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In diesem Abschnitt sollen Abbildungen zwischen topologischen Räumen betrachtet werden. Von besonderem Interesse sind die "stetigen" Abbildungen. Die Stetigkeit soll die Eigenschaft ausdrücken, daß die Werte einer Abbildung direkt aneinander angrenzen und es keine abrupten Änderungen gibt. Nimmt man zum Beispiel ein Blatt Papier und zeichnet eine Kurve darauf, so bedeutet die Stetigkeit der Kurve, daß sie in einem Zug ohne den Stift abzusetzen gemalt werden kann. Um diese vage Formulierung zu präzisieren, muß man erst einmal klären, was es heißt, daß die Werte einer Abbildung "direkt aneinander angrenzen" und sich nicht "abrupt ändern". Anders gesagt muß man wissen, wann Punkte nah beieinander liegen oder weit voneinander entfernt sind. Nun kann man in topologischen Räumen zwar keine Abstände messen oder berechnen, aber man kann stattdessen die Umgebungen für einen Entfernungsbegriff nutzen. Nimmt man einen festen Punkt
und eine Umgebung
von
, so kann man sagen, daß die Punkte
innerhalb der Umgebung näher an
sind als die Punkte
außerhalb der Umgebung
. Mit Hilfe der Umgebungen kann man nun die Stetigkeit von Abbildungen definieren.
Definition: Stetigkeit
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Seien topologische Räume und ein Punkt in . Eine Abbildung heißt stetig in , wenn für jede Umgebung von eine Umgebung von existiert, so daß . heißt stetig, wenn für alle stetig ist.
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Ist
eine bijektive stetige Abbildung, so muß die Umkehrabbildung
nicht notwendig stetig sein.
Falls
jedoch stetig ist, nennt man
einen Homöomorphismus. Topologische Räume
heißen
homöomorph, wenn es einen Homöomorphismus
gibt.
Falls eine stetige Abbildung
ein Homöomorphismus des topologischen Raumes
auf das Bild
versehen mit der Unterraumtopologie von
ist, nennt man
eine Einbettung von
in
.
Die Stetigkeit von Abbildungen topologischer Räume kann man auch durch die Topologie, d.h. durch die offenen bzw. abgeschlossenen Mengen
charakterisieren. Es gilt folgender
Satz: Seien
topologische Räume und
eine Abbildung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
ist stetig,
- die Urbilder offener Mengen sind offen, d.h. für jede offene Menge
ist
offen,
- die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, d.h. für jede abgeschlossene Menge
ist
abgeschlossen,
Beweis: 1 => 2:
- Sei zunächst
stetig und
offen in
. Sei weiter
und damit
. Nun ist
offen und damit eine Umgebung von
. Wegen der Stetigkeit existiert eine Umgebung
von
mit
und daher
.
enthält also mit jedem Punkt noch eine Umgebung des Punktes und ist daher offen.
2 => 3:
- Seien nun die Urbilder offener Mengen offen und
abgeschlossen in
.
ist offen und damit auch
nach Voraussetzung. Dann ist aber
als Komplement der offenen Menge
abgeschlossen.
3 => 1:
- Seien jetzt die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen. Sei weiter
ein beliebiger Punkt von
und
eine Umgebung von
. Nach Definition enthält
eine offene Menge
mit
. Das Komplement
ist dann abgeschlossen und nach Voraussetzung ebenso
. Dann ist wie vorher
als Komplement der abgeschlossenen Menge
offen. Wegen der Offenheit ist
eine Umgebung von
mit
und das bedeutet die Stetigkeit von
in
. 
Korollar: Eine Abbildung
ist stetig, wenn
die diskrete oder
die indiskrete Topologie trägt.
Beweis: Falls
die diskrete Topologie trägt, d.h. alle Teilmengen von
sind offen, so sind insbesondere die Urbilder offener Mengen offen und
ist stetig. Hat
die indiskrete Topologie, so sind nur
und
offen. Deren Urbilder sind
und
, also ebenfalls offen, und
ist stetig.
Unter stetigen Abbildungen sind nach obigem Satz die Urbilder offener Mengen offen. Man kann daher auch sagen, daß die stetigen Abbildungen mit der topologischen Struktur verträglich sind. Sie sind in diesem Sinn die strukturerhaltenden Abbildungen der topologischen Räume. Als solche sind sie das Analogon zu den linearen Abbildungen der Linearen Algebra oder den Homomorphismen der Gruppen, die mit den Rechenoperationen verträglich sind.
Satz: Seien
topologische Räume und
stetige Abbildungen. Dann ist
stetig.
