Mathematikunterricht/ Quadratische Gleichungen

Gleichungen mit mindestens einem x²-Term (aber keiner höheren Potenz) heißen quadratische Gleichungen. Oft treten diese in den folgenden Formen auf:

• reinquadratische Gleichungen (ax² + c = d): es gibt nur Terme mit x² und ohne x.
• Gleichungen nur mit x (a x² + bx = 0): es gibt nur Termglieder, die x enthalten und keine ohne x.
• gemischtquadratische Gleichungen (ax² + bx + c = d): es gibt Terme mit x², mit x¹ und ohne x.

Rein quadratische Gleichungen (ax² + c = 0)

Zeichnerische Lösung

zeichnerische Lösung

1. Den Graphen der zugehörigen Parabel zeichnen/ zeichne die Funktion y = ax² + c
2. An den Nullstellen des Graphen ist Y =0, also 0 = ax² + c
3. Die Nullstellen der Funktion y = ax² + c sind die Lösungen der Gleichung ax² + c = 0

Merke: Zeichnerische Lösungen sind häufig unpräzise.

Rechnerische Lösung

Rein quadratische Gleichungen löst man durch Äquivalenzumformungen, wenn man nicht direkt eine binomische Formel erkennt.

Anleitung

Alle Terme ohne x² auf eine Seite verschieben. Alle Terme mit x² auf die andere Seite verschieben. Durch den Faktor vor x² teilen (falls vorhanden). Wurzel ziehen, falls der Wert nicht negativ ist.

Für binomische Formeln siehe Binomische_Formeln.

Merke: Beim Lösen quadratischer Gleichungen kann es

1. keine
2. eine
3. zwei

Lösungen geben.

Algebraisch kommt das zustande, da man an irgendeiner Stelle die Wurzel ziehen muss. Dabei gibt es aber

• zwei Lösungen, denn beim Quadrieren (Rückwärts-Rechnen) fällt das Vorzeichen ja weg:
  • $2^{2}=2\cdot 2=4$
  • $(-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=4$
• eine Lösung, wenn $x^{2}=0$ auftritt.
• keine Lösung, wenn eine Seite negativ ist, denn ein Quadrat ist immer positiv (zumindest in $\mathbb {R}$).

Graphisch: Das liegt daran, dass eine quadratische Gleichung immer als Nullstellen-Problem bei einer Parabel betrachtet werden kann. Dabei gibt es (graphisch) die drei Fälle:

Hier ein paar Beispiele:

(a)
${\begin{aligned}2x^{2}-8&=0&|+8{\text{(alles ohne x nach rechts)}}\\2x^{2}&=8&|:2{\text{(teilen durch den Faktor vor }}x^{2})\\x^{2}&=4&|{\sqrt {~}}{\text{(Wurzel ziehen)}}\\x_{1}&=-2\\x_{2}&=+2\end{aligned}}$

(b)
${\begin{aligned}x^{2}-9&=0&|{\text{3. binomische Formel erkannt}}\\(x-3)\cdot (x+3)&=0\\x_{1}&=-3\\x_{2}&=+3\end{aligned}}$

(c)
${\begin{aligned}x^{2}-4&=-4-x^{2}&|+x^{2}\\2x^{2}-4&=-4&|+4\\2x^{2}&=0&|:2\\x^{2}&=0&|{\sqrt {~}}\\x_{0}&=0\end{aligned}}$

(d)
${\begin{aligned}3x^{2}+2&=-4&|-2\\3x^{2}&=-6&|:3\\x^{2}&=-3&|{\sqrt {~}}\\x_{1/2}&=\pm {\sqrt {-3}}&|{\text{negative Wurzel geht nicht}}\end{aligned}}$
=> Keine Lösung

Satz vom Nullprodukt (a x² + bx = 0)

Kommen in einer quadratischen Gleichung nur Termglieder mit x vor, so kann man x ausklammern:

${\begin{aligned}x^{2}-2x&=0\\x\cdot (x-2)&=0\end{aligned}}$

An dieser Stelle hilft:

Merke: Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Das verwenden wir hier, indem wir die Faktoren einzeln prüfen, wann sie Null ergeben:

${\begin{aligned}x\cdot (x-2)&=0\\\Rightarrow x{\overset {!}{=}}0&\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0\\x-2{\overset {!}{=}}0&\quad \Rightarrow \quad x_{2}=2\end{aligned}}$

Gemischt quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = d)

1. pq-Formel: Umformen in die Normalform x² + px + q = 0
   Lösungsformel verwenden: $x_{1,2}={-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}}$
   Um heraus zu finden, welche X-Werte die Gleichung ax² + bx + c = 0 erfüllen, muss die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden, dazu muss sie durch den Faktor, der vor dem x² steht, geteilt werden.
2. abc-Formel: Umformen in die Form ax² + bx + c = 0
   Lösungsformel verwenden: $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Merke: Die abc-Formel ist immer auf quadratische Gleichungen anwendbar. Bei der pq-Formel muss man häufig durch den Faktor vor x² teilen, wodurch sich unschöne Brüche ergeben.

