Gleichungen mit mindestens einem x2-Term (aber keiner höheren Potenz) heißen quadratische Gleichungen. Oft treten diese in den folgenden Formen auf:
- reinquadratische Gleichungen (ax2 + c = d): es gibt nur Terme mit x2 und ohne x.
- Gleichungen nur mit x (a x2 + bx = 0): es gibt nur Termglieder, die x enthalten und keine ohne x.
- gemischtquadratische Gleichungen (ax2 + bx + c = d): es gibt Terme mit x2, mit x1 und ohne x.
Rein quadratische Gleichungen (ax2 + c = 0)[Bearbeiten]
Zeichnerische Lösung[Bearbeiten]
zeichnerische Lösung
- Den Graphen der zugehörigen Parabel zeichnen/ zeichne die Funktion y = ax2 + c
- An den Nullstellen des Graphen ist Y =0, also 0 = ax2 + c
- Die Nullstellen der Funktion y = ax2 + c sind die Lösungen der Gleichung ax2 + c = 0
Merke:
Zeichnerische Lösungen sind häufig unpräzise.
Rechnerische Lösung[Bearbeiten]
Rein quadratische Gleichungen löst man durch Äquivalenzumformungen, wenn man nicht direkt eine binomische Formel erkennt.
Anleitung
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- Alle Terme ohne x² auf eine Seite verschieben.
- Alle Terme mit x² auf die andere Seite verschieben.
- Durch den Faktor vor x² teilen (falls vorhanden).
- Wurzel ziehen, falls der Wert nicht negativ ist.
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Für binomische Formeln siehe Binomische_Formeln.
Merke:
Beim Lösen quadratischer Gleichungen kann es
- keine
- eine
- zwei
Lösungen geben.
Algebraisch kommt das zustande, da man an irgendeiner Stelle die Wurzel ziehen muss. Dabei gibt es aber
- zwei Lösungen, denn beim Quadrieren (Rückwärts-Rechnen) fällt das Vorzeichen ja weg:
![{\displaystyle 2^{2}=2\cdot 2=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb9f405f15111687c8d68b8c43b9ffef31ad426)
![{\displaystyle (-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e45efa00f181c403b91b79ecf9bc381bb88683)
- eine Lösung, wenn
auftritt.
- keine Lösung, wenn eine Seite negativ ist, denn ein Quadrat ist immer positiv (zumindest in
).
Graphisch: Das liegt daran, dass eine quadratische Gleichung immer als Nullstellen-Problem bei einer Parabel betrachtet werden kann. Dabei gibt es (graphisch) die drei Fälle:
Hier ein paar Beispiele:
(a)
(b)
(c)
(d)
=> Keine Lösung
Satz vom Nullprodukt (a x2 + bx = 0)[Bearbeiten]
Kommen in einer quadratischen Gleichung nur Termglieder mit x vor, so kann man x ausklammern:
An dieser Stelle hilft:
Merke:
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Das verwenden wir hier, indem wir die Faktoren einzeln prüfen, wann sie Null ergeben:
Gemischt quadratische Gleichungen (ax2 + bx + c = d)[Bearbeiten]
- pq-Formel: Umformen in die Normalform x² + px + q = 0
Lösungsformel verwenden: ![{\displaystyle x_{1,2}={-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ecb61df8bc07f64f8a72ccaa6444a307f11b94)
Um heraus zu finden, welche X-Werte die Gleichung ax² + bx + c = 0 erfüllen, muss die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden, dazu muss sie durch den Faktor, der vor dem x² steht, geteilt werden.
- abc-Formel: Umformen in die Form ax² + bx + c = 0
Lösungsformel verwenden: ![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62e1c4fb012beb24706443a8482872d6c36b667)
Merke:
Die abc-Formel ist immer auf quadratische Gleichungen anwendbar. Bei der pq-Formel muss man häufig durch den Faktor vor x² teilen, wodurch sich unschöne Brüche ergeben.
Wenn du dir noch keine der beiden Formeln gemerkt hast, dann ist die abc-Formel die bessere Empfehlung, da man weniger komplexe Rechnungen anfertigen muss.
Beispiel:
(a)
(b)
(c)
Merke:
- Auch bei der Lösungsformel ist auf das Vorzeichen innerhalb der Wurzel zu achten. Dieses darf nicht negativ sein.
