOLL}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5{,}62491417062118^{\circ }$, gerundet
• Absoluter Fehler des konstruierten Winkels $F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;SOLL}=-1E-14^{\circ }$

(1 Winkelsekunde = ${\frac {1^{\circ }}{3600}}$ = 0,000277...° = 2,77...E-4°)

 

• Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra) $a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]$
• Seite des 65537-Ecks $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite $F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]$
• Absoluter Fehler der letzten Seite $F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]$

 

• Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra) $\mu =5{,}49308024474723E-3^{\circ }$
• Zentriwinkel $\mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5{,}4930802447472420E-3^{\circ }$
• Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel $F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=-1{,}2...E-17^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.

Weblinks

•  65537-Eck
•  GeoGebra
•  Lichtgeschwindigkeit
• 65527-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias und einem Programm für dynamische Geometrie als zusätzliche Hilfsmittel
• 65537-Eck aus mathematik-olympiaden.de, mit Bildern der Dokumentation nach HERMES; abgerufen am 16. Juli 2016