Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Sonderfälle der Wertermittlung

Unterjährige Verzinsung

Im Standardmodell der Zinseszinsrechnung gilt das Kalenderjahr als Bemessungszeitraum für die Verzinsung eines Kapitals; es wird also am 31.12. eines Jahres der Zins fällig. Wird dagegen z. B. halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich eine Zinszahlung fällig, spricht man von unterjähriger Verzinsung.

Beispiel

Die Studentin Polly hat ihrem Freund 500 € geliehen. Diese Schuld soll bei einem Jahreszinsfuß von 6% halbjährlich verzinst werden. Welche Summe hat sich nach drei Jahren angesammelt?

Sind in einem Jahr 6% Zinsen vom aufgelaufenen Kapital fällig, sind es nach einem halben Jahr 3%. Es muss also in 3 Jahren bzw. 6 Halbjahren 6 mal zu einem Zinsfuß von 3% verzinst werden und Polly hat einen Kapitalendwert von

$K_{3}=500\cdot 1{,}03^{6}=597{,}03$.

Würde das Kapital vierteljährlich verzinst, erhielten wir

$K_{3}=500\cdot 1{,}015^{12}=597{,}81$.

Werden also die Zinsen nach 1/m Jahr gutgeschrieben und mitverzinst, wächst das Kapital K0 nach n Jahren bei einem nominalen Zinssatz i p.a. (= per annum - lat.: pro Jahr) an auf

$K_{n}=K_{0}\cdot \left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{n\cdot m}.$

Da bei unterjähriger Verzinsung die Zinsen des laufenden Jahres bereits mitverzinst werden, ist der Jahresertrag des Kapitals größer als bei einfacher Verzinsung. Um den Ertrag des Kapitals mit einer jährlichen Verzinsung vergleichbar zu machen, berechnet man den so genannten Effektivzins so:

Beispiel

Die Verzinsung in drei Jahren ergab $K_{3}=597{,}03$.

Bei einer ganzjährigen Verzinsung geht man nun von dem Ansatz

$K_{3}=500\cdot q^{3}=597{,}03$

aus. Aufgelöst nach q ergibt das

$q=1+i={\sqrt[{3}]{\frac {597,03}{500}}}=1{,}0609$

was einem effektiven Zinssatz von $i_{\text{eff}}=0{,}0609\approx 0{,}061$

entspricht. Allgemein dargestellt berechnet sich der effektive Zinssatz als

$i_{\text{eff}}=\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{m}-1$.

In unserem Beispiel wäre das

$i_{\text{eff}}=\left(1+{\frac {0{,}06}{2}}\right)^{2}-1=0{,}0609$.

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