Mathematikunterricht/ Sek/ Algebra/ Gleichungssysteme/ Beispiel 1

Nach der Einführung von Variablen lässt sich folgende Aufgabe mehr oder weniger leicht lösen:

Das Problem

In einem Park befinden sich 17 Hühner und Kaninchen.
Zählt man die Anzahl der Beine, so ergibt sich die Zahl 58.
Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen tummeln sich im Park?

Selbstverständlich ließe sich diese Aufgabe durch Ausprobieren in mehr oder minder kurzer Zeit sicher lösen. Wollen wir aber eine exakte und schnelle Lösung, müssen wir erst ein wenig nachdenken. Für einen Einstieg ist die Textaufgaben gibt es unter Mathematik für mathematische Pflegefälle eine Anleitung.

1.  x+y=17            |-y
2.  2x+4y=58          
------------                                      Hühner: 5
1.  x=17-y                                        Kaninchen: 12
2.  2x+4y=58          
------------
3.  2*(17-y)+4y=58     
    34-2y+4y=58       |-34
    2y=24             |:2
    y=12
------------
in 1. x=17-12
      x=5

Die Äquivalenzumformung

Wie wir im vorigen Kapitel erfahren haben, lassen sich Gleichungen wie

3x = 12

sehr leicht, sogar im Kopf, lösen. Aber wie machen wir das eigentlich?

In der Mathematik ist man bestrebt, bei Gleichungen am Ende einen Term zu haben, der mit "x =" beginnt (d.h. x zu isolieren), und dahinter eine Zahl stehen hat. In unserem Beispiel (3x = 12) stehen aber 3 · x, also der Faktor 3 vor unserem Wert.

Um die drei "loszuwerden", dividiert man durch sie, also:

   3 · x = 12           | :3
<=>    x = 12 : 3
<=>    x =  4

Eine solche Umformung heißt äquivalent, wenn sie die Lösungsmenge nicht verändert. "<=>" bedeutet, dass die Gleichung neben und über dem Symbol äquivalent sind.

Additionen, Subtraktionen, Divisionen (nicht durch x) und Multiplikationen sind Äquivalenzumformungen.

Das Lösen der Aufgabe

Versuchen wir nun, dies auf unser Beispiel mit den Hühnern und Kaninchen anzuwenden. Dafür brauchen wir jedoch erst ein paar Variablen, für die unbekannten Größen. Als Variablen nimmt man einfach Buchstaben und rechnet mit diesen, wie mit einer normalen Zahl. Vereinbaren wir H für die Anzahl von Hühnern, und K für die Anzahl von Kaninchen, so ergibt sich:

    H  +      K = 17                  (insgesamt gibt es 17 Tiere)
2 · H  +  4 · K = 58                  (da jedes Huhn zwei und jedes
                                       Kaninchen vier Beine hat,
                                       ist dies unser Wert, mit dem
                                       wir multiplizieren müssