Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.6 Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Erarbeitung

Wir betrachten das Ziehen zweier Kugeln aus einer Urne mit drei roten, zwei blauen und einer grünen Kugel mit Zurücklegen.

Versuchen wir das als Laplace-Experiment zu lösen, so müssen wir das Baumdiagramm etwas größer machen.

Jetzt können wir per Laplace die Wahrscheinlichkeiten über ${\frac {\text{günstige Fälle}}{\text{alle Fälle}}}$ berechnen. Das sieht dann so aus:

Ereignis	Günstige Fälle	nach Laplace	Umformung	Regel
rr	9	$P(rr)={\frac {9}{36}}$	${\frac {3}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}$	$P(r)\cdot P(r)$
rb	6	$P(rb)={\frac {6}{36}}$	${\frac {3}{6}}\cdot {\frac {2}{6}}$	$P(r)\cdot P(b)$
rg	3	$P(rg)={\frac {3}{36}}$	${\frac {3}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}$	$P(r)\cdot P(g)$
br	6	$P(br)={\frac {6}{36}}$	${\frac {2}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}$	$P(b)\cdot P(r)$
bb	4	$P(bb)={\frac {3}{36}}$	${\frac {2}{6}}\cdot {\frac {2}{6}}$	$P(b)\cdot P(b)$
bg	2	$P(bg)={\frac {2}{36}}$	${\frac {2}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}$	$P(b)\cdot P(g)$
gr	3	$P(gr)={\frac {3}{36}}$	${\frac {1}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}$	$P(g)\cdot P(r)$
gb	2	$P(gb)={\frac {2}{36}}$	${\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2}{6}}$	$P(g)\cdot P(b)$
gg	1	$P(gg)={\frac {1}{36}}$	${\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}$	$P(g)\cdot P(g)$

Es sieht also danach aus, als könnte man immer die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, wenn man einen Pfad eines Baumdiagramms entlang geht. Dies nennen wir die Pfadmultiplikationsregel.

Pfadmultiplikationsregel: Entlang eines Pfades eines Baumdiagramms werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

Nun untersuchen wir, wie es sich mit Ereignissen verhält, die über mehrere Pfade gehen.

Aufgabe 1: Ergänzen Sie folgende Tabelle und formulieren Sie die Pfadadditionsregel.

Ereignis	durch Zählen	Durch Muster
„Eine rote Kugel wird gezogen.“
„Es wird eine rote und eine blaue Kugel gezogen. Reihenfolge egal.“
„Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.“

Lösung

Aufgabe 2: Überprüfen Sie Ihre Überlegungen

1. mit der gleichen Urne, aber ohne Zurücklegen.
2. mit einer Urne mit zwei gelben und vier violetten Kugeln, aus der zwei Kugeln (a) mit Zurücklegen und (b) ohne Zurücklegen nacheinander gezogen werden.

Hefteintrag

In einem Baumdiagramm gelten:

1. Pfadmultiplikationsregel: Entlang eines Pfades eines Baumdiagramms werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
2. Pfadadditionsregel: Umfasst ein Ereignis mehrere Pfade, so werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.

Übungen

Übung 1: Eine Münze wird drei mal geworfen. Die Reihenfolge wird beachtet.

1. Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse.
3. Bearbeiten Sie a und b für den Fall, dass die Reihenfolge nicht beachtet wird.

-> Lösung

Übung 2: In einer Urne befinden sich drei rote und vier blaue Kugeln. Es wird zwei mal hintereinander aus dieser Urne eine Kugel gezogen mit Zurücklegen.

1. Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse.
3. Bearbeiten Sie a und b für den Fall, dass die Reihenfolge nicht beachtet wird.
4. Wie sind die Wahrscheinlichkeiten, wenn die Kugeln nicht wieder zurück gelegt werden?Tipp: Schreiben Sie sich dazu die Anzahl der Kugeln zu den Pfaden mit dazu.

-> Lösung

Lösungen zur Erarbeitung

Aufgabe 1

Ereignis	durch Zählen	Durch Muster
„Genau eine rote Kugel wird gezogen.“	${\frac {18}{36}}$	$P(rb)+P(rg)+P(br)+P(gr)={\frac {18}{36}}$
„Es wird eine rote und eine blaue Kugel gezogen. Reihenfolge egal.“	${\frac {12}{36}}$	$P(rb)+P(br)={\frac {12}{36}}$
„Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.“	${\frac {20}{36}}$	$P(rb)+P(br)+P(bb)+P(bg)+P(gb)={\frac {20}{36}}$

Pfadadditionsregel: Umfasst ein Ereignis mehrere Pfade, so werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.

Lösungen zu den Übungen

Übung 1

(a) + (b)

(c)

Übung 2

(b)

rr	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {3}{7}}$	${\frac {9}{49}}\approx 18,37\%$
rb	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{7}}$	${\frac {12}{49}}\approx 24,49\%$
br	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {3}{7}}$	${\frac {12}{49}}\approx 24,49\%$
bb	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {4}{7}}$	${\frac {16}{49}}\approx 32,65\%$

(c) Ohne Reihenfolge: rb und br fallen zusammen.

rr	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {3}{7}}$	${\frac {9}{49}}\approx 18,37\%$
rb/br	$P(rr)=2\cdot {\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{7}}$	${\frac {24}{49}}\approx 48,98\%$
bb	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {4}{7}}$	${\frac {16}{49}}\approx 32,65\%$

(d) Ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten ändern sich.

Mit Reihenfolge:

rr	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {2}{6}}$	${\frac {6}{42}}\approx 14,29\%$
rb	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{6}}$	${\frac {12}{42}}\approx 28,57\%$
br	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {3}{6}}$	${\frac {12}{42}}\approx 28,57\%$
bb	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {3}{6}}$	${\frac {12}{42}}\approx 28,57\%$

Ohne Reihenfolge: rb und br fallen zusammen.

rr	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {2}{6}}$	${\frac {6}{42}}\approx 14,29\%$
rb/br	$P(rr)={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{6}}+{\frac {4}{7}}\cdot {\frac {3}{6}}$	${\frac {24}{42}}\approx 57,14\%$
bb	$P(rr)={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {3}{7}}$	${\frac {12}{42}}\approx 28,57\%$