Mathematik: Topologie: Topologie Umgebung Basis

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Topologische Räume

Bevor wir nun topologische Räume definieren, machen wir einen kleinen Abstecher in die Analysis. Dort sind Umgebungen und offene Mengen bereits definiert. Zunächst gibt es zwischen verschiedenen Punkten $x$ und $y$ den (euklidischen) Abstand

${\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}}$.

Dann wird für jedes $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und jedes $\epsilon >0$ die $n$-dimensionale offene Kugel ${\mathcal {B}}_{\epsilon }(x)$ um $x$ mit Radius $\epsilon$ definiert als

${\mathcal {B}}_{\epsilon }(x):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+(y_{2}-x_{2})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}}<\epsilon \}$.

Nun werden die offenen Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ als diejenigen Teilmengen definiert, die mit jedem Punkt noch eine (unter Umständen recht kleine) offene Kugel enthalten. Eine Teilmenge $U$ des $\mathbb {R} ^{n}$ ist also offen, wenn es zu jedem Punkt $x\in U$ ein $\epsilon >0$ gibt, sodass die Kugel um $x$ mit Radius $\epsilon$ noch ganz in $U$ enthalten ist, also ${\mathcal {B}}_{\epsilon }(x)\subset U$. Zu einem Punkt $x\in \mathbb {R} ^{n}$ werden schließlich die Umgebungen von $x$ als diejenigen Mengen definiert, die mit dem Punkt $x$ noch eine offene Menge $V$ enthalten. Eine Menge $U$ ist also eine Umgebung von $x$, wenn es eine offene Menge $V$ gibt, sodass $x\in V\subseteq U$ gibt. Umgebungen brauchen selbst nicht offen zu sein.

Man kann sich leicht davon überzeugen, dass Durchschnitte endlich vieler offener Mengen und Vereinigungen beliebig vieler offener Mengen wieder offen sind.

In allgemeinen topologischen Räumen sollen nur noch Umgebungen eine Rolle spielen. In der bisherigen Betrachtung sind Umgebungen durch offene Mengen definiert. Die Definition der offenen Mengen ist allerdings an die Definition der offenen Kugeln und damit an die Berechnung von Abständen gebunden. Letzteres ist im allgemeinen Rahmen nicht mehr möglich. Also macht man aus der Not eine Tugend und nimmt im allgemeinen Fall anstelle des Raumes einfach eine beliebige Menge und listet dann diejenigen Teilmengen auf, die offen sein sollen. Dabei fordert man von der Liste der offenen Mengen die obige Eigenschaft bezüglich der Durchschnitte und Vereinigungen. Die Definition der Umgebung kann man dann genauso vornehmen wie im $\mathbb {R} ^{n}$.

Diese Überlegung führt zu der folgenden Definition des topologischen Raumes:

Definition: topologischer Raum

Sei $X$ eine Menge und ${\mathfrak {P}}(X)$ ihre Potenzmenge. Ein System ${\mathcal {O}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie, wenn die leere Menge $\emptyset$ und die Menge $X$ gehören zu ${\mathcal {O}}$, beliebige Vereinigungen von Mengen aus ${\mathcal {O}}$ gehören wieder zu ${\mathcal {O}}$, d.h. ist $\Lambda$ eine beliebige Indexmenge und $\{O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}\}_{\lambda \in \Lambda }$, so gilt $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}$, endliche Durchschnitte von Mengen aus ${\mathcal {O}}$ gehören wieder zu ${\mathcal {O}}$, d.h. für alle $U,V\in {\mathcal {O}}$ ist $U\cap V\in {\mathcal {O}}$. Das Paar $(X,{\mathcal {O}})$ heißt topologischer Raum.

Die Teilmengen $O\in {\mathcal {O}}$ heißen offen, die Komplemente der offenen Mengen heißen abgeschlossen.

Da die abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenen Mengen sind, sind endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.

