Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.15 Erwartungswert

Erarbeitung

Aufgabe 1: In einer Urne sind 3 Kugeln: 1 blaue, 1 gelbe und 1 violett. Für 5€ nimmt jemand teil und darf drei Mal ohne Zurücklegen ziehen. Ist die erste gezogene Kugel gelb, bekommt man 20€ ausbezahlt; ist die zweite Kugel gelb10 €; ist erst die dritte Kugel gelb geht man leer aus.

1. Stefan möchte gerne teilnehmen. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn kann er rechnen?
2. Ist das Spiel "fair"?

Aus Aufgabe 1 in 8.14 Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten wir folgende Tabelle:

Ziehungen	1	2	3
Gewinn	15€	5€	-5€
Wahrscheinlichkeit	1/3	2/6	2/6

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% bekommt Stefan 15€ ausbezahlt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% bekommt er 5€ ausbezahlt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,3% verliert er 5€. Addieren wir alle drei Werte gewichtet mir ihrer Wahrscheinlichkeit, so erhalten wir eine ungefähre Abschätzung, wie viel Geld Stefan im Mittel an Gewinn / Verlust erwarten kann:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 15€+ \frac{1}{3} \cdot 5€ + \frac{1}{3} \cdot (-5€) = 5€}

Im Mittel kann Stefan also einen Gewinn von 5€ erwarten.

Hinweis: Das heißt nicht, dass er bei bspw. 10 Spielen auch tatsächlich jedes Mal oder auch nur im Mittel über 10 Spiele 5€ Gewinn macht. Sondern dass er bei "unendlich vielen Spielen" insgesamt einen Gewinn von 5€ erwarten kann. Er kann sich auch äußerst geschickt oder äußerst ungeschickt anstellen.

Aufgabe 2: Beim Sommerfest der Schule kann man einen Stein werfen, der drei verschiedene Seiten hat: Seite (8%), Boden (36%) und Kopf (56%). Für 5€ dürfen Teilnehmende maximal vier Mal würfeln. Würfelt man beim ersten Mal bereits „Seite“, bekommt man 30€ ausbezahlt, erst beim zweiten Mal 20€, erst beim dritten Mal 10€ und erst beim vierten Mal dann 5€. Würfelt man kein einziges Mal „Seite“, geht man leer aus. Siehe Aufgabe 2 in 8.14 Wahrscheinlichkeitsverteilung.

1. Bestimmen Sie den zu erwartenden Gewinn bzw. Verlust für die Teilnehmenden.

Lösung

Hefteintrag

Der Erwartungswert ist die Größe, die im Mittel bei einem Zufallsexperiment zu erwarten ist.

Beispiele:

• Mittlerer Gewinn / Verlust beim Glücksspiel (Anm.: man wird im Mittel immer verlieren - "die Bank gewinnt immer")
• Durchschnittliche Folgekosten bei Produktionsfehlern

Definition

Erwartungswert
Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte x1, x2,...,xn annehmen kann, so ist die Zahl $E(X)=x_{1}\cdot P(X=X_{1})+x_{2}\cdot P(X=X_{2})+\dots +x_{n}\cdot P(X=x_{n})$ der Erwartungswert der Zufallsvariablen.

Merke: Erwartungswert = Summe von (Wert mal Wahrscheinlichkeit)