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Division durch Null

Die Division durch Null ist mathematisch nicht definiert. Warum nicht? Sehen wir uns folgendes Beispiel an:

$4:0$ Scheint ja ziemlich harmlos zu sein, oder? Der Schein trügt. Spätestens nach dem zweiten Herumrechnen wird dir aufgefallen sein, dass es keine Zahl gibt, die multipliziert mit Null die Zahl Vier ergibt, denn jede beliebige Zahl multipliziert mit Null ergibt Null!

Ein weiterer Grund: Versuche einmal die Probe einer Division ("Teilung") durch Null zu machen!

Allgemein kann die Division natürlicher Zahlen als wiederholte Subtraktion angesehen werden:

Bestimme $12:4-->12-4=8;8-4=4;4-4=0$. Die Anzahl der Subtraktionen ist 3. Also ist 12 : 4 = 3.

Bei 12:0 lautet die Frage: Wie oft muss ich 0 von 12 abziehen um 0 zu erhalten? Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt das gewünschte Ergebnis.

Vielleicht denken jetzt manche: Vielleicht ist x : 0 = ∞ (unendlich)? Dies dachte auch Leonhard Euler, doch diese Behauptung ist falsch!

Klammern

Klammern werden in der Mathematik verwendet, um Rechenausdrücke zusammenzufassen. Was innerhalb einer Klammer steht, wird als Einheit gesehen und kann wie eine einzelne Zahl behandelt werden. Das Auflösen von Klammern kann zum Beispiel durch Ausrechnen ihres Inhalts, oder durch Anwendung des Distributiv- beziehungsweise Assoziativgesetzes geschehen.

Einige Beispiele sollen die Anwendung von Klammern verdeutlichen:

• Bei der Rechnung (3∙4)+2 bildet der Ausdruck (3∙4) eine Einheit, muss also zuerst ausgerechnet werden. Es ergibt sich (3∙4)+2 = (12)+2. Da die Zahl 12 ohnehin eine Einheit darstellt, kann nun die Klammer weggelassen werden und der Ausdruck wird zu 12+2, was 14 ergibt.

• Setzt man bei dieser Rechnung die Klammern anders, in der Form 3∙(4+2), so ist auch das Ergebnis ein anderes. Nun stellt nämlich der Ausdruck (4+2) eine Einheit dar und muss zuerst berechnet werden. Es ergibt sich 3∙(4+2) = 3∙(6) = 18

Textbeispiel:

• Einkauf: Um zu bewirken, dass nur ganzzahlige Ergebnisse auftreten, sind die Produktpreise bei diesem Beispiel stark erhöht.

Jemand kauft im Lebensmittelgeschäft drei Wurstbrötchen und zwei Käsebrötchen. Dabei kostet ein Brötchen 5 Euro, die Wurst kostet je 8 Euro und der Käse je 7 Euro. Man möchte errechnen, wie viel er für die fünf Brötchen insgesamt zahlt.

Dazu berechnet man zunächst den Preis für ein Brötchen jeder Sorte. Beim jedem Wurstbrötchen zahlt man 5 Euro für das Brötchen und 8 Euro für die Wurst. Daher beträgt der Preis für ein Wurstbrötchen 5 + 8. Hier macht es Sinn, die beiden Zahlen in einer Klammer zusammenzufassen, also zu schreiben (5 + 8). Weil 3 Wurstbrötchen gekauft werden, muss diese Zahl noch mit 3 multipliziert werden, der Preis für alle drei Wurstbrötchen beträgt also 3∙(5 + 8). Um diesen Ausdruck kann man außen noch einmal Klammern setzen, man erhält ( 3∙(5+8) ) als Preis für drei Wurstbrötchen. Auf dieselbe Art erhält man ( 2∙(5+7) ) als Preis für 2 Käsebrötchen. Wenn man den Preis für die Wurstbrötchen und den Preis für die Käsebrötchen zusammenzählt, ergibt das als Preis für alle fünf Brötchen ( 3∙(5+8) ) + ( 2∙(5+7) ).

Will man nun den Preis für alle Brötchen berechnen, so beginnt man bei den inneren Klammern mit dem Rechnen und geht dann zu den äußeren über. Sobald man nur mehr eine Zahl innerhalb einer Klammer stehen hat, kann man die Klammer weglassen.

Die Rechnung verläuft dann folgendermaßen:

( 3∙(5+8) ) + ( 2∙(5+7) ) =

( 3∙(13) ) + ( 2∙(12) ) =

( 3∙13 ) + ( 2∙12 ) =

( 39 ) + ( 24 ) = 63

Punkt- vor Strichrechnung

Eine gängige Richtlinie schreibt vor, dass die Punktrechnungen [Multiplizieren(∙) und Dividieren(:)] vor den Strichrechnungen [Addieren(+) und Subtrahieren(-)] auszuführen sind.

Diese Regelung hat keinen mathematischen Hintergrund, sondern wurde nur eingeführt, um einige Klammern weglassen zu können. Wenn man die Regel beachtet, kann man zum Beispiel statt 4+(3∙5) auch einfacher 4+3∙5 schreiben.

Es ergibt sich damit folgende Reihenfolge beim Rechnen mit Grundrechnungsarten:

1. Klammern
2. Punktrechnungen
3. Strichrechnungen

Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Das Verbindungsgesetz besagt:

Bei reinen Summen (+) und Produkten (∙) können Klammern beliebig gesetzt werden 

zum Beispiel gilt:

• 12 + 2 + 8 = 12 + (2 + 8)
  
• 4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 = (4 ∙ 3) ∙ (5 ∙ 2) = 4 ∙ (3 ∙ 5) ∙ 2 = ( (4 ∙ 3) ∙ 5 ) ∙ 2 = ...

Wenn der Rechenausdruck nicht nur mit Plus- beziehungsweise Malzeichen zusammengesetzt ist, gilt das Verbindungsgesetz nicht mehr:

• (5 + 2) ∙ 3 ist nicht dasselbe wie 5 + (2 ∙ 3). Der erste Ausdruck ergibt 21, der zweite 11.
• (5 - 2) + 3 ist nicht dasselbe wie 5 - (2 + 3). Der erste Ausdruck ergibt 6, der zweite 0.

Mathematisch ausgedrückt lautet das Verbindungsgesetz:

(a+b)+c = a+(b+c)
(a∙b)∙c = a∙(b∙c)

Dabei kann für a, b und c jede beliebige Zahl eingesetzt werden. Es können auch ganze Rechenausdrücke eingesetzt werden.

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Das Vertauschungsgesetz sagt aus:

Bei reinen Summen (+) und Produkten (∙) kann die Reihenfolge der Zahlen vertauscht werden

Mathematisch ausgedrückt bedeutet das Vertauschungsgesetz:

a + b = b + a
a ∙ b = b ∙ a

Dabei können für "a" und "b" beliebige Rechenausdrücke eingesetzt werden.

Distributivgesetz

Veranschaulichung des Distributivgesetzes: Die Fläche des großen, rosa umrandeten Rechtecks ergibt sich einerseits als Länge mal Breite, also a∙(b+c), andererseits als Summe der beiden Teilrechtecke, also a∙b+a∙c. Folglich sind die beiden Ausdrücke gleich groß.

Klammern müssen vor Punkt- und Strichrechnung berücksichtigt werden!

Beispiel: Um $2\cdot (3+1)$ zu lösen, muss man erst die Klammer ausrechnen, bevor man sie mit 2 multiplizieren kann. Heißt: $2\cdot (3+1)=2\cdot 4=8$

In Algebra sähe das so aus: $a\cdot (b+c)$

Da aber b und c nicht bekannt sind, muss man sich hier helfen. Dazu gilt: Jeden Term der 1. Klammer mit jedem Term der 2. Klammer ausmultiplizieren. Wir haben in der ersten Klammer (a) nur einen "Term", also einen Wert. Also müssen wir den mit jedem aus der 2. Klammer multiplizeren: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Man kann das auch mit weiteren Werten verkomplizieren.

$a\cdot (b+c+d)=a\cdot b+a\cdot c+a\cdot d$

$(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d$

$(a+b)\cdot (c+d+e)=a\cdot c+a\cdot d+a\cdot e+b\cdot c+b\cdot d+b\cdot e$

$(a+b+c)\cdot (d+e+f)=a\cdot d+a\cdot e+a\cdot f+b\cdot d+b\cdot e+b\cdot f+c\cdot d+c\cdot e+c\cdot f$

usw.

Übungsbeispiele

Für weitere Übungsbeispiele siehe Mathematische Übungsbeispiele: Terme

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