Beispiel 1: Der $\mathbb {R} ^{n}$ ist im obigen Sinne ein topologischer Raum, d.h. es sind diejenigen Mengen offen, die mit jedem Punkt $x$ noch eine offene Kugel um $x$ enthalten. Im folgenden Text ist der $\mathbb {R} ^{n}$ immer mit dieser Topologie versehen, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes vereinbart wird.

Beispiel 2: Für eine Menge $X$ gibt es zwei "pathologische" aber zuweilen recht nützliche Fälle:

• Die indiskrete Topologie besteht nur aus der leeren Menge $\emptyset$ und der Menge $X$, also ${\mathcal {O}}=\{\emptyset ,X\}$.
• Die diskrete Topologie ist die Potenzmenge, also ${\mathcal {O}}={\mathfrak {P}}(X)$. In dieser Topologie sind alle Teilmengen von $X$ offen.

Beispiel 3: Sei $X$ eine unendliche Menge. Die kofinite Topologie besteht aus der leeren Menge und allen Mengen, deren Komplement endlich ist.

Beispiel 4: Metrische Räume geben ebenfalls Anlass zu einer Topologie.

Definition: metrischer Raum

Ein metrischer Raum ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Funktion $d:M\times M\to \mathbb {R}$ für die gilt: für alle $x,y\in M$ ist $d(x,y)\geq 0$ und $d(x,y)=0$ genau dann, wenn $x=y$, für alle $x,y\in M$ ist $d(x,y)=d(y,x)$ und für alle $x,y,z\in M$ ist $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

In einem metrischen Raum $M$ bezeichne ${\mathcal {B}}_{\epsilon }(x)=\{y\in M|d(x,y)<\epsilon \}$ die Kugel um den Punkt $x$ mit Radius $\epsilon$.

Eine Teilmenge $O\subseteq M$ von $M$ definieren wir als offen, wenn $O$ mit jedem Punkt $x$ auch noch eine $\epsilon$-Kugel um $x$ enthält, in Formeln: für jeden Punkt $x\in O$ gibt es ein $\epsilon >0$ mit ${\mathcal {B}}_{\epsilon }(x)\subseteq O$. Die so definierten offenen Mengen bilden die von der Metrik induzierte Topologie auf $M$.

Beispiel 5: Normierte Vektorräume sind vermöge $d(x,y):=\|x-y\|$ metrische und damit auch topologische Räume.

Beispiel 6: Induzierte Topologie

Sei $(X,{\mathcal {O}})$ ein topologischer Raum und $A$ eine Teilmenge von $X$. Dann wird durch die Mengen $A\cap O,O\in {\mathcal {O}}$ die induzierte Topologie auf $A$ definiert. Sie wird auch Teilraum-, Unterraum- oder Spurtopologie genannt.

Im Diagramm repräsentieren $O_{1},O_{2},O_{3}$ offene Mengen in $X$. Die schraffierten Gebiete sind die entsprechenden offenen Mengen in $A$.

Nun können wir wie zu Beginn dieses Abschnitts Umgebungen definieren.

Definition: Umgebung

Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$. Eine Menge $U\subseteq X$ heißt Umgebung des Punktes $x$, wenn es eine offene Menge $O$ gibt, sodass $x\in O\subseteq U$.

Es sei angemerkt, dass Umgebungen selbst nicht offen zu sein brauchen. Eine offene Menge ist allerdings Umgebung aller ihrer Punkte.

Auch ist eine Menge $V$, die mit jedem Punkt $x\in V$noch eine Umgebung von $x$ enthält, offen. Denn dann existiert für jedes $x\in V$ nach Definition der Umgebung auch eine offene Menge $O_{x}$ mit $x\in O_{x}\subseteq V$. Dann ist aber $V=\bigcup _{x\in V}O_{x}$ als Vereinigung offener Mengen offen.

Für eine beliebige Teilmenge $A$ eines topologischen Raumes $X$ seien noch das Innere $A^{o}$ als Vereinigung aller offenen Teilmengen von $A$, der Abschluss ${\overline {A}}$ als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die $A$ enthalten, sowie der Rand $\partial A:={\overline {A}}-A^{o}$ definiert.