Beweis: Sei
offen in
. Wegen der Stetigkeit von
ist dann
offen in
. Da
stetig ist, ist
offen in
, aber
.
Satz: Seien
topologische Räume,
eine Abbildung und
abgeschlossene Teilmengen von
, die den Raum
überdecken, für die also
ist. Dann ist
genau dann stetig, wenn die Einschränkungen
von
auf die Teilräume
für alle
stetig sind.
Beweis: Sei zunächst
stetig und
. Sei weiter
irgendeine abgeschlossene Teilmenge von
. Wegen der Stetigkeit von
ist
abgeschlossen in
.
ist dann nach Definition der Teilraumtopologie abgeschlossen in
. Die Urbilder abgeschlossener Mengen aus
unter der Abbildung
sind also abgeschlossen in
, und das bedeutet, daß die Abbildung
stetig ist.
Jetzt seien die
stetig für alle
. Sei wieder
irgendeine abgeschlossene Teilmenge von
. Wegen
ist
. Die Mengen
sind abgeschlossen in den Teilräumen
. Nach Definition der Teilraumtopologie gibt es in
abgeschlossene Mengen
mit
. Dann ist
, und
ist als endliche Vereinigung in
abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen in
. Das bedeutet aber, daß
stetig ist.
Satz: Seien
topologische Räume,
eine Abbildung und
eine Familie offener Teilmengen von
, die den Raum
überdecken, für die also
ist. Dann ist
genau dann stetig, wenn die Einschränkungen
von
auf die Teilräume
für alle
stetig sind.
Beweis: Sei zunächst
stetig und
. Sei weiter
irgendeine offene Teilmenge von
. Wegen der Stetigkeit von
ist
offen in
.
ist dann nach Definition der Teilraumtopologie offen in
. Die Urbilder offener Mengen aus
unter der Abbildung
sind also offen in
, und das bedeutet, daß die Abbildung
stetig ist.
Jetzt seien die
stetig für alle
. Sei wieder
irgendeine offene Teilmenge von
. Wegen
ist
. Die Mengen
sind offen in den Teilräumen
. Nach Definition der Teilraumtopologie gibt es in
offene Mengen
mit
. Dann ist
, und
ist als Vereinigung in
offener Mengen selbst offen in
. Das bedeutet aber, daß
stetig ist.
Das Konzept der Stetigkeit kann man auch nutzen, um auf beliebigen Mengen eine Topologie zu definieren. Sei dazu
irgendeine Menge. Ist
eine Abbildung in einen topologischen Raum
, so wird durch die Urbilder
der in
offenen Mengen
eine Topologie
auf
definiert. Mit dieser Topologie wird die Abbildung
gerade stetig. Wenn
bezüglich irgendeiner anderen Topologie auf
stetig sein soll, so muß diese Topologie mindestens die Mengen
enthalten. Die Topologie
ist also die gröbste Topologie auf
, für die
stetig ist. Sie heißt auch das reziproke Bild der Topologie
bezüglich
.
Ist andererseits eine Abbildung
von einem topologischen Raum
in die Menge
gegeben, so bilden die Mengen
, für die das Urbild
offen in
ist, ebenfalls eine Topologie
. Auch hier ist die Topologie gerade so definiert, daß die Abbildung
stetig ist. Nimmt man zu dieser Topologie noch weitere offene Mengen hinzu, so geht die Stetigkeit von
verloren. Die Topologie
ist also die feinste Topologie auf
, für die
stetig ist. Sie heißt auch Identifizierungstopologie bezüglich
.
Diese Vorgehensweise kann man auf den Fall von ganzen Familien von Abbildungen verallgemeinern. Das führt zu der
Definition: Initial- und Finaltopologie
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Sei eine Menge und eine Familie topologischer Räume. Seien weiter und Familien von Abbildungen. Die Initialtopologie auf bezüglich der Familie ist die gröbste Topologie auf , für die alle Abbildungen stetig sind. Die Finaltopologie auf bezüglich der Familie ist die feinste Topologie auf , für die die Abbildungen stetig sind.
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Satz: Seien
,
und
wie in obiger Definition. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
ist die Initialtopologie auf
bezüglich
.
- Die Urbilder
für alle
und alle in
offenen Mengen
bilden eine Subbasis der Topologie
.
- Eine Abbildung
ist genau dann stetig, wenn alle
stetig sind.

