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Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung bekannter Verteilungen

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K6: Erwartung bekannter Verteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.2 Erwartung bekannter Verteilungen[Bearbeiten]

In diesem Paragrafen listen wir die Erwartungswerte einiger bekannter diskreter Verteilungen auf. Da die Erwartung einer Zufallsvariable X nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X abhängt, nennen wir sie auch den Erwartungswert der (zugehörigen) Verteilung. Wir nennen immer die Verteilung und denken uns dazu eine Zufallsvariable X, deren Ereignisse dementsprechend verteilt sind.

Satz 6.2.1[Bearbeiten]

1. Entartete Verteilung (im Punkt a).

.

2. Bernoulli-Verteilung (mit Parameter p = pX(1)).

.

3. Uniforme oder Gleichverteilung (auf den Zahlen ).

.

4. Binomialverteilung (mit Parametern n und p).

5. Hypergeometrische Verteilung (mit Parametern N, M und n).

6. Geometrische Verteilung (mit Parameter p).

7. Poisson-Verteilung (mit Parameter μ).

Wir wenden diese Ergebnisse an in zwei Beispielen.

Beispiel 1[Bearbeiten]

Die erwartete Anzahl Malen 6 in 25 Würfen mit einem fairen Würfel ist also 25 × 1/6, denn die Anzahl ist B(25,1/6)-Verteilt.

Beispiel 2[Bearbeiten]

Die erwartete benötigte Anzahl Würfe um mit einem fairen Würfel 6 zu werfen ist also 6, denn die benötigte Anzahl Würfe ist geometrisch Verteilt mit Parameter 1/6.