Mathematikunterricht/ Quadratische Gleichungen

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Funktionen der Form y = ax² + bx + c heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen sind parabelförmig.

Die Normalparabel (y = x²)[Bearbeiten]

Normalparabeln Der Graph der Funktion y = x² (a=1; b=0; c=0) heißt Normalparabel. Sie ist nach oben geöffnet, hat ihren Ursprung im Punkt (0|0) und die Y-Achse ist die Symmetrieachse dieser Parabel.

Quadratische Funktionen der Form y = ax² + c[Bearbeiten]

verschidene Parabeln Parabel nennt man den Graphen der Funktion Y = ax² + c. Durch das a wird die Parabel entweder gestreckt (schmaler) oder gestaucht (breiter). Das c zeigt an ob sie weiter oben oder weiter unten auf dem y-Achsenabschnitt ist. Dabei bleibt die Parabel von y= x² erhalten

  • Der Faktor a bestimmt die Form der Parabel.
  • Die Öffnung wird auch vom a bestimmt.
1. Ohne minus vor a ist die Öffnung oben, 
2. mit minus vor a Öffnung nach unten.
  • Der Faktor c bestimmt Höhe/Tiefe der Parabel auf der y-Achse.

Somit nochmnal:

|a| > 1 = gestreckt
|a| < 1 = gestaucht
 a  = nach oben geöffnet
-a  = nach unten geöffnet

Rein quadratische Gleichungen (ax2 + c = 0)[Bearbeiten]

Zeichnerische Lösung[Bearbeiten]

zeichnerische Lösung

  • 1.) Den Graphen zeichnen/ zeichne die Funktion y = ax2 + c
  • 2.) An den Nullstellen des Graphen ist Y =0, also 0 = ax2 + c
  • 3.) Die Nullstellen der Funktion y = ax2 + c sind die Lösungen der Gleichung ax2 + c = 0

Rechnerische Lösung[Bearbeiten]

Rein quadratische Gleichungen löst man durch das Zerlegen in die Linearfaktoren mit der 3. binomischen Formel. Steht vor x² ein Faktor, so muss erst durch diesen Dividiert werden.

Gemischt quadratische Gleichungen Y = ax2 + bx + c[Bearbeiten]

Nach Umformen der Funktion y = ax2 + bx + c in die Scheitelform y = a(x + d)2+e lässt sich der Scheitelpunkt S (-d|e) der Parabel ablesen. Das Vorzeichen von d wird umgekehrt. Weil man die binomischen Formeln anwenden muss, ist eine quadratische Ergänzung nötig.

Beispiel:

Y = 2x2 + 12x + 22                        |Faktor vor X ausklammern
  = 2( x2 + 6x + 11)
  = 2( x2 + 2·3x + 3²-3² + 11)
  = 2[(x + 3)2 + 2]
  = 2( x + 3)2 + 4
Der Scheitelpunkt dieser Gleichung ist S(-3|4)

Lösungsformel[Bearbeiten]

Um heraus zu finden, welche X-Werte die Gleichung ax² + bx + c = 0 erfüllen, muss die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden, dazu muss sie durch den Faktor, der vor dem x² steht, geteilt werden.

Zeichnerische Lösung[Bearbeiten]

  • 1.) Umformung in die Normalform
  • 2.) Normalparabel mit ermittelten Scheitelpunkt zeichnen
  • 3.) Die Nullstellen (y = 0) sind die Lösungen der Gleichungen

Rechnerische Lösung[Bearbeiten]

  • A) 1a. Umformen in die Normalform x² + px + q = 0
   2a. Lösungsformel verwenden:  
  • B) 1b. Umformen in die Form ax² + bx + c = 0
   2b. Lösungsformel verwenden: