Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Summen

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Einführung[Bearbeiten]

Summen sind speziell in den Sozialwissenschaften ein unverzichtbares Instrument. Summen sind inhaltlich zwar ein Bestandteil von Reihen. Allerdings wird in diesem Zusammenhang selten auf bestimmte Eigenschaften von Summen eingegangen, so dass diesen hier ein eigener Abschnitt gewidmet wird.

Beispiel:

Umsatz (in 1000 Euros) der letzten 5 Monate eines Möbelhauses:

Monat Nr. i 1 2 3 4 5
Umsatz xi x1=2500 x2=2800 x3=2900 x4=3000 x5=3200

Gesamtumsatz U des Möbelhauses:


Allgemein:

(i, r, n ∈ ℤ, r ≤ n). i wird als Summationsindex bezeichnet. r ist der Summationsanfang, n das Summationsende.


Weitere Beispiele:

  1. Hier kann man kein Ergebnis angeben: -1 oder 0?
  2. Bestandsveränderungen eines Lagers im Jahr t (2000: 0, 2001: 1, ...)
. Wir beachten, dass es 2002 mehr Ab- als Zugänge gab.

Rechenregeln für Summen[Bearbeiten]

anhand von Beispielen:

1. Im Allgemeinen werden die Summenargumente in Klammern gesetzt. Lediglich Produktausdrücke werden ohne Klammern nach dem Summenzeichen aufgeführt.

Beispiel:


2.

wegen


3. a,b const.

Beispiel:


4. Summen können bezüglich des Indexes zerlegt werden: , m < n.

Beispiel:


5. Achtung:

Beispiel:

Doppelsummen[Bearbeiten]

Beispiel:

Ein Verlag will eine Fernsehzeitschrift rausbringen. Er versieht die Zeitschrift mit 3 verschiedenen Titeln und lässt sie in einem Supermarkt auslegen. Es kauften nach Geschlecht getrennt:

Titel TV-Film Film-TV TV und Film Σ
Männlich 1 3 7 11
Weiblich 2 5 8 15
Σ 3 8 15 26

Diese Tabelle hat zwei Zeilen und drei Spalten. i ist der Zeilenindex, j der Spaltenindex. Allgemein sieht unsere Tabelle dann so aus:

j = 1 j = 2 j = 3
i = 1
i = 2

Allgemeine Bezeichnungsweise:

  • Element
  • Summe über alle Zeilen:
  • Summe über alle Spalten:
  • Summe über alle :


Es kann zeilen- oder spaltenweise aufsummiert werden.


Beispiel: oder


Rechenregeln bei Doppelsummen:

1.


Beispiel von oben mit b = 5 und c = 4:

2.

Beispiel von oben: Der Preis für eine Zeitschrift sei 2, 3 bzw. 4 Euros (). Es wurde dann insgesamt umgesetzt:

3. Es gibt natürlich auch kompliziertere Mehrfachsummen, z.B.

Übungen zu Summen[Bearbeiten]

1. Berechnen Sie


2. Vereinfachen Sie


3. Schreiben Sie die folgenden Summen mit dem Summenzeichen


4. Gegeben ist die folgende Tabelle, wobei i die Nummer der Zeile und j die Nummer der Spalte bezeichnen.

 5  8 2 3
 1 -2 1 0
-6  1 7 5


a. Geben Sie an


b. Stellen Sie in Summennotation dar

Summe der 4. Spalte
Summe der 2. Zeile
Summe der Tabellen-Elemente unterhalb der xii-Werte.


5. Ermitteln Sie die Summe

Hinweis: Es gilt


6. Vereinfachen Sie


7. Es ist der arithmetische Durchschnitt von n vielen Werten xi definiert als

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln bei Summen, dass gilt



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