Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Tilgungsrechung

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Tilgungen[Bearbeiten]

Tilgungsrechnung wird u.a. beim Abzahlen von Schulden angewendet.

Man geht modellhaft davon aus, dass zum Beginn des ersten Jahres (also am Ende von t0) ein Darlehensbetrag an den Schuldner ausgezahlt wird. Diese Schuld wird im Laufe mehrerer Jahre abbezahlt. Am Ende eines jeden Jahres wird die

Annuität = Zinsen + Tilgung

fällig. Den Ablauf der Tilgung kann man im Tilgunsplan leicht berechnen.

Beispiel:

Die Managerin Berta hat für den Kauf eines standesgemäßen PKW einen Kredit von 50.000 € aufgenommen. Vereinbart sind 7% Zins. Es soll in 5 Jahren wie folgt getilgt werden: Im ersten Jahr 5000 €, im zweiten Jahr 7000 €, dann 10000 €, 12000 € und 16000 €.

Jahr  Restschuld zu        Zinsen     Tilgung      Annuität
  t   Anfang des Jahres
  1   50000                 3500        5000          8500   
  2   45000                 3150        7000         10150
  3   38000                 2660       10000         12660    
  4   28000                 1960       12000         13960    
  5   16000                 1120       16000         17120 
------------------------------------------------------------   
Summe -----                12390       50000         62390


Häufig verwendet wird die Annuitätentilgung. Hier wird in jeder Periode ein gleichbeibender Betrag gezahlt, der sich aus Zins und Tilgung zusammensetzt. Im Laufe der Zeit steigt der Anteil der Tilgung, weil immer weniger Zins bezahlt werden muss.

Beispiel

Der frischgebackene Steuerberater Bert braucht für den Umbau seiner Praxis ein Darlehen über 50000 €. Ihm wird Annuitätentilgung empfohlen mit jährlichen Raten zu je 12000 € zu einem Zinsfuß von 7%. Es ergibt sich der Tilgungsplan

Jahr  Restschuld zu        Zinsen     Tilgung      Annuität
  1   50000                 3500        8500         12000   
  2   41500                 2905        9095         12000
  3   32405                 2268,35     9731,65      12000    
  4   22673,35              1587,13    10412,87      12000    
  5   12260,48               858,23    11141,77      12000 
----------------------------------------------------------------   
Summe -----                11118,71    48881,29      60000

Wir sehen, dass lediglich 48881,28 € getilgt worden sind. Die restlichen 50000 - 48881,28 = 1118,72 € werden dann noch extra bezahlt.

Besonders elegant ist es natürlich, die Annuität festzulegen, dass mit Ablauf der Zahlungsdauer keine Restschuld mehr bleibt. Wir wollen uns überlegen, wie man das angehen könnte. Bezeichnen wir die Annuität mit r. Es wird also an jedem Ende eines Jahres ein Betrag r an den Gläubiger gezahlt. Wir sehen sofort, dass das mit einer Rentenzahlung vergleichbar ist. Wir wollen nun die Seite des Gläubigers einnehmen. Er hat in unserem Beispiel eine Investition getätigt: Er hat 50000 € verliehen. Er wird für die Zeit, in der er das Geld nicht zur Verfügung hat, belohnt - mit 7% Zinsen. Er soll am Ende eines jeden Jahres einen gleichbleibenden Betrag r erhalten. Die Investition ist zum heutigen Zeitpunkt der Darlehensgewährung genau 50.000 € wert. Das ist also der Barwert der Zahlungen. Unser Rentenproblem lautet:

Gesucht ist die Rate für einen Barwert von 50.000 € bei nachschüssiger Zahlung über 5 Jahre und einem Zinsfuß von 7%, also

,

was eingesetzt ergibt

,

und nach r aufgelöst

.

Die Annuität beträgt also 12194,53. Da die erste Zinszahlung 50.000 · 0,07 = 3500 beträgt, kann im ersten Jahr 12194,53 - 3500 = 8694,53 Tilgung gezahlt werden.

Man könnte nun auch wieder einen Tilgungsplan wie oben aufstellen, der aber dieses Mal aufgehen müsste. Es wäre eine gute Übung, den Tilgungsplan mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms zu erstellen.