- Auskunft über die Anzahl der Lösungen gibt die Diskriminante
.
- Ist D < 0, gibt es keine Lösungen.
- Ist D = 0, gibt es genau eine Lösung (nämlich
.
- Ist D > 0, so gibt es zwei Lösungen.
Exkurs: Quadratische Ergänzung zur Bestimmung des Scheitelpunkts[Bearbeiten]
Nach Umformen der Funktion y = ax2 + bx + c in die Scheitelform y = a(x + d)2+e lässt sich der Scheitelpunkt S (-d|e) der Parabel ablesen. Das Vorzeichen von d wird umgekehrt.
Weil man die binomischen Formeln anwenden muss, ist eine quadratische Ergänzung nötig. Dabei wird ein Termglied so eingefügt, dass eine binomische Formel und ein Rest entstehen.
Beispiel:
y = 2x2 + 12x + 22 |Faktor vor X ausklammern
= 2( x2 + 6x + 11)
= 2( x2 + 2·3x + 3²-3² + 11)
= 2[(x + 3)2 + 2]
= 2( x + 3)2 + 4
Der Scheitelpunkt dieser Gleichung ist S(-3|4)
Aufgabe 1: Löse durch direktes Auflösen.
- x² - 3 = 0
- 2 x² - 8 = 0
- 3 x² + 4 = 0
Aufgabe 2: Löse durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt.
![{\displaystyle x^{2}-x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b608e616e466fd9ad9cdb9368114edd75d0047f)
![{\displaystyle 3x^{2}-3x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa2d5e8383737ef0edafdb1dcb2422b6db79e85)
![{\displaystyle 8x-2x^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079e823df7fd899332e400d6d8b9367ad8e24512)
![{\displaystyle x^{2}-2x+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337fd0649b45a147ffb309eb07473c18c07a325b)
![{\displaystyle 2x^{2}+12x=-18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a68553bd19f8b3c4782a280d83f219c20d5d7c)
Aufgabe 3: Löse durch die abc-Lösungsformel.
![{\displaystyle 2x^{2}-4x+2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb223769b6ba8407e6a83a77f7f92b908708127)
![{\displaystyle x^{2}-x-12=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f28e345b45605af1c8c7822933cf40a1439f052)
![{\displaystyle x^{2}+x-4=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3aa07221a31e65046b6ee82ea5a4afd0965bf0c)
Aufgabe 1:
![{\displaystyle x_{1/2}=\pm {\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24e37bb99a0e7b5f297cf658f6613605835fefb)
![{\displaystyle x_{1/2}=\pm 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905bc65736b38d033a8bc848cbdf38bc6e6fd664)
- Keine Lösung
Aufgabe 2:
![{\displaystyle x\cdot (x-1)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b2a393c82dded9858eb3206efdc9a44ac3cfcb)
![{\displaystyle 3\cdot x\cdot (x-1)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ff8e72c8d551ec7718af6aa8cf18c51124cbbc)
![{\displaystyle 2\cdot x\cdot (4-x)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24bfb12bfa1af00ae545f5bed7c08593deeaeda)
![{\displaystyle (x-1)^{2}=0\quad \Rightarrow \quad x_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab4a195aeb0873dafb5cc8600b447f4b542c4b4)
![{\displaystyle 2x^{2}+12x+18=0\quad \Rightarrow \quad 2\cdot (x^{2}+6x+9)=0\quad \Rightarrow \quad 2\cdot (x+3)^{2}\quad \Rightarrow \quad x_{0}=-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9936eecc1603acc6391deb60df51ede90df2dcb1)
Aufgabe 3:
![{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 2}}}{2\cdot 2}}={\frac {4\pm 0}{4}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b208a942a4dd56342e07eecf8ba73325f8cf5c)
![{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)}}}{2\cdot 1}}={\frac {1\pm {\sqrt {49}}}{2}}={\frac {1\pm 7}{2}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\frac {1-7}{2}}=-3;x_{2}={\frac {1+7}{2}}=+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5c020c40eca37b4066d168b532758d3325978e)
![{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\frac {-1-5}{2}}=-3;x_{2}={\frac {-1+5}{2}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e8ee09b1de33bbc608060126b2cf2bf97d2338)