Beweis: Zunächst wird 1 => 2 gezeigt:
- Sei also
die Initialtopologie auf
. Sei weiter
die Menge aller Urbilder
offen in
. Sei weiter
die Topologie auf
, die aus den Mengen aus
und deren endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen gebildet wird. Bezüglich dieser Topologie sind also alle Abbildungen
stetig. Weiter hat
die Menge
als Subbasis. Wegen der Stetigkeit der
bezüglich der Initialtopologie müssen nun alle Mengen aus
auch in
enthalten sein. Damit gehören dann auch alle Mengen aus
zu
. Das bedeutet aber gerade, daß
gröber als
ist. Da die Initialtopologie die gröbste Topologie ist, für die die
stetig sind, ist
. Die Initialtopologie
hat also
als Subbasis. 
Jetzt 2 => 3:
- Sei
stetig und sei
offen in
. Da die Urbilder
offen in
eine Subbasis der Topologie auf
bilden, ist insbesondere auch
offen in
. Wegen der Stetigkeit von
ist dann
offen in
. Aber
, und das bedeutet die Stetigkeit von
. Sei nun andererseits
stetig für alle
und sei
offen in
. Nach Voraussetzung ist
eine Vereinigung von endlichen Durchschnitten von Urbildern offener Mengen. Dann ist
. Wegen der Stetigkeit der
ist dann
offen in
, und das bedeutet gerade die Stetigkeit von
. 
Zuletzt noch 3 => 1:
- Sei nun
eine Topologie auf
mit Eigenschaft 3. Dann sei
der topologische Raum
mit der Initialtopologie und
sei die Identität
. Weil
die Initialtopologie auf
ist, sind die Abbildungen
stetig für alle
. Wegen Eigenschaft 3 ist dann auch die Abbildung
stetig. Für alle in
offenen Mengen
ist dann
offen in
. Das bedeutet, daß
gröber ist als
. Sei nun
der topologische Raum
und
sei die Identität
. Jetzt ist die Identität stetig, und wegen Eigenschaft 3 ist auch
stetig. Aber
, also ist
stetig. Damit ist nun
eine Topologie, für die einerseits die Abbildungen
stetig sind, und die andererseits gröber als die Initialtopologie ist. Nun ist aber die Initialtopologie die gröbste Topologie, für die die
stetig sind, und das bedeutet
. Eine Topologie mit Eigenschaft 3 ist also die Initialtopologie. 
Satz: Seien
,
und
wie in obiger Definition. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
ist die Finaltopologie auf
bezüglich
.
- Eine Menge
ist genau dann offen in
, wenn alle ihre Urbilder
in den
offen sind.
- Eine Abbildung
ist genau dann stetig, wenn alle
stetig sind.

Beweis: Zunächst wird 1 => 2 gezeigt:
- Sei
offen in
. Nach Voraussetzung sind die
stetig, also sind auch die Urbilder
offen in den
. Sei nun andersherum
eine offene Menge, deren Urbilder
offen sind. Dann definiere
als diejenige Topologie, die alle offenen Mengen der Finaltopologie
sowie alle Vereinigungen und alle endlichen Durchschnitte von Mengen aus
mit der Menge
enthält. Bezüglich der Topologie
sind die Abbildungen
ebenfalls stetig, denn die Urbilder der Mengen aus
sowie die Urbilder von
sind nach Voraussetzung stetig, und für die endlichen Durchschnitte und beliebigen Vereinigungen gilt
und
. Die Urbilder dieser Durchschnitte und Vereinigungen sind also ebenfalls offen. Damit ist
eine Topologie, für die die Abbildungen
stetig sind, und die feiner ist als
.
muß also mit
identisch sein, und das bedeutet, daß die Menge
offen ist. 
Dann 2 => 3:
- Sei
stetig und
. Sei weiter
offen in
. Dann ist
offen in
. Nach Voraussetzung ist dann aber auch
offen in
. Das ist aber gerade die Stetigkeit von
. Sei nun andererseits
stetig für alle
und sei
offen in
. Dann ist
offen in
für alle
. Nach Voraussetzung ist dann aber auch
offen in
, und das ist die Stetigkeit von
. 
Jetzt 3 => 1:
- Sei dazu
eine Topologie auf
mit der Eigenschaft 3. Betrachte die Abbildung
anstelle der Abbildung
aus Eigenschaft 3. Da
die Finaltopologie ist, sind die Abbildungen
stetig. Dann ist auch die Abbildung
stetig. Dann sind aber die offenen Mengen aus
offen in
, und damit ist
feiner als die Finaltopologie. Betrachte nun die stetige Abbildung
. Nach Eigenschaft 3 sind dann die Abbildungen
stetig für alle
. Damit ist
eine Topologie auf
, die feiner als die Finaltopologie ist, und für die alle
stetig sind. Da die Finaltopologie aber die feinste Topologie ist, für die die
stetig sind, muß
die Finaltopologie sein. 
Weiter mit Zusammenhang