Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rentenrechnung

Nachschüssige Zahlung

Eine Versicherung ist verpflichtet, einem Unfallopfer vier Jahre lang zum Jahresende je 30000 € zu zahlen. Wie hoch ist der Rentenendwert bei einer Verzinsung von 5%?

Es soll also in jeder Periode die gleiche Zahlung r erfolgen. Die Zahlungsweise ist standardgemäß nachschüssig, d.h. am Ende der Periode erfolgt die Zahlung. Wir erhalten als aufgezinste Zahlungsreihe

$R_{n}=30000\cdot q^{3}+30000\cdot q^{2}+30000\cdot q+30000$

Wir wollen nun eine Formel für diese aufgezinsten Rentenwerte haben. Dazu ziehen wir 30000 vor die Klammern und erweitern mit einem Bruch

$R_{n}=30000\cdot (q^{3}+q^{2}+q+1)\cdot {\frac {q-1}{q-1}}$

$={\frac {30000}{q-1}}\cdot (q^{4}+q^{3}+q^{2}+q-q^{3}-q^{2}-q-1)$

$={\frac {30000}{q-1}}\cdot (q^{4}-1)=30000\cdot {\frac {q^{4}-1}{i}}=129306$.

Also ist der Rentenendwert bei nachschüssiger Zahlung, d.h. der Betrag, der sich am Ende der Rentenzahlung auf dem Konto befindet, allgemein

$R_{n}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{i}}$,

mit $i$ als jährlichem Zinssatz, $q=1+i$, und $r$ als jährlicher Rate, wobei ${\frac {q^{n}-1}{i}}$ als Aufzinsungssummenfaktor bezeichnet wird.

Der Rentenbarwert gibt die Summe an, die das Opfer wahlweise bei sofortiger Auszahlung bekommen könnte. Analog zu oben verringert sich der nominelle Auszahlungsbetrag und wir erhalten den Rentenbarwert durch Diskontieren

$R_{0}={\frac {3000}{q}}+{\frac {3000}{q^{2}}}+{\frac {3000}{q^{3}}}+{\frac {3000}{q^{4}}}$

$=3000\cdot ({\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{q^{4}}})$ | es wird 3000 vor die Klammer gezogen,

$=3000\cdot ({\frac {q^{3}}{q^{4}}}+{\frac {q^{2}}{q^{4}}}+{\frac {q}{q^{4}}}+{\frac {1}{q^{4}}})\cdot {\frac {q-1}{q-1}}$ | es werden die Brüche auf den Nenner $q^{4}$ gebracht und mit ${\frac {q-1}{q-1}}$ multipliziert,

$=3000\cdot {\frac {1}{q^{4}}}\cdot {\frac {1}{q-1}}\cdot (q^{4}-1)$ | Multiplizieren mit dem Zähler $q-1$,

$=3000\cdot 3,545951=106378,53$.

Allgemein errechnet sich der Rentenbarwert bei nachschüssiger Zahlung als

$R_{0}=r\cdot {\frac {1}{q^{n}}}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{q^{n}\cdot i}}$,

wobei ${\frac {q^{n}-1}{q^{n}\cdot i}}$ als Barwertfaktor, Diskontierungssummenfaktor oder Kapitalisierungsfaktor bezeichnet wird.

Vorschüssige Zahlung

Wird der fällige Rentenbetrag schon am Jahresanfang ausbezahlt, nennt man das vorschüssige Zahlungsweise.

Hier ergibt sich der Rentenendwert als

$R_{n}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\cdot q$.

Die Formel ist leicht zu erklären: Wenn die Rate schon am Jahresanfang gezahlt wird, wird sie eine Periode länger verzinst als bei der nachschüssigen Zahlungsweise. Deswegen werden die $q^{t}$ zu $q^{t+1}$ und daher rührt der neue Faktor $q$.

Für den Rentenbarwert erhalten wir bei analoger Überlegung

$R_{0}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{q^{n-1}\cdot i}}$.

Unendlich lange Zahlungen

Oft ist nicht bekannt, wann die Rentenzahlung endet, beispielsweise bei Einkünften durch Vermietung etc. Man nimmt hier auch Vereinfachungsgründen an, dass n unendlich groß ist. In diesem Fall erhalten wir für den Rentenbarwert

$R_{0}=r\cdot {\frac {q^{n}-1}{q^{n}\cdot i}}=r\cdot ({\frac {q^{n}}{q^{n}\cdot i}}+{\frac {1}{q^{n}\cdot i}})$.

Wenn n sehr groß wird, wird der Ausdruck ${\frac {1}{q^{n}\cdot i}}$ näherungsweise Null.

Also ist dann

$R_{0}\approx r\cdot {\frac {1}{i}}$.

Diese Formel ist ab n = 50 schon eine gute Näherung.

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