Bemerkungen:

Das Innere einer Menge ist offen (Vereinigung offener Mengen).

Der Abschluss einer Menge ist abgeschlossen (Durchschnitt abgeschlossener Mengen).

Ist $V\subseteq A$ eine Teilmenge einer abgeschlossenen Menge $A$, so ist auch der Abschluss ${\overline {V}}$ von $V$ in $A$ enthalten, also ${\overline {V}}\subseteq A$.

Ist $O\subseteq V$ eine offene Teilmenge einer Menge $V$, so ist $O$ auch im Inneren $V^{o}$ von $V$ enthalten, also $O\subseteq V^{o}$.

Definition: Berührpunkt

Sei $A$ eine Teilmenge des topologischen Raumes $X$. Ein Punkt $x\in X$ heißt Berührpunkt von $A$, wenn jede Umgebung $U$ von $x$ die Menge $A$ trifft, also $U\cap A\neq \emptyset$ für jede Umgebung $U$ von $x$.

Satz: Eine Menge $A$ ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Berührpunkte enthält.

Beweis:

1. Sei $A$ abgeschlossen. Dann ist $X-A$ offen. Für jedes $x\in (X-A)$ gibt es daher eine Umgebung $U$ von $x$, die ganz in $X-A$ enthalten ist. Es gilt also $U\cap A=\emptyset$, und der Punkt $x$ ist kein Berührpunkt von $A$. Die Berührpunkte von $A$ müssen also in $A$ liegen.
2. Sei nun $A$ eine Menge, die alle ihre Berührpunkte enthält. Die Punkte $x\in (X-A)$ sind dann keine Berührpunkte von $A$, und für jeden dieser Punkte gibt es folglich eine Umgebung $U$ mit $U\cap A=\emptyset$ und damit $U\subseteq (X-A)$. Das bedeutet aber gerade, dass $X-A$ offen und daher $A$ abgeschlossen ist.$\ \surd$

Korollar: Ist $x$ ein Berührpunkt von $A$, dann gilt $x\in {\overline {A}}$.

Beweis: Sei $T$ eine abgeschlossene Menge mit $A\subseteq T$. Dann ist $x$ auch Berührpunkt von $T$, denn $\emptyset \neq U\cap A\subseteq U\cap T$ für jede Umgebung $U$ von $x$. Da $T$ abgeschlossen ist, folgt $x\in T$. Dies gilt für jede solche Menge $T$, also ist $x$ auch im Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die $A$ enthalten, also $x\in {\overline {A}}$. $\ \surd$

Lemma: Ist $x\in {\overline {A}}$, so ist $x$ ein Berührpunkt von $A$.

Beweis: Sei $x\in {\overline {A}}$ und $U$ eine beliebige Umgebung von $x$. Angenommen $U\cap A=\emptyset$. Da $U$ eine Umgebung von $x$ ist, gibt es eine offene Menge $O$ mit $x\in O\subseteq U$. Folglich ist $O\cap A=\emptyset$, also $A\subseteq (X-O)$. Damit folgt $A\subseteq ({\overline {A}}\cap (X-O))$. Nun ist aber $X-O$ abgeschlossen und daher auch ${\overline {A}}\cap (X-O)$. Nach obiger Bemerkung folgt dann ${\overline {A}}\subseteq ({\overline {A}}\cap (X-O))$ und damit ${\overline {A}}\subseteq (X-O)$ im Widerspruch zu $x\in ({\overline {A}}\cap O)$. Also ist $U\cap A\neq \emptyset$, und daher ist $x$ ein Berührpunkt von $A$. $\ \surd$

Korollar: ${\overline {A}}$ ist die Menge aller Berührpunkte von $A$, oder in anderer Formulierung ${\overline {A}}=\{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$von $\ x\}$.

Beweis: klar. $\ \surd$

Satz: Der Rand $\partial A$ einer Menge $A$ besteht aus allen Punkten $x\in X$, die Berührpunkte sowohl von $A$ als auch von $X-A$ sind. Also $\partial A=\{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ und $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$ von $x\ \}$.

