Mathematik für Schüler/ Addition rationaler Zahlen

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Addition von rationalen Zahlen

Grundlagen: Definition rationaler Zahlen (Siehe auch Zahlmengen)

Die Addition rationaler Zahlen ist etwas schwieriger als die Addition natürlicher Zahlen. Wichtig ist das Vorzeichen (also '+' oder '') der zu addierenden Zahlen.

Es gibt zwei Arten der Addition rationaler Zahlen:

Addition rationaler Zahlen mit gleichem Vorzeichen

Wenn wir nun also das Ergebnis von berechnen wollen, müssen wir uns erst die Vorzeichen beider Summanden ansehen. In diesem Fall handelt es sich bei beiden Summanden um ein ''. Die Aufgabe ist vergleichbar mit folgendem Sachverhalt: Eine Person hat 5 € Schulden, da sie sich Geld leiht, kommen weitere 10 € Schulden hinzu die Person hat also insgesamt 15 € Schulden.
Das Ergebnis dieser Aufgabe lautet also: .
Wir rechnen zum Vergleich , wobei das Ergebnis dieser Aufgabe ist. Es unterscheidet sich von also nur durch das Vorzeichen.

Daraus lässt sich erkennen:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen, indem man die Summe der Beträge der beiden Zahlen berechnet und das Vorzeichen der beiden Zahlen vor die Summe setzt.

Man kann also auch berechnen, indem man und addiert und vor das Ergebnis ein '' setzt.

Brüche werden genauso addiert, beim Addieren der Zähler müssen die obigen Regeln beachtet werden.

Addition rationaler Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen

Wenn die Vorzeichen beider Summanden verschieden sind, ist die Addition etwas anders: Als Beispiel dient die Aufgabe . Auch diese Aufgabe kann man wieder veranschaulichen:
Man hat 20€ und gibt davon 5€ aus, hat also noch 15€. Rechnet man zum Vergleich wieder , erhält man diesmal 25, man kann also nicht wie bei der Addition mit gleichem Vorzeichen vorgehen.
Versuchen wir es mit größerem Betrag minus kleinerem Betrag: und erhalten 15, das gleiche Ergebnis. Wir rechnen weitere Aufgaben:

und zum Vergleich:
sowie
und zum Vergleich:
und
und zum Vergleich:

Man kann verallgemeinern:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man die Differenz der Beträge der beiden Zahlen berechnet (größerer Betrag kleinerer Betrag) und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag vor die Summe setzt.

Für Brüche gelten auch hier dieselben Regeln:

Hinweise

Statt eine negative Zahl zu addieren, kann man auch den Betrag der Zahl subtrahieren.
Aus wird also .


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