Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Eigenschaften von Funktionen

Monotonie

Die Monotonie bezieht sich auf das Steigungsverhalten einer Funktion.

Definition der Monotonie

• f(x) ist in einem Intervall I von D streng monoton steigend, wenn für alle x₂ > x₁ auch f(x₂) > f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann injektiv und steigend. Ihre erste Ableitung ist im gesamten Intervall I positiv.

• f(x) ist in einem Intervall I von D monoton steigend, wenn für alle x₂ >x ₁ f(x₂) ≥ f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann nicht injektiv und nichtfallend.

• f(x) ist in einem Intervall I von D streng monoton fallend, wenn für alle x₂ > x₁ f(x₂) < f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann injektiv und fallend. Ihre erste Ableitung ist im gesamten Intervall I negativ.

• f(x) ist in einem Intervall I von D monoton fallend, wenn für alle x₂ > x₁ f(x₂) ≤ f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Ist die Funktion nicht injektiv und nichtsteigend, nennt man sie monoton fallend.

Beispielsweise sind Exponential- und Logarithmusfunktion streng monoton.

Beispiele

	Die einfache Logarithmusfunktion ist streng monoton steigend.
	Diese Funktion ist abschnittsweise definiert. Die beiden äußeren Teile sind steigend, der mittlere Teil ist eine konstante Funktion. Diese Funktion ist also nichtfallend bzw. monoton steigend.
	Diese lineare Funktion ist streng monoton fallend.
	Diese Treppenfunktion ist monoton fallend, denn sie ist nichtsteigend.

Beschränkte Funktionen

Definition

• Eine Funktion f(x) ist nach oben beschränkt, falls es eine reelle Zahl k gibt, die von f(x) für alle x∈D nicht überschritten werden kann.
• Eine Funktion f(x) ist nach unten beschränkt, falls es eine reelle Zahl k gibt, die von f(x) für alle x∈D nicht unterschritten werden kann.

• Eine Funktion f(x) heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

Ein Schranke muss nicht notwendigerweise zum Wertebereich der Funktion gehören.

Polynome geradzahligen Grades sind einseitig beschränkt, die ungeradzahligen Grades unbeschränkt.

Beispiele:

	Die abschnittsweise definierte Funktion hat die obere Schranke 5
	Die Funktion $y=3-x^{2}$‎ hat die obere Schranke 3
	Die Funktion $y=1+{\frac {1}{x}}$ hat die untere Schranke 1
	Die Funktion $y=e^{-x^{2}}$, die übrigens mit der Normalverteilung verwandt ist, hat, wie man unschwer erkennt, die obere Schranke 1 und untere Schranke 0. Sie ist beschränkt.

Extremwerte

Extremwerte einer Funktion

Definition eines Extremums

• Ein Punkt (x₀, f(x₀)) im Innern des Definitionsbereichs, in dessen Umgebung nur Funktionswerte f(x) < f(x₀) existieren, ist ein Maximum.

• Ein Punkt (x₀, f(x₀)) im Innern des Definitionsbereichs, in dessen Umgebung nur Funktionswerte f(x) > f(x₀) existieren, ist ein Minimum.

Die Umgebung des Extremums kann beliebig sein.

Das Maximum (Minimum) über den gesamten Definitionsbereich wird als globales oder absolutes Maximum (Minimum) bezeichnet, ansonsten handelt es sich um ein lokales oder relatives Maximum (Minimum).

Da Punkte am Rand des Definitionsbereichs im eigentlichen Sinn keine Umgebung haben, trifft für sie die Definition des Extremums nicht zu. Wenn jedoch ein Punkt am Rand des Definitionsbereichs einen maximalen oder minimalen Funktionswert aufweist, liegt faktisch ein Extremwert vor. Also kann ein Randpunkt des Definitionsbereichs ein absoluter Extremwert sein, allerdings kein relativer.

