Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

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K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.3 Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Oft müssen wir die Erwartung einer Funktion einer oder mehrerer Zufallsvariablen bestimmen. Wir betrachten zuerst ein Beispiel.

Beispiel 1

Wir werfen eine faire Münze solange bis wir "Kopf" werfen. Die Zufallsvariable $N$ bezeichnet die benötigte Anzahl Würfen und ist geometrisch verteilt mit Parameter 1/2. Wenn wir $n$ Würfe brauchten, bekommen wir einen Betrag $2^{-n}$ ausgezahlt. Die Ausbezahlung nennen wir $X$. Sie ist eine Funktion von $N$, und zwar $X=2^{-n}$. Für die erwartete Ausbezahlung berechnen wir:

$EX=\sum _{x\in S_{X}}x\;P(X=x)={\tfrac {1}{2}}P(X={\tfrac {1}{2}})+{\tfrac {1}{4}}P(X={\tfrac {1}{4}})+{\tfrac {1}{8}}P(X={\tfrac {1}{8}})+...$.

Nun ist

$P(X=2^{-n})=P(N=n)=({\tfrac {1}{2}})^{n}$,

also ist:

$EX=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{2}})^{n}({\tfrac {1}{2}})^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{4}})^{n}={\frac {\tfrac {1}{4}}{1-{\tfrac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.$

Es zeigt sich, dass wir auf selbstverständliche Weise schreiben können:

$EX=E2^{-N}=\sum _{n=1}^{\infty }({\tfrac {1}{2}})^{n}P(N=n),$

wobei $EX$ in der Verteilung von $N$ ausgedrückt ist. Wir brauchen also nicht zuerst die Verteilung von $X$ zu bestimmen.

Was wir im Beispiel sahen, gilt ganz allgemein, wie der nächste Satz zeigt.

Satz 6.3.1

Es seien $X_{1},\ldots ,X_{n}$ Zufallsvariablen und $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine Funktion, dann ist

$Eg(X_{1},...,X_{n})=\sum _{x_{1},...,x_{n}}g(x_{1},...,x_{n})P(X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n}).$

Dabei wird also summiert über alle möglichen Werte $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ von$(X_{1},\ldots ,X_{n})$.

Beweis.

Nenne $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ und $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Dann gilt für die Zufallsvariable $g(X)$:

$Eg(X)=\sum _{s\in S}g(X(s))p(s)=\sum _{x}g(x)P(X=x)$

Um die Erwartung einer Funktion $Y=g(X)$ von $X$ zu bestimmen, brauchen wir also nicht zuerst die Verteilung von $Y$ zu berechnen, sondern können mit dem obigen Satz die Erwartung $Eg(X)$ direkt mittels der Verteilung von $X$ bestimmen.

Beispiel 2 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Die Zufallsvariablen $Z=X+Y$ und $M=\max(X,Y)$ sind Funktionen der Augenzahlen $X$ und $Y$ zw. des ersten und des zweiten Wurfs. Wir berechnen:

$EZ=E(X+Y)=\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)P(X=x,\;Y=y)={\tfrac {1}{36}}\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}(x+y)=7$

und

$EM=E\max(X,Y)=\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}\max(x,y)P(X=x,\;Y=y)={\tfrac {1}{36}}\sum _{x=1}^{6}\sum _{y=1}^{6}\max(x,y)=$

$={\tfrac {1}{36}}\sum _{m=1}^{6}m(2m-1)={\tfrac {161}{36}}.$

Für die letztere Summe bedenken wir, dass es $2m-1$ Paare $(x,y)$ gibt, für die $\max(x,y)=m$.

Merke auf, dass $E(X+Y)=EX+EY$. In einem weiteren Paragrafen werden wir sehen, dass diese Beziehung allgemein gültig ist.

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit einer Berechnung von $EZ$ und $EM$ mittels der Verteilungen von $Z$ und $M$:

$EZ=\sum _{z=2}^{12}z\;P(Z=z)=2\times {\tfrac {1}{36}}+2\times {\tfrac {3}{36}}+4\times {\tfrac {3}{36}}+\ldots +12\times {\tfrac {1}{36}}=7$

und

$EM=\sum _{m=1}^{6}m\;P(M=m)=1\times {\tfrac {1}{36}}+2\times {\tfrac {3}{36}}+\ldots +6\times {\tfrac {11}{36}}={\tfrac {161}{36}}.$