Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung bekannter Verteilungen

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K6: Erwartung bekannter Verteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.2 Erwartung bekannter Verteilungen

In diesem Paragrafen listen wir die Erwartungswerte einiger bekannter diskreter Verteilungen auf. Da die Erwartung einer Zufallsvariable X nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X abhängt, nennen wir sie auch den Erwartungswert der (zugehörigen) Verteilung. Wir nennen immer die Verteilung und denken uns dazu eine Zufallsvariable X, deren Ereignisse dementsprechend verteilt sind.

Satz 6.2.1

1. Entartete Verteilung (im Punkt a).

E X = a \cdot 1 = a

.

2. Bernoulli-Verteilung (mit Parameter p = p_X(1)).

E X = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p

.

3. Uniforme oder Gleichverteilung (auf den Zahlen $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ ).

E X = x_{1} \frac{1}{N} + x_{2} \frac{1}{N} + \dots + x_{N} \frac{1}{N} = \frac{1}{N} \sum x_{i} = \bar{x}

.

4. Binomialverteilung (mit Parametern n und p).

E X = \sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} p^{k} (1 - p)^{n - k} =

= n p \sum_{m = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{m}) p^{m} (1 - p)^{n - 1 - m} = n p

5. Hypergeometrische Verteilung (mit Parametern N, M und n).

E X = \sum_{m = 0}^{n} m \frac{(\binom{M}{m}) (\binom{N - M}{n - m})}{(\binom{N}{n})} = n \frac{M}{N}

6. Geometrische Verteilung (mit Parameter p).

E X = \sum_{n = 1}^{\infty} n (1 - p)^{n - 1} p = p {\frac{d}{d z} \sum_{n = 1}^{\infty} z^{n} |}_{z = 1 - p} = p \frac{d}{d z} {(\frac{1}{1 - z}) |}_{z = 1 - p} = \frac{1}{p}

7. Poisson-Verteilung (mit Parameter μ).

E X = \sum_{n = 0}^{\infty} n \frac{μ^{n}}{n!} e^{- μ} = μ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{μ^{n - 1}}{(n - 1)!} e^{- μ} = μ

Wir wenden diese Ergebnisse an in zwei Beispielen.

Beispiel 1

Die erwartete Anzahl Malen 6 in 25 Würfen mit einem fairen Würfel ist also 25 × 1/6, denn die Anzahl ist B(25,1/6)-Verteilt.

Beispiel 2

Die erwartete benötigte Anzahl Würfe um mit einem fairen Würfel 6 zu werfen ist also 6, denn die benötigte Anzahl Würfe ist geometrisch Verteilt mit Parameter 1/6.