Extremwerte in einer Umgebung können häufig mit Hilfe der Differentialrechnung ermittelt werden. Wenn das nicht möglich ist, werden numerische Verfahren verwendet. Bei Funktionen, deren Verhalten nicht hinreichend bekannt ist, besteht das Problem, dass hier die Zahl und Lage der Extremwerte unbekannt ist und es Glückssache sein kann, einen absoluten Extremwert zu finden.

Nullstellen

Nullstelle von $y=60-3x$

sind die Werte der unabhängigen Variablen, für die die Funktionswerte Null werden. Es handelt sich also gewissermaßen um die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Abszisse.

Beispiel:

Ermittlung der Nullstelle von $y=60-3x$. Es soll also sein $60-3x=0$ und wir erhalten dann den Abszissenwert $x=20$, wie auch aus der Grafik zu ersehen ist.

Nullstellen von Polynomen

Ein Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen. Es können auch komplexe Nullstellen und Mehrfachnullstellen auftreten. Ein Polynom hat also höchstens n reelle (verschiedene) Nullstellen.

Die Nullstellen von Polynomen erster und zweiter Ordnung können relativ einfach analytisch ermittelt werden. Für Polynome dritter und vierter Ordnung existieren ebenfalls analytische Lösungen, die aber relativ aufwendig zu berechnen sind, so dass man hier in der Regel auf numerische Verfahren zurückgreift.

Ein Polynom n-ten Grades $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}x^{0}$ mit den Nullstellen x₁, x₂, ... , x_n kann auch so dargestellt werden:

$f(x)=a_{n}(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n})$

Ist eine Lösung x₁ bekannt, kann man f(x) durch x - x₁ teilen und erhält ein Polynom (n-1)ten Grades g(x),

$g(x)={\frac {f(x)}{x-x_{1}}}$ bzw. $f(x)=g(x)(x-x_{1})$.

Sind die x_i ganzzahlig, kann man g(x) mit Hilfe der Polynomdivision ermitteln. Auf eine Darstellung des Verfahrens wird aber hier verzichtet, da ohnehin in der Praxis die Wahrscheinlichkeit des Auftretens nicht ganzzahliger Nullstellen sehr hoch ist. Für die numerische Ermittlung von Nullstellen gibt es diverse Verfahren, wie das Newton-Verfahren oder die Regula Falsi.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn man, salopp ausgedrückt, ihren Graphen in einem Zug zeichnen kann.

Bedingungen für Stetigkeiten von y = f(x): Eine Funktion f(x) ist in einem Punkt x=x₀ stetig, wenn

1. der Funktionswert existiert
2. der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen und endlich sind.

Polynome sind immer stetig. Gebrochenrationale Funktionen sind stetig bis auf Polstellen und Definitionslücken. Elementare Exponential- und Logarithmusfunktionen sind stetig.

Beispiele

	Stetige Funktion, da alle Polynome stetig sind.
	Stetige Funktion, denn die Teilgeraden berühren sich.
	Nicht stetige Funktion, denn zwischen den beiden Funktionsteilen klafft eine Lücke.
	Gegeben ist die Funktion $y={\frac {1}{x^{2}}}$. Sie ist nicht definiert für $x=0$. y hat bei x=0 eine Unendlichkeits- oder Polstelle. Man sieht, wie in der unmittelbaren Umgebung von x=0 die Funktionswerte stark ansteigen. Sie nähern sich asymptotisch der Ordinate.
	Gegeben ist die Funktion $y={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$. Sie ist nicht definiert für $x=1$. Kürzen ergibt $y=x+1$, aber die Definitionslücke bei $x=1$ bleibt bestehen. Man kann diese Unstetigkeitsstelle durch stetige Ergänzung beheben und erhält $f(x)={\begin{cases}x+1&{\mbox{ fuer }}x\neq 1\\2&{\mbox{ fuer }}x=1\end{cases}}$

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