Mathematikunterricht/ Sek/ Addition von positiven und negativen rationalen Zahlen

Symbole

„+“ und „-“ haben je 2 Bedeutungen: Das Pluszeichen „+“ ist das Symbol für die Addition oder für ein positives Vorzeichen einer Zahl. Das Minuszeichen „-“ ist das Symbol der Differenz oder es markiert eine negative Zahl.

Addition von rationalen Zahlen

Grundlagen: Definition rationaler Zahlen (Siehe auch Zahlmengen)

Die Addition rationaler Zahlen ist etwas schwieriger als die Addition natürlicher Zahlen. Wichtig ist das Vorzeichen (also '+' oder ' $-$ ') der zu addierenden Zahlen.

Es gibt zwei Arten der Addition rationaler Zahlen:

Addition rationaler Zahlen mit gleichem Vorzeichen

Wenn wir nun also das Ergebnis von $(-5)+(-10)$ berechnen wollen, müssen wir uns erst die Vorzeichen beider Summanden ansehen. In diesem Fall handelt es sich bei beiden Summanden um ein ' $-$ '. Die Aufgabe ist vergleichbar mit folgendem Sachverhalt: Eine Person hat 5 € Schulden, da sie sich Geld leiht, kommen weitere 10 € Schulden hinzu die Person hat also insgesamt 15 € Schulden.
Das Ergebnis dieser Aufgabe lautet also: $-15$ .
Wir rechnen zum Vergleich $5+10$ , wobei das Ergebnis dieser Aufgabe $15$ ist. Es unterscheidet sich von $-15$ also nur durch das Vorzeichen.

Daraus lässt sich erkennen:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen, indem man die Summe der Beträge der beiden Zahlen berechnet und das Vorzeichen der beiden Zahlen vor die Summe setzt.

Man kann $(-5)+(-10)$ also auch berechnen, indem man $5$ und $10$ addiert und vor das Ergebnis ein ' $-$ ' setzt.

Brüche werden genauso addiert, beim Addieren der Zähler müssen die obigen Regeln beachtet werden.

$(-{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{4}})={\frac {(-2)+(-1)}{4}}=-{\frac {3}{4}}$

Addition rationaler Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen

Wenn die Vorzeichen beider Summanden verschieden sind, ist die Addition etwas anders: Als Beispiel dient die Aufgabe $20+(-5)$ . Auch diese Aufgabe kann man wieder veranschaulichen:
Man hat 20€ und gibt davon 5€ aus, hat also noch 15€. Rechnet man zum Vergleich wieder $20+5$ , erhält man diesmal 25, man kann also nicht wie bei der Addition mit gleichem Vorzeichen vorgehen.
Versuchen wir es mit größerem Betrag minus kleinerem Betrag: $20-5$ und erhalten 15, das gleiche Ergebnis. Wir rechnen weitere Aufgaben:

$5+(-7)=-2$ und zum Vergleich: $7-5=2$
sowie
$(-7)+4=-3$ und zum Vergleich: $7-4=3$
und
$(-2)+(+3)=+1$ und zum Vergleich: $3-2=1$

Man kann verallgemeinern:

Man addiert zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man die Differenz der Beträge der beiden Zahlen berechnet (größerer Betrag $-$ kleinerer Betrag) und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag vor die Summe setzt.

Für Brüche gelten auch hier dieselben Regeln:

${\frac {1}{2}}+(-{\frac {1}{4}})={\frac {2+(-1)}{4}}={\frac {1}{4}}$