Beweis:

1. Sei $x\in \partial A$ und $U$ eine beliebige Umgebung von $x$. Zunächst ist nach Definition des Randes $x\in {\overline {A}}$. Nach dem Lemma ist $x$ Berührpunkt von $A$, und daher ist $U\cap A\neq \emptyset$. Nehmen wir nun an, dass $U\cap (X-A)=\emptyset$ ist. Das bedeutet $U\subseteq A$ und daraus folgt $x\in A^{o}$ im Widerspruch zu $\partial A={\overline {A}}-A^{o}$. Damit ist $\partial A\subseteq \{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ und $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$ von $x\ \}$ gezeigt.
2. Sei nun $x\in \{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ und $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$ von $x\ \}$. Da für jede Umgebung $U$ von $x$ $U\cap A\neq \emptyset$ gilt, ist $x$ ein Berührpunkt von $A$, und es folgt $x\in {\overline {A}}$. Wegen $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für jede Umgebung $U$ von $x$ kann $x$ nicht im Inneren von $A$ liegen. Folglich ist $x\in ({\overline {A}}-A^{o})$, also $x\in \partial A$. Damit gilt auch $\{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ und $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$ von $x\ \}\subseteq \partial A$.

Aus 1. und 2. folgt die Behauptung $\partial A=\{x\in X\mid U\cap A\neq \emptyset$ und $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle Umgebungen $U\$ von $x\ \}$. $\ \surd$

Korollar: Es gilt $\partial A=\partial (X-A)\$.

Beweis: klar. $\ \surd$

Basis, Vergleich von Topologien

Im Beispiel der metrischen Räume wurden die offenen Mengen der Topologie nicht explizit, sondern durch die Angabe der $\epsilon$-Kugeln charakterisiert. Dies führt zur Definition der Basis einer Topologie.

Definition: Basis

Sei ${\mathcal {O}}$ eine Topologie. Eine Basis von ${\mathcal {O}}$ ist eine Menge ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {O}}$ mit der Eigenschaft, dass jede offene Menge $O\in {\mathcal {O}}$ Vereinigung von Mengen aus ${\mathcal {B}}$ ist.

Satz: Sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {B}}$ eine Familie von Teilmengen von $X$ mit folgenden Eigenschaften:

1. $\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B=X$
2. Sind $B,B'\in {\mathcal {B}}$ und $x\in B\cap B'$, dann gibt es ein $B''\in {\mathcal {B}}$ mit $x\in B''\subseteq B\cap B'$.

Dann ist ${\mathcal {B}}$ die Basis einer Topologie ${\mathcal {O}}$ auf $X$.

Beweis: Die gesuchte Topologie ${\mathcal {O}}$ sei definiert als die Menge aller Vereinigungen von Mengen aus ${\mathcal {B}}$. Wegen Eigenschaft 1.) ist $X\in {\mathcal {O}}$. Die leere Vereinigung $\bigcup _{i\in \emptyset }B_{i}=\emptyset$ ist dann ebenfalls in ${\mathcal {O}}$. Beliebige Vereinigungen von Mengen aus ${\mathcal {O}}$ sind nach Definition auch Vereinigungen von Mengen aus ${\mathcal {B}}$ und gehören daher ebenfalls wieder zu ${\mathcal {O}}$. Bleibt zu zeigen, dass auch endliche Durchschnitte von Mengen aus ${\mathcal {O}}$ zu ${\mathcal {O}}$ gehören. Es reicht zu zeigen, dass für je zwei Mengen der Durchschnitt zu ${\mathcal {O}}$ gehört. Seien also $U,V\in {\mathcal {O}}$. Dann ist $U=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }$ und $V=\bigcup _{\nu \in \Theta }B_{\nu }$ für geeignete Indexmengen $\Lambda$ und $\Theta$ sowie Familien $B_{\lambda },B_{\nu }$ von Mengen aus ${\mathcal {B}}$. Weiter ist $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\cap \bigcup _{\nu \in \Theta }B_{\nu }=\bigcup _{\lambda \in \Lambda ,\nu \in \Theta }B_{\lambda }\cap B_{\nu }$ und daher ist $U\cap V$ eine Vereinigung von Durchschnitten $B_{\lambda }\cap B_{\nu }$. Es genügt also zu zeigen, dass die Durchschnitte von je zwei Mengen aus ${\mathcal {B}}$ zu ${\mathcal {O}}$ gehören, denn dann gehört $U\cap V$ als Vereinigung von Mengen aus $O$ wieder zu $O$. Seien nun $B,B'$ zwei Mengen aus ${\mathcal {B}}$. Nach Voraussetzung gibt es für jedes $x\in B\cap B'$ ein $B_{x}$ mit $x\in B_{x}\subseteq B\cap B'$. Dann gehört aber $B\cap B'=\bigcup _{x\in B\cap B'}B_{x}$ als Vereinigung von Mengen aus ${\mathcal {B}}$ zu ${\mathcal {O}}$.   $\surd$