Wenn du dir noch keine der beiden Formeln gemerkt hast, dann ist die abc-Formel die bessere Empfehlung, da man weniger komplexe Rechnungen anfertigen muss.

Beispiel:

(a)
${\begin{aligned}x^{2}-x-2&=0&|{\text{Formel aufstellen}}\\x_{1/2}&={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)}}}{2\cdot 1}}&|{\text{Beachte die Klammern um negative Zahlen}}\\&={\frac {+1\pm {\sqrt {1+8}}}{2}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {9}}}{2}}\\&={\frac {1\pm 3}{2}}\\\Rightarrow x_{1}&={\frac {1-3}{2}}={\frac {-2}{2}}=-1\\x_{2}&={\frac {1+3}{2}}={\frac {4}{2}}=2\end{aligned}}$

(b)
${\begin{aligned}2x^{2}-4x&=16&|-16\\2x^{2}-4x-16&=0\\x_{1/2}&={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot (-16)}}}{2\cdot 2}}\\&={\frac {+4\pm {\sqrt {144}}}{4}}\\&={\frac {4\pm 12}{4}}\\x_{1}&={\frac {4-12}{4}}=-2\\x_{2}&={\frac {4+12}{4}}=4\end{aligned}}$

(c)
${\begin{aligned}x^{2}-4x+20&=0\\x_{1/2}&={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}}{2\cdot 1}}\\&={\frac {4\pm {\sqrt {-64}}}{2}}&|{\text{Geht nicht: Wurzel negativ!}}\\\Rightarrow &{\text{Keine Lösung!}}\end{aligned}}$

Merke:

• Auch bei der Lösungsformel ist auf das Vorzeichen innerhalb der Wurzel zu achten. Dieses darf nicht negativ sein.
• Auskunft über die Anzahl der Lösungen gibt die Diskriminante $D=b^{2}-4\cdot a\cdot c$.
  • Ist D < 0, gibt es keine Lösungen.
  • Ist D = 0, gibt es genau eine Lösung (nämlich ${\frac {-b}{2\cdot a}}$.
  • Ist D > 0, so gibt es zwei Lösungen.

Exkurs: Quadratische Ergänzung zur Bestimmung des Scheitelpunkts

Nach Umformen der Funktion y = ax² + bx + c in die Scheitelform y = a(x + d)²+e lässt sich der Scheitelpunkt S (-d|e) der Parabel ablesen. Das Vorzeichen von d wird umgekehrt. Weil man die binomischen Formeln anwenden muss, ist eine quadratische Ergänzung nötig. Dabei wird ein Termglied so eingefügt, dass eine binomische Formel und ein Rest entstehen.

Beispiel:

y = 2x2 + 12x + 22                        |Faktor vor X ausklammern
  = 2( x2 + 6x + 11)
  = 2( x2 + 2·3x + 3²-3² + 11)
  = 2[(x + 3)2 + 2]
  = 2( x + 3)2 + 4

Der Scheitelpunkt dieser Gleichung ist S(-3|4)

Übungen

Aufgabe 1: Löse durch direktes Auflösen.

1. x² - 3 = 0
2. 2 x² - 8 = 0
3. 3 x² + 4 = 0

Aufgabe 2: Löse durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt.

1. $x^{2}-x=0$
2. $3x^{2}-3x=0$
3. $8x-2x^{2}=0$
4. $x^{2}-2x+1=0$
5. $2x^{2}+12x=-18$

Aufgabe 3: Löse durch die abc-Lösungsformel.

1. $2x^{2}-4x+2=0$
2. $x^{2}-x-12=0$
3. $x^{2}+x-4=2$

Lösungen

Aufgabe 1:

1. $x_{1/2}=\pm {\sqrt {3}}$
2. $x_{1/2}=\pm 2$
3. Keine Lösung

Aufgabe 2:

1. $x\cdot (x-1)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=1$
2. $3\cdot x\cdot (x-1)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=1$
3. $2\cdot x\cdot (4-x)=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}=0;x_{2}=4$
4. $(x-1)^{2}=0\quad \Rightarrow \quad x_{0}=1$
5. $2x^{2}+12x+18=0\quad \Rightarrow \quad 2\cdot (x^{2}+6x+9)=0\quad \Rightarrow \quad 2\cdot (x+3)^{2}\quad \Rightarrow \quad x_{0}=-3$

Aufgabe 3:

1. $x_{1/2}={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 2}}}{2\cdot 2}}={\frac {4\pm 0}{4}}=1$
2. $x_{1/2}={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)}}}{2\cdot 1}}={\frac {1\pm {\sqrt {49}}}{2}}={\frac {1\pm 7}{2}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\frac {1-7}{2}}=-3;x_{2}={\frac {1+7}{2}}=+4$
3. $x_{1/2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\frac {-1-5}{2}}=-3;x_{2}={\frac {-1+5}{2}}=2$