Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K1: Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

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K1: Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

1.4 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Aus den Axiomen von Kolmogorow können wir einige Eigenschaften ableiten, die das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten vereinfachen oder übersichtlicher machen.

Satz 1.4.1 (Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit)

Weil ∅ = ∅ ∪ ∅ ∪ ... gilt laut Axiom 1.3.1.c dass P(∅) = P(∅) + P(∅) + ...; daraus folgt:

(a) P(∅) = 0.

Wenn A₁,A₂,...,A_n disjunkte Ereignisse sind und wir setzen A_k = ∅ für k > n, dann folgt aus Axiom 1.3.1.c:

(b) $P(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i})=P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})$ .

Für je zwei Ereignisse A und B können wir schreiben B = AB ∪ A^cB, und weil AB und A^cB disjunkt sind, folgt aus (b):

(c) P(B) = P(AB) + P(A^cB).

Wählen wir B = S in (c), dann ist insbesondere:

(d) P(A^c) = 1 – P(A).

Ist A ⊂ B dann ist AB = A, also folgt aus (c):

(e) wenn A ⊂ B, dann ist P(A) ≤ P(B).

Zugleich folgt aus (c), dass im Allgemeinen gilt:

(f) P(A∪B) = P(A) + P(A^cB) = P(A) + P(B) – P(AB).

Aus (f) ergibt sich wieder (Boolesche Ungleichung):

(g) P(A∪B) ≤ P(A) + P(B).

Bemerkung 1

Eigenschaft (b) ist nicht äquivalent mit Axiom 1.3.1.c. Es führt aber zu weit, näher darauf einzugehen.

Beispiel 1

Wir werfen einen echten Würfel so lange, bis sich 6 ergibt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir mehr als drei Mal werfen müssen? Als Ergebnisraum nehmen wir {1,2,3,...}, wo das Ergebnis n bedeutet "n Mal werfen", und als Wahrscheinlichkeitsfunktion:

p(n) = (5/6)^n–1(1/6).

Es sei A das Ereignis "mehr als drei Mal werfen". Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist dann:

P(A) = p(4) + p(5) + p(6) + ...

Es ist einfacher das Komplement von A zu betrachten, weil hier die Zahl der in Frage kommenden Ergebnisse begrenzt ist:

P(A^c) = p(1) + p(2) + p(3) = 1/6 + 5/36 + 25/216 = 91/216.

Also:

P(A) = 1 – P(A^c) = 125/216.

Wir werden später sehen, dass das Ereignis A auch aufgefasst werden kann als: "die ersten drei Würfe ergeben keine 6". Für jeden Wurf ist die Wahrscheinlichkeit 5/6, dass wir keine 6 werfen, und wir werden lernen, dass die gefragte Wahrscheinlichkeit durch Multiplizieren dieser Wahrscheinlichleiten berechnet wird, also als (5/6)³ = 125/216.

Beispiel 2

In einer Stadt lesen 30% der Einwohner die Zeitung A, 20% die Zeitung B und 5% sind Abonnenten beider Zeitungen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liest ein beliebiger Einwohner wenigstens eine der beiden Zeitungen? Wir berechnen:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,3 + 0,2 – 0,05 = 0,45.

Die Eigenschaft (f) lässt sich leicht verallgemeinern für mehr als zwei Ereignisse. Begriffsmäßig ist diese Verallgemeinerung nicht kompliziert, aber wohl das Aufschreiben. Wir zeigen deshalb nur die Verallgemeinerung für drei Ereignisse. Durch wiederholtes Anwenden von (f) folgt:

Satz 1.4.2 (allgemeine Summenregel)

Für drei Ereignissen A, B und C gilt:

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Beispiel 3 (NIEDERDORFF)

In NIEDERDORFF, einem Dorf mit 8123 Einwohnern, gibt es ein blühendes kulturelles Leben, was sich zeigt in drei Theatervereinen: AUF DIE BÜHNE (A) mit 42 Mitgliedern, BÜRGERSPIEL (B) mit 30 Mitgliedern und der CHRISTLICHE THEATERVEREIN (C) mit 57 Mitgliedern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Einwohner Theater spielt? Die Wahrscheinlichkeit ist nicht (42+30+57)/8123, denn 10 Einwohner sind Mitglied von sowohl A als auch von B, 12 sind Mitglied von sowohl A als auch von C, 9 von sowohl B als auch von C und 8 sind sogar Mitglied aller drei Vereine. Wir berechnen also:

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) = (42 + 30 + 57 – 10 – 12 – 9 + 8)/8123 = 106/8123.