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Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Bernoulli-Zahlen

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Die Bernoulli-Zahlen sind eine Folge . In der Literatur finden sich verschiedene Definitionen für , aber sonst sind sich die Definitionen alle einig. Wir wollen die folgende Definition verwenden, weil die Rechnungen damit besonders einfach werden:

Definition (Bernoulli-Zahlen):

Die Bernoulli-Zahlen sind definiert durch die Gleichung

für in einer hinreichend kleinen Nullumgebung.

Satz (Die Rekursionsformel der Bernoulli-Zahlen):

Die Bernoulli-Zahlen erfüllen die Rekursionsformel

für .

Beweis: Diese Formel ergibt sich durch Anwendung der Produktformel für faktorielle Potenzsummen auf die mit multiplizierte Definitionsgleichung der Bernoulli-Zahlen.

Satz (Partialbruchzerlegung der faktoriellen erzeugenden Abhängigen der Bernoulli-Zahlen):

Es gilt

.

Beweis: Zunächst entwickeln wir , denn diese Abhängige ist periodisch. Wenn wir das geschafft haben, müssen wir nur noch mit multiplizieren.

Also: Definiere erstmal rein formal

und .

Wir beweisen nun, dass tatsächlich (außer in den Polen ) konvergiert. Hierzu fassen wir die Summanden zusammen als

und wenden auf die resultierende Summe (bis auf endlich viele Terme) das Majorantenkriterium bzgl. der Summe an. Dies ergibt (in uniformer Entfernung zu den Polen) eine lokal uniforme Konvergenz, und somit ist meromorph in . Außerdem ist periodisch mit der Periode , wie man leicht aus der Reihendefinition ersieht.

Betrachte nun die Abhängige . Diese ist wegen der Abwesenheit der Pole und der Periodizität beschränkt, also daher konstant. Die Konstante berechnet sich, indem man lässt, merkt, dass für alle bis auf den -Term irrelevant werden, und auf den gleichen Nenner bringt, zu

.

Dies ist schon äquivalent zur gewünschten Formel.

Satz (Zeta-Formel für die Bernoulli-Zahlen):

Es gilt

und , mit der Ausnahme .

Beweis: Zuerst entwickeln wir einen einzelnen Term der obigen Partialbruchzerlegung in eine geometrische Reihe:

Nun betrachten wir die Summe über alle (alles andere in der Partialbruchzerlegung trägt ja nur zu den ersten beiden Koeffizienten bei), und vertauschen dann die Summationen. Das Resultat ist

,

und daran kann man die zu beweisenden Formeln ablesen.

Dass für erkennt man auch daran, dass der "Hauptteil" (also der Teil mit Brüchen) der Partialbruchzerlegung eine gerade Abhängige ist.

Definition (Bernoulli-Polynom):

Das -te Bernoulli-Polynom ist definiert durch die Gleichung

.

Offenbar gilt , die Formel für folgt dagegen aus der oben gezeigten Rekursionsformel der Bernoulli-Zahlen.

Satz (Steigung der Bernoulli-Polynome):

Es gilt .

Beweis: Es sei der Linearitätsraum aller Polynome in den beiden Variablen und des Gesamtgrades , und es sei der Linearitätsraum aller Polynome nur in des Grades . Wir definieren eine lineare Abhängige

durch

.

Da die Steigung einer linearen Abhängigen durch diese selbst gegeben ist, gilt nach der Kettenregel

Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist motiviert durch die Idee der Annäherung eines Integrals durch eine Summe. Und zwar soll das Integral

durch eine Summe approximiert werden, wobei wir uns die Einschränkung auferlegen, dass die Werte von nur in den ganzzahligen Stellen verwendet werden dürfen. Falls , so ist eine naheliegende Approximation der Durchschnitt

.

Für ein allgemeines kann man diese Approximation in allen Intervallen nehmen und dann summieren. Man erhält so die Annäherung

.

Die Güte dieser Approximation ist der Gegenstand der folgenden Formel.

Satz (Euler–Maclaurin-Formel):

Für Abhängige mit limestreuen Steigungen gilt die Formel

.

Beweis: Aufgrund der entstehenden Teleskopsumme reicht es, den Fall zu betrachten. Für gilt nach partieller Integration

,

und der Induktionsschritt wird impliziert von der (ähnlichen) Rechnung

.

Eine direkte Anwendung dieser Formel auf das Monom ergibt die folgende Formel:

Satz (Faulhaber-Formel):

Es gilt

.

Für das computarisierte Ausrechnen der sog. Faulhaber-Polynome (dieser Begriff bezeichnet nämlich die rechte Seite der obigen Gleichung) hohen Grades ist die folgende Formel nützlich:

Satz (Formel von Wildberger):

Bezeichnet das Faulhaber-Polynom für den Grad (welches aber selbst den Grad hat), so gilt

,

wobei das formale Integral ohne konstanten Term bezeichne.

Beweis: Es bezeichne die formale Steigung. Dann gilt nach der Formel von Faulhaber und der Definition des Binomialkoeffizienten

.

Anwenden von liefert

,

und in diese Formel kann man auch einsetzen, und damit wird man den ""-Term los.