2. Symmetrische Wahrscheinlichkeitsräume

2.1 Einführung

Im vorigen Kapitel haben wir schon von symmetrischen Experimenten gesprochen, d.h. von Experimenten, in denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Zum Beispiel nannten wir Würfe einer fairen Münze oder eines fairen Würfels. Symmetrie bei Zufallsexperimenten tritt häufiger auf, insbesondere in den wichtigen Fällen, wo zufällig Kugeln aus einer Urne gezogen werden. Selbstverständlich kann es im Symmetriefall nur endlich viele Ergebnisse geben.

Definition 2.1.1

Wir nennen einen Wahrscheinlichkeitsraum $(S,p)$ symmetrisch, wenn $S$ endlich ist und jedes Ergebnis $s\in S$ die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Weil wir in diesem Kapitel vielfach über die Anzahl der Ergebnisse in einem Ereignis sprechen werden, führen wir dafür eine spezielle Notation ein.

Definition 2.1.2

Die Anzahl der Elemente einer Menge $A$ bezeichnen wir mit $|A|$ .

Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse in einem Ergebnisraum gleich 1 ist, hat jedes Ergebnis $s$ in einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum die Wahrscheinlichkeit $p(s)=1/|S|$ .

Satz 2.1.1

In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum $(S,p)$ ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p$ bestimmt durch:

p(s)={\frac {1}{|S|}}

,

für alle $s\in S$ .

Die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$ ist in einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum gerade die Laplace-Wahrscheinlichkeit. $P(A)$ ist gerade die Anzahl der Ergebnisse, die zu $A$ gehören (günstig sind für $A$ ), dividiert durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

Satz 2.1.2 (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum $(S,p)$ ist die Wahrscheinlichkeit $P$ bestimmt durch:

P(A)={\frac {|A|}{|S|}}

Beweis:

P(A)=\sum _{s\in A}p(s)=\sum _{s\in A}{\frac {1}{|S|}}={\frac {|A|}{|S|}}

Wir betrachten nun einige Beispiele symmetrischer Wahrscheinlichkeitsräume.

Beispiel 1 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Der Ergebnisraum $S$ besteht aus den 36 Paaren $(s_{1},s_{2})$ , mit $s_{i}\in \{1,2,\ldots ,6\}$ . Weil der Würfel fair ist und wir zufällig werfen, haben alle 36 Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Dieses Experiment beschreiben wir also mittels eines symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraums. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $p$ hat für alle 36 Ergebnisse den selben Wert und zwar: $p(s_{1},s_{2})=1/36$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ , die Gesamtanzahl der Augen sei 4? $P(A)=|A|/|S|=3/26$ , denn 3 der 36 Ergebnisse sind günstig für $A$ .

Beispiel 2 (Schule (Fortsetzung))

Aus den 1000 Schülern der Schule im Beispiel 8 des Absatzes 1.1 wird beliebig ein Schüler gewählt. Weil wir zufällig wählen, gibt es für jeden Schüler die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1/1000, gewählt zu werden. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist symmetrisch. Die Wahrscheinlichkeit P(M), dass ein Mädchen gewählt wird, ist also P(M) = 600/1000 = 0,6.

Beispiel 3 (Spielkarten)

Wir ziehen eine beliebige Karte aus einem kompletten Kartenspiel von 52 Karten. Es gibt wieder Symmetrie. Wir berechnen z.B.:

P("Karo") = Anzahl Karokarten / Gesamtanzahl Karten = 13/52 = 1/4,

P("As") = 4/52 = 1/13

und

P("Karo" oder "As") = 16/52 = 4/13.

Die letzte Wahrscheinlichkeit können wir auch berechnen mit der allgemeinen Summeregel. Dann ist:

P("Karo" oder "As")= P("Karo") + P("As") - P("As von Karo") = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52.

Bevor wir entscheiden, ob ein Experiment symmetrisch ist, müssen wir gründlich prüfen, ob das Experiment so eingerichtet ist, dass tatsächlich alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das nächste historische Beispiel zeigt, wie hierbei leicht Fehler entstehen.

Beispiel 4

Wir werfen gleichzeitig zwei Münzen. Die Ergebnisse können wir darstellen als 2×Kopf, 1×Kopf und 0×Kopf. D'Alembert (1717-1783) unterstellte fälschlich, der zugehörige Wahrscheinlichkeitsraum sei symmetrisch.