Siebzehneck

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Seitentitel: Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: Siebzehneck
(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: Siebzehneck)

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Siebzehneck[Bearbeiten]

Eigenschaften, mathematischer Hintergrund u. a. m. sind in dem Artikel  Siebzehneck enthalten.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis nach H. W. Richmond[Bearbeiten]

Siebzehneck nach Herbert W. Richmond, ausführlich dargestellte Version

Das folgende regelmäßiges Siebzehneck ist eine ausführlich dargestellte Version der Konstruktion, die von Herbert W. Richmond 1893 veröffentlicht wurde.

Ist ein Kreis k1 (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen eines Durchmessers von k1; Schnittpunkte mit k1 sind A und B.
  2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D.
  3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
  4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA.
  5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FA.
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen m und w1; Schnittpunkt mit AB ist G.
  7. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 durch F.
  8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2; Schnittpunkt mit AB ist H.
  9. Konstruktion des Thaleskreises k2 (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  10. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
  11. Konstruktion der Tangente an k3 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks.
  12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
  13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Variation der Konstruktion nach H. W. Richmond[Bearbeiten]

Siebzehneck, Variation, darin liegt Punkt N nicht mehr so nah an M

Unterschiede zum Original

  • Der Kreis k2 bestimmt statt der Winkelhalbierenden w3 den Punkt H.
  • Der Kreis k4 um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch nicht mehr so nah an M liegt, für die Konstruktion der Tangente.
  • Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O.
  2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k1 sind A und B.
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D.
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB.
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q.
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G.
  8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m.
  9. Konstruktion des Kreises k2 um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit AB ist H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  11. Konstruktion des Kreises k4 um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N.
  12. Konstruktion der Tangente an k4 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks.
  13. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
  14. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke[Bearbeiten]

Das folgende Konstruktionsprinzip nutzt als Ansatz die gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels

Zuerst wird auf einer Zahlengeraden der Hauptteil der Formel ohne den Faktor abgebildet. Es folgt die geometrische Division mit dem Divisor und schließt mit einer zehnfachen Vergrößerung einer Dreieckseite ab, deren Länge dem Kosinus des Zentriwinkels entspricht.

Hauptteil der Formel, ohne Faktor [Bearbeiten]

Siebzehneck, Hauptteil der Formel, ohne Faktor , Konstruktionsskizze
  1. Zeichne die horizontale Zahlengerade und bestimme darauf Punkt , die Strecke und
  2. Zeichne die vertikale Zahlengerade durch Punkt und bestimme darauf die Strecke , dabei ist Punkt auf
  3. Ziehe durch die zweite horizontale Zahlengerade
  4. Halbiere die Strecke als Schnittpunkt ergibt sich Punkt
  5. Zeichne den Halbkreis um ab und eine Parallele zur Zahlengeraden ab Punkt bis zum Halbkreis, als Schnittpunkt ergibt sich
  6. Verbinde den Punkt mit , die so erhaltene Strecke
  7. Ziehe einen Halbkreis um Punkt mit dem Radius , als Schnittpunkt ergibt sich auf
  8. Übertrage ab Punkt die Strecke auf die Zahlengerade , als Schnittpunkt ergibt sich
  9. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden ab Punkt bis , dabei ergibt sich der Schnittpunkt
  10. Bestimme die Strecke durch Subtraktion der Strecke von , somit ist
  11. Verdopple die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich , somit ist
  12. Ziehe den Kreisbogen und addiere anschließend zum Punkt die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich
  13. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ab Punkt bis zum Kreisbogen , als Schnittpunkt ergibt sich
  14. Verbinde Punkt mit , die so erhaltene Strecke
  15. Bestimme die Strecke durch Addition der Strecke zur Strecke , somit ist
  16. Fälle das Lot vom Punkt auf die Zahlengerade , als Schnittpunkt ergibt sich
  17. Bestimme die Strecke durch dreimalige Addition der Strecke zur Strecke , als Schnittpunkte ergeben sich und somit ist
  18. Bestimme die Strecke durch Subtraktion der Strecke von , somit ist
  19. Bestimme die Strecke sie ist gleich lang wie
  20. Ziehe den Kreisbogen und addiere anschließend zum Punkt die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich
  21. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ab bis zum Kreisbogen , als Schnittpunkt ergibt sich
  22. Verbinde Punkt mit , die so erhaltene Strecke
  23. Bestimme die Strecke durch Subtraktion der Strecke von , somit ist
  24. Bestimme die Strecke durch Subtraktion der Strecke von , somit ist
  25. Halbiere die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich
  26. Ziehe den Kreisbogen und addiere anschließend zum Punkt die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich
  27. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden ab bis zum Kreisbogen , als Schnittpunkt ergibt sich
  28. Verbinde den Punkt mit , die so erhaltene Strecke
  29. Addiere zur Strecke zweimal die Strecke , als Schnittpunkte ergeben sich und somit ist der Hauptteil der Formel auf konstruiert; die Strecke

