Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Funktionstypen

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Besonderheit einer Funktion


Abschnittsweise definierte Funktion[Bearbeiten]

Der Definitionsbereich wird in Intervalle eingeteilt, denen verschiedene Funktionsgleichungen zugeordnet werden.

Beispiel:

Briefporto im Land Postalien: f(x) Taler für eine Postsendung von x Gramm.

Typen von Funktionen[Bearbeiten]

Algebraische Funktionen[Bearbeiten]

Allgemein wird die algebraische Funktion folgendermaßen dargestellt:


mit .

Da es hier keine explizite unabhängige und abhängige Variable gibt, nennt man diese Art der Darstellung implizit. Häufig ist es algebraisch unmöglich, eine implizite Funktion nach einer Variablen aufzulösen.


Beispiel:

.

Polynome[Bearbeiten]

Beispiel:

ist ein Polynom 4. Grades.


Allgemein:

mit ist ein Polynom nten Grades.

ai nennt man die Koeffizienten des Polynoms.


Beispiele:

Unten folgt die Grafik der Funktion

.


Man sieht, dass sich durch Ausmultiplizieren wieder ein Polynom ergibt, und zwar fünfter Ordnung.


Polynom1.png

Bestimmte Eigenschaften kann man Polynomen an der "Nasenspitze" ansehen:

Ist der Grad des Polynoms ungerade, ist die Funktion nach oben und unten unbeschränkt. Ist der Koeffizient positiv, verläuft die Funktion tendenziell von links unten nach rechts oben, gewissermaßen von Südwesten nach Nordosten. Ist dagegen negativ, verläuft die Funktion tendenziell von links oben nach rechts unten, also gewissermaßen von Nordwesten nach Südosten. In der obigen Grafik ist positiv.

Polynome lassen sich sämtlich faktorisiert darstellen, also in der Form


.

Die sind die Nullstellen des Polynoms.

Spezielle Polynome[Bearbeiten]

1. Konstante Funktion f(x) = a

Funktion

Beispiele

In einem Restaurant kann man bei einem Salatbüffet für einen Preis (y) von 15 € soviel Gramm (x) Salat essen, wie man möchte.

Eine bekannte ökonomische Anwendung der konstanten Funktion sind die fixen Kosten, die auch für alle produzierten Mengen x gleich bleiben.

Die Rechteckverteilung oder stetige Gleichverteilung, die aus der Statistik bekannt ist, hat auch eine konstante Funktion als Dichtefunktion.


2. Lineare Funktion f(x)= a + bx.

Die lineare Funktion wird aufgrund ihrer einfachen Handhabung häufig für wirtschaftswissenschafliche Anwendungen verwendet.

Eine Gerade wird durch zwei Punkt eindeutig bestimmt. Sind die Wertepaare (x1;y1) und (x2;y2) gegeben, errechnen sich die Steigung b als

und das Absolutglied als .


3. Quadratische Funktion


Beispiel

.

Gebrochen rationale Funktion[Bearbeiten]

Die gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome

Beispiele:

für ist f(x) nicht definiert.
für
für .
für .


Wurzelfunktionen[Bearbeiten]

Eine Wurzelfunktion ergibt sich, wenn eine implizite algebraische Funktion nach y aufgelöst wird.


Beispiel für Auflösung einer algebraischen Funktion:


Beispiel einer volkswirtschaftlichen Produktionsfunktion:

mit y: Produktion, A: Arbeit und K: Kapital, 0 ≤ β ≤ 1.


Beachten: Im allgemeinen ist bei einfachen Wurzelfunktionen


Transzendente Funktionen[Bearbeiten]

Alle Funktionen, die nichtalgebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt. Im Folgenden werden ausgewählte transzendente Funktionen behandelt.

Exponentialfunktionen[Bearbeiten]

Beispiele

Spezialfälle sind die elementaren Exponentialfunktionen für a > 0.

Exponentialfunktionen werden häufig bei stetigen Wachstumsfunktionen verwendet.


Beispiel: Wachstum der Bevölkerung einer Stadt

Zu Anfang, im Zeitpunkt t=0, zählt man 1200 Einwohner. Die Wachstumsrate ist 0,1. Ber Bestand im Zeitablauf kann beschrieben werden als

Bestand im Jahr 10: .


Beispiel für die Entwicklung der Nachfrage eines neuen Gutes im Zeitablauf:

.

Das ist die logistische Funktion

,

wobei a der Sättigungswert ist.


Eigenschaften von Exponentialfunktionen:

Für x ≥ 0 sind ax streng monoton steigend und a-x streng monoton fallend. Sie sind nach unten beschränkt und haben keine Nullstelle.

Logarithmusfunktionen[Bearbeiten]

Die einfache Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der einfachen Exponentialfunktion. Es ist mit und

z. B.:

.

Allgemein:

.

Logarithmusfunktionen sind streng monoton steigend und unbeschränkt. Alle einfachen L-Funktionen sind nur für x > 0 definiert und schneiden die Abszisse im Punkt 1.

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