Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.3 Häufigkeit

Erarbeitung

Beispiel: Wir zählen die Anzahl an sich weiblich und nicht-weiblich identifizierenden Menschen und die mit braunen und nicht-braune Augen. Die erhaltenen Daten stellen wir in einer sogenannten Vierfeldertafel dar.

Absolute Häufigkeiten
	B	Nicht-B	Summe
W	7	4	11
Nicht-W	11	4	15
Summe	18	8	26

Wir haben hier sogenannte absolute Häufigkeiten für sich weiblich und nicht-weiblich identifizierende Menschen sowie mit braunen oder nicht-braunen Augen. Wenn wir das alles in Bezug auf die 26 Befragten setzen erhalten wir die relativen Häufigkeiten als Prozentzahlen.

Relative Häufigkeiten
	B	Nicht-B	Summe
W	26,9%	15,4%	42,3%
Nicht-W	42,3%	15,4%	57,7%
Summe	69,2%	30,8%	100%

Damit können wir nun Aussagen über die Stichprobe treffen:

11 Personen identifizieren sich als nicht-weiblich und haben braune Augen. Das entspricht etwa 42,3%.
8 Personen haben nicht-braune Augen.
42,3% der Befragten identifizieren sich als weiblich.
30,8% haben nicht-braune Augen.

und so weiter.

Hefteintrag

Die Häufigkeit beschreibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis auftritt. Wir unterscheiden:

Absolute Häufigkeit H(E) = die Anzahl der Fälle, in denen das Ereignis auftritt.
Relative Häufigkeit h(E) = Anteil der Fälle, in denen das Ereignis auftritt von den Gesamtfällen.

$h(E)={\frac {\text{absolute Häufigkeit von E}}{\text{Gesamtzahl der Stichprobe}}}$

Dabei gilt:

Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich der Stichprobengröße.
Die relative Häufigkeit liegt immer zwischen 0 und 1.
Die Summe aller unterschiedlichen, relativen Häufigkeiten ist 1 bzw. 100%.
Es gilt: Die Summe der relativen Häufigkeiten von einem Ereignis und dem entsprechenden Gegenereignis ergibt 100%: $h(E)+h({\overline {E}})=1$ .

Informationen zur Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel entsteht bei Betrachtung von zwei Unterscheidungsmerkmalen, bei denen es jeweils zwei eindeutig unterscheidbare Fälle gibt.

Beispiele:

Braune/nicht-braune Augen und blonde/nicht-blonde Haarfarbe
Pizza-Essende und Döner-Essende

Beispiele, die nicht funktionieren:

Besitzende eines Android- und Besitzende eines iOS-Smartphones -> man kann auch kein Smartphone oder ein Linux-Smartphone besitzen.
Schwarze Haare und blonde Haare -> wie wird jemand einsortiert, der rote Haare hat?

In einem funktionierenden Fall kann man die Ereignisse A und B wie folgt eintragen:

Vierfeldertafel für relative Häufigkeiten
	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	$P(A\cap B)$	$P(A\cap {\overline {B}})$	$P(A)$
${\overline {A}}$	${\overline {A}}\cap B$	${\overline {A}}\cap B$	$P({\overline {A}})$
Summe	$P(B)$	$P({\overline {B}})$	1 / 100%

Sie heißt übrigens Vierfeldertafel, da man im "Inneren" vier Felder mit Informationen hat. Mit diesen kann man die restlichen Felder dann einfach ausrechnen, sonst müsste man eigentlich von einer "Neun-Feldertafel" sprechen ;)

Übung

1. Bei einem Konzert sind bei 1500 verkauften Karten nur 1028 Personen anwesend. Insgesamt kaufen sich 827 Personen ein T-Shirt über den Online-Shop. Davon sind 641 anwesend. Stellen Sie eine Vierfeldertafel auf mit den absoluten Häufigkeiten und eine mit den relativen Häufigkeiten.

2. Ergänzen Sie folgende Vierfeldertafeln:

(a)

	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	25	30
${\overline {A}}$			15
Summe		35

(b)

	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	524
${\overline {A}}$		258
Summe	1053	1482	2535

(c)

	$B$	${\overline {B}}$
$A$	16%	15%
${\overline {A}}$
Summe	31%

Lösungen

1. Anwesend und T-Shirt:

	anwesend	abwesend	Summe
T-Shirt	641	186	827
kein T-Shirt	387	286	673
Summe	1028	472	1500

	anwesend	abwesend	Summe
T-Shirt	42,73%	12,40%	55,13%
kein T-Shirt	25,80%	19,07%	44,87%
Summe	68,53%	31,47%	100%

2. Ergänzen Sie folgende Vierfeldertafeln:

(a)

	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	25	30	55
${\overline {A}}$	10	5	15
Summe	35	35	70

(b)

	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	524	1224	1748
${\overline {A}}$	529	258	787
Summe	1053	1482	2535

(c)

	$B$	${\overline {B}}$	Summe
$A$	16%	15%	31%
${\overline {A}}$	15%	52%	69%
Summe	31%	69%	100%