Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Viereckkonstruktionen

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie

Die Konstruktionsbeschreibungen bauen auf die Grundkonstruktionen auf. Die Reihenfolge ist so gewählt, dass nachfolgende Beschreibungen auf die zuvor dargestellten Bezug nehmen können.

Konstruktion einer Raute

Fall DS

RauteDS.svg
Gegeben: Eine Diagonale d und die Seite s.
  1. Zeichne eine Gerade und trage die Diagonale AC ab.
  2. Zeichne um die Streckenenden je einen Bogen mit dem Radius r gleich der Seitenlänge s.
  3. Die Schnittpunkte der Bögen ( B und D) sind die fehlenden Eckpunkte.
  4. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Dieses Verfahren ist eine Konstruktion der Mittelsenkrechten mit vorgegebenem Zirkelradius.



Fall DD

RauteDD.svg
Gegeben: Die beiden Diagonalen.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage die Diagonale d1 = AC ab.
  2. Konstruiere die Mittelsenkrechte g2 dazu.
  3. Trage auf der Mittelsenkrechten vom Schnittpunkt g1 x g2 mit dem Zirkel auf einer Seite die zweite Diagonale d2 ab (Punkt P).
  4. Halbiere diese Diagonale (Punkt B).
  5. Übertrage den so gefundenen Punkt auf die andere Seite der ersten Diagonale (Punkt D).
  6. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Bei d1 = d2 entsteht ein Quadrat.


Fall SW

RauteSW.svg
Gegeben: Ein Winkel α und die Seite a.
  1. Führe eine Winkelhalbierung durch und verwende dabei als Radius der Bögen nur die Seitenlänge.
  2. Zeichne statt der Winkelhalbierenden die fehlenden Seiten zum vierten Eckpunkt.


Fall GP

RauteGP.svg
Gegeben: Die Gerade, auf der eine Seite (a) liegt und einer der Eckpunkte ( A) ausserhalb.
  1. Konstruiere die Parallele zu g1 durch den Punkt A und verwende als Radius die Seite a.


Konstruktion eines Rechtecks

Fall SS

RechteckSS.svg
Gegeben: Seite a und b.
  1. Zeichne eine Gerade g1
  2. Konstruiere eine Parallele mit gegebenem Abstand b und verwende dabei zwei Punkte (A, B) der Gerade g1 mit dem Abstand a zueinander.
  3. Verbinde die gefundenen Eckpunkte C und D miteinander.

Fall SD

Gegeben: Seite a und Diagonale d.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Diagonale d = AC ab.
  2. Halbiere die Diagonale. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Rechtecks.
  3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M
  4. Zeichne um jedes Ende der Diagonale einen Bogen mit Seite a als Radius, von jedem Ende aus auf einer anderen Seite der Diagonale. Die Schnittpunkte mit dem ersten Kreis sind die Positionen der beiden anderen Eckpunkte B und D.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Diese Konstruktion baut auf dem Satz des Thales auf.

Konstruktion eines Quadrats

Quadrat bei gegebener Seitenlänge

Fall S

Gegeben: Seite a
  • Konstruktion wie beim Rechteck, jedoch mit der Besonderheit, dass b = a ist.
  • Eine alternative Konstruktion zeigt die nebenstehende Darstellung. Der rechte Winkel wird mithilfe des Thaleskreises gefunden.
  1. Zeichne die Seite a = AB.
  2. Bestimme den Punkt M mit einem beliebigen Abstand |AM|.
  3. Ziehe den Thaleskreis um Punkt M mit dem Radius |AM|. Der Schnittpunkt des Thaleskreises mit der Seite a ist E.
  4. Ziehe eine gerade Linie von E durch M bis zum Thaleskreis. Der Schnittpunkt der geraden Linie mit dem Thaleskreis ist F.
  5. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage einen kurzen Kreisbogen um Punkt A.
  6. Ziehe eine gerade Linie von A durch F bis zum kurzen Kreisbogen, dabei ergeben sich der rechte Winkel EAF und der Schnittpunkt D. Die Strecke AD ist eine Seite des entstehenden Quadrates.
  7. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage jeweils einen kurzen Kreisbogen um Punkt D und um Punkt B, die beiden Kreisbögen schneiden sich in C.
  8. Verbinde abschließend den Punkt B mit C und den Punkt C mit D.
Quadrat bei gegebener Diagonale

Fall D

Gegeben: Diagonale d.
  1. Zeichne die Diagonale d = AC.
  2. Halbiere die Diagonale und zeichne dabei durch die Schnittpunkte O und P die Mittelsenkrechte ein. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Quadrats.
  3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M.
  4. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten sind die beiden anderen Eckpunkte B und D des Quadrats.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.


Konstruktion eines Parallelogramms

Fall SSH

Parallelogramm (g1 nicht eingezeichnet), für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar.
Gegeben: Die Seiten a und b und die Höhe h auf eine Seite, z. B. ha.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Seite a = AB ab, zu der die Höhe gegeben ist.
  2. Konstruiere die Parallele im Abstand ha.
  3. Zeichne um die Enden der Seite einen Bogen mit dem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
  4. Zwei Schnittpunkte mit m Abstnd a sind die beiden fehlenden Eckpunkte C und D.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Fall SWS

Gegeben: Beide Seiten und ein Winkel.
  1. Trage auf den Schenkeln des Winkels die beiden Seiten ab.
  2. Zeichne um die freien Enden der Seiten einen Bogen mit dem Radius gleich der jeweils anderen Seite.
  3. Die fehlende vierte Ecke ist derjenige Schnittpunkt der beiden Bögen, welcher zu einem konvexen Viereck führt, das andere Viereck ist überschlagen.
  4. Verbinde die Eckpunkte zyklisch miteinander.
Hinweis

Diese Konstruktion baut auf der Dreieckkonstruktion "SWS" auf.

Fall HWH

ParGrHWH.svg
Gegeben: Beide Höhen und ein Winkel.
  1. Konstruiere eine Gerade und eine Parallele mit einer Höhe als Abstand.
  2. Trage an einem Punkt der Geraden den Winkel an.
  3. Zeichne eine Parallele zum anderen Schenkel des Winkels im Abstand der anderen Höhe.
  4. Verbinde die Eckpunkte miteinander.


Konstruktion eines Drachenvierecks

Drachenviereck.svg

Fall WSS

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen gleichen Seiten (auf der Symmetrieachse) liegender Winkel α

  1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab.
  2. Trage in Punkt A den geg. Winkel an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite gleicher Länge ab.
  4. Zeichne um die beiden freien Enden (Die Ecken B und D) einen Kreis mit einem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
  5. Derjenige Schnittpunkt der Kreise, welcher einen größeren Abstand zu A hat, ist die vierte Ecke C. (Der andere Schnittpunkt erzeugt ein konkaves Viereck) . Verbinde die Punkte B und D mit dem Punkt C.

Fall SWS

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen verschiedenen Seiten ( nicht auf der Symetrieachse) liegender Winkel β

  1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab. Das andere Seitenende ist Punkt B.
  2. Trage in Punkt B den geg. Winkel an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite ab. Man erhält den Punkt C.
  4. Verbinde die freien Endpunkte A und C miteinander. Das ist eine Diagonale und die Symetrieachse.
  5. Spiegele Punkt B an dieser Diagonalen. Der Spiegelpunkt ist die vierte Ecke D.
  6. Verbinde D mit A und C.


Konstruktion eines Sehnenvierecks


Sonstige Vierecke