Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.15 Erwartungswert

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Erarbeitung[Bearbeiten]

Aufgabe 1: In einer Urne sind 3 Kugeln: 1 blaue, 1 gelbe und 1 violett. Für 5€ nimmt jemand teil und darf drei Mal ohne Zurücklegen ziehen. Ist die erste gezogene Kugel gelb, bekommt man 20€ ausbezahlt; ist die zweite Kugel gelb10 €; ist erst die dritte Kugel gelb geht man leer aus.

  1. Stefan möchte gerne teilnehmen. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn kann er rechnen?
  2. Ist das Spiel "fair"?

Aus Aufgabe 1 in 8.14 Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten wir folgende Tabelle:

Ziehungen 1 2 3
Gewinn 15€ 5€ -5€
Wahrscheinlichkeit 1/3 2/6 2/6

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% bekommt Stefan 15€ ausbezahlt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% bekommt er 5€ ausbezahlt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% verliert er 5€. Addieren wir alle drei Werte gewichtet mir ihrer Wahrscheinlichkeit, so erhalten wir eine ungefähre Abschätzung, wie viel Geld Stefan im Mittel an Gewinn / Verlust erwarten kann:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 15€+ \frac{1}{3} \cdot 5€ + \frac{1}{3} \cdot (-5€) = 5€}

Im Mittel kann Stefan also einen Gewinn von 5€ erwarten.

Hinweis: Das heißt nicht, dass er bei bspw. 10 Spielen auch tatsächlich jedes Mal oder auch nur im Mittel über 10 Spiele 5€ Gewinn macht. Sondern dass er bei "unendlich vielen Spielen" insgesamt einen Gewinn von 5€ erwarten kann. Er kann sich auch äußerst geschickt oder äußerst ungeschickt anstellen.

Aufgabe 2: Beim Sommerfest der Schule kann man einen Stein werfen, der drei verschiedene Seiten hat: Seite (8%), Boden (36%) und Kopf (56%). Für 5€ dürfen Teilnehmende maximal vier Mal würfeln. Würfelt man beim ersten Mal bereits „Seite“, bekommt man 30€ ausbezahlt, erst beim zweiten Mal 20€, erst beim dritten Mal 10€ und erst beim vierten Mal dann 5€. Würfelt man kein einziges Mal „Seite“, geht man leer aus. Siehe Aufgabe 2 in 8.14 Wahrscheinlichkeitsverteilung.

  1. Bestimmen Sie den zu erwartenden Gewinn bzw. Verlust für die Teilnehmenden.

Lösung

Hefteintrag[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ist die Größe, die im Mittel bei einem Zufallsexperiment zu erwarten ist.

Beispiele:

  • Mittlerer Gewinn / Verlust beim Glücksspiel (Anm.: man wird im Mittel immer verlieren - "die Bank gewinnt immer")
  • Durchschnittliche Folgekosten bei Produktionsfehlern
Definition
Erwartungswert
Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte x1, x2,...,xn annehmen kann, so ist die Zahl

der Erwartungswert der Zufallsvariablen.

Merke: Erwartungswert = Summe von (Wert mal Wahrscheinlichkeit)

Übungen[Bearbeiten]

Lösungen zur Erarbeitung[Bearbeiten]

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Lösungen zu den Übungen[Bearbeiten]