Mathematikunterricht/ Runden von Zahlen

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Zahlen werden im Alltag oft gerundet, damit wir sie uns einfacher einprägen können - oft will man es ja gar nicht so genau wissen. Meistens resultieren Zahlen aber aus Messungen oder Rechnungen mit endlicher Genauigkeit, bei denen es irreführend wäre, mehr Ziffern als die Genauigkeit anzugeben. In solchen Fällen ist eine Rundung auf die Genauigkeit der Rechnung oder Messung in jedem Falle notwendig. Es gibt auch Fälle, wo nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen erlaubt ist, etwa kann man Geldbeträge in Euro nur auf ganze Cent herausgeben, Mehrwertsteuern oder Rabatte fallen aber meist in Prozent an. Das Ergebnis ist dann also auf ganze Cent zu runden. Ähnliches gilt, wenn Geld aus einer Währung in eine andere getauscht werden soll.

Beim Runden wird also zunächst festgestellt (Messung, näherungsweise Rechnung) oder festgelegt, auf wieviele Ziffern gerundet werden soll. Die nach rechts nachfolgenden Ziffern entscheiden dann, wie gerundet wird:

  • Bei den Ziffern 0,1,2,3 und 4 wird abgerundet.
  • Bei den Ziffern 6,7,8 und 9 wird aufgerundet.
  • Bei der Ziffer 5 ist die Regel etwas komplizierter. Folgen weitere Ziffern, von denen eine nicht 0 ist, wird aufgerundet. Ist die 5 hingegen die letzte Ziffer, so wird so gerundet, dass die letzte Ziffer nach dem Runden gerade ist.

Das Ergebnis ist so stastisch neutral, das bedeutet, wenn man nach der Regel sehr viele Zahlen rundet, gibt es durch das Runden im Mittel keine Abweichung der Werte nach dem Runden von denen davor. Das würde übrigens auch gelten, wenn man immer so runden würde, dass die letzte Ziffer nach dem fünfer-Runden ungerade ist, was aber nicht üblich ist.

Weil die Regel mit der Ziffer 5 kompliziert ist, runden einige Leute bei der Ziffer 5 immer auf. Das wird auch Kaufmännisches Runden genannt. Werden so sehr viele Zahlen gerundet, ist der Mittelwert nach dem Runden etwas größer als davor. Bei Geldbeträgen ist das vorteilhaft für den, der das Geld bekommt - vielleicht heißt es deshalb Kaufmännisches Runden ...

Oft wird bei Messungen und Rechnungen auch davon gesprochen, auf wieviele gültige Ziffern ('signifikante' Ziffern - ohne vorangehende Nullen) gerundet werden soll, 0,000127 hat also drei signifikante Ziffern.

Auch wenn bei einer Rechnung eine Zahl beteiligt ist, die bereits gerundet ist, ist das Endergebnis wieder entsprechend zu runden. Die Zahl der signifikanten Ziffern des Ergebnisses ist also die gleiche wie die der Zahl der Rechnung mit den wenigsten signifikanten Ziffern. In dem Zusammenhang kann es auch wichtig sein, nachfolgende Nullen zu notieren, um anzugeben, wieviele Ziffern signifikant sind, 0,00012700 hat also fünf signifikante Ziffern, 0,0001270 nur vier und 0,000127 nur drei.


Beim Runden verwendet man das Zeichen ~, es bedeutet „ungefähr“ gleich.

Beispiele:

gerundet auf ungerundete Zahl gerundete Zahl
Zehner 479764 479760
Hunderter 479764 479800
Tausender 479764 480000
Geld/Euro auf Cent 17,125 17,12
Geld/Euro auf Cent 17,135 17,14
Messung, drei signifikante Ziffern 7,285 7,28
Messung, drei signifikante Ziffern 0,00514523531 0,00515
Rechnung 1,20 * 11,1 / 2 + 2,1050 8,7650 9