Geometrische Division mit dem Divisor 16[Bearbeiten]

Siebzehneck, geometrische Division mit dem Divisor 16, Konstruktionsskizze
  1. Bestimme die Strecke durch Subtraktion der Strecke von , somit ist
  2. Fälle das Lot vom Punkt auf die Zahlengerade , als Schnittpunkt ergibt sich
  3. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade vom Punkt bis auf , als Schnittpunkt ergibt sich
  4. Halbiere die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt , dabei ist auf der Zahlengeraden
  5. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade ab dem Punkt bis auf die Strecke , als Schnittpunkt ergibt sich
  6. Lege ein Lineal mit seiner Kante an die Punkte und danach markiere mithilfe der Linealkante auf der Zahlengeraden den Schnittpunkt Eine Linie durch nach ist nicht notwendig, sie würde auch zu dicht an der folgenden (grünen) Fuktionslinie sein.
  7. Verbinde den Punkt mit , die Strecke (grüne Linie) schneidet die Strecke in einem, wegen des sehr kleinen Dreiecks , nicht sichtbaren Punkt; nennen wir den virtuellen Punkt .
Somit ist die geometrische Division mit dem Divisor durchgeführt.
Die virtuelle Strecke entspricht bereits dem Kosinus des Zentriwinkels:
Um das Siebzehneck fertig konstruieren zu können, bedarf es noch einer starken Vergrößerung der Strecke

Vorüberlegungen[Bearbeiten]

Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Betrachtet man zuerst von den beiden ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken und (beide nur durch deren Eckpunkte bestimmt) jeweils das Verhältnis der kleinen zur großen Kathete, so zeigt sich mit :

d. h. bei einer Vergrößerung der kleinen Kathete mit dem Faktor wird deren Länge

Nun zum virtuellen rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Gegebenheiten:

  • Kleine Kathete ist dieselbe des rechtwinkligen Dreiecks
  • Winkel am Scheitel durch den Verlauf der Strecke (grüne Linie) bestimmt.

Konstruiert man nun, wie im Folgenden beschrieben, ein rechtwinkliges Dreieck, das dem virtuellen rechtwinkligen Dreieck ähnlich ist und eine kleine Kathete mit der Länge besitzt, ergibt sich als verwendbare große Kathete nochmals der Kosinus des Zentriwinkels

Vergrößerung der Seite des virtuellen rechtwinkligen Dreiecks [Bearbeiten]

  1. Bestimme den Punkt nahe als dritten Teil der Strecke , es ergibt sich die Länge der Strecke
  2. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden ab dem Punkt bis auf die Strecke (grüne Linie), als Schnittpunkt ergibt sich
  3. Zeichne ab eine Parallele zur Strecke bis auf als Schnittpunkt ergibt sich
Das rechtwinklige Dreieck ist ähnlich dem virtuellen Dreieck der Punkt ist das Pendant des oben benannten Punktes
Somit ist die Strecke der gesuchte Kosinus des Zentriwinkels
  1. Verdoppele die Strecke auf dem Zahlenstrahl und addiere anschließend dazu geometrisch den Zahlenwert (Strecke ), es ergeben sich auf die Zahlenwerte und
  2. Bestimme den Punkt auf beliebig und zeichne ab eine Parallele zu
  3. Übertrage die Strecke auf diese Parallele, als Schnittpunkt ergibt sich
  4. Ziehe den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks um durch dabei ergibt sich der siebzehnte Eckpunkt .
  5. Übertrage die Strecke ab auf den Radius des Umkreises, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt
  6. Errichte eine Senkrechte auf ab entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Kreis, als Schnittpunkt ergibt sich der erste Eckpunkt des Siebzehnecks.
  7. Verbinde den Eckpunkt mit , somit ist ist die erste Seite des Siebzehnecks exakt konstruiert.
  8. Abschließend trage die Strecke noch fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis ab. Nach dem Verbinden der benachbarten Eckpunkte ergibt sich das regelmäßige Siebzehneck .

Weblinks[Bearbeiten]

 Siebzehneck

Commons-logo.svg Siebzehneck, Seite gegeben

 Mittelsenkrechte

 Thaleskreis

 Winkelhalbierende

 Spiegelung (Geometrie)

Wikibooks-logo.svg Parallele

 Kreiswinkel, Zentriwinkel

 Zentrische Streckung

 Dritter Strahlensatz

 Zahlengerade

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Commons-logo.svg Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke, mit Kurzbeschreibung, Animation

Herbert W. Richmond 1893 Siebzehneck Beschreibung und Siebzehneck Abbildung (Fig. 6)