Definition: Subbasis

Sei ${\mathcal {O}}$ eine Topologie. Eine Subbasis von ${\mathcal {O}}$ ist eine Menge ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}$ mit der Eigenschaft, dass die endlichen Durchschnitte von Mengen aus ${\mathcal {S}}$ eine Basis von ${\mathcal {O}}$ bilden.

Sei $X$ eine Menge und seien ${\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}$ Topologien auf $X$. ${\mathcal {O}}_{2}$ heißt feiner als ${\mathcal {O}}_{1}$, wenn jede offene Menge $O\in {\mathcal {O}}_{1}$ auch offen in ${\mathcal {O}}_{2}$ ist, also $O\in {\mathcal {O}}_{2}$. Die Topologie ${\mathcal {O}}_{1}$ heißt dann gröber als ${\mathcal {O}}_{2}$.

Die feinere Topologie enthält also "mehr" offene Mengen und verleiht dem Raum $X$ damit eine stärkere Struktur. Wenn man sich vorstellt, dass die offenen Mengen eine Art Lupe bilden, mit der man auf die Punkte des Raumes sieht, so hat man in einer feineren Topologie auch eine feinere Sicht auf den Raum. Mit "mehr" offenen Mengen kann man auch mehr Punkte unterscheiden. Z. B. ist die indiskrete Topologie, die nur die leere Menge $\emptyset$ und $X$ enthält, die gröbste Topologie auf $X$. In ihr kann man keine Strukturen erkennen, weil man entweder nichts oder alles auf einmal sieht. Die diskrete Topologie wiederum, in der alle Teilmengen von $X$ offen sind, ist die feinste Topologie auf $X$. Im Raum $X$ kann man mit dieser Topologie auch noch jeden einzelnen Punkt erkennen.

Definition: Umgebungsbasis

Sei $(X,{\mathcal {O}})$ ein topologischer Raum und $x\in X$. Eine Menge ${\mathcal {B}}(x)$ von Umgebungen $B$ von $x$ heißt Umgebungsbasis von $x$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ eine Menge $B\in {\mathcal {B}}(x)$ gibt mit $x\in B\subseteq U$.

Beispiel: In einem metrischen Raum bilden die $\epsilon$-Kugeln $B_{\epsilon }(x)$ eine Umgebungsbasis für jeden Punkt $x$.

Definition: Abzählbarkeitsaxiom

Sei $(X,{\mathcal {O}})$ ein topologischer Raum. Er erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es für jeden Punkt $x\in X$ eine abzählbare Umgebungsbasis gibt. Er erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom, wenn es eine abzählbare Basis der Topologie ${\mathcal {O}}$ gibt.

Bemerkungen

• Aus dem 2. Abzählbarkeitsaxiom folgt das 1. Abzählbarkeitsaxiom.
• Metrische Räume erfüllen das 1. Abzählbarkeitsaxiom, weil auch die Kugeln $B_{\frac {1}{n}}(x)$ mit Radius ${\frac {1}{n}},n\in \mathbb {N}$ eine Umgebungsbasis von $x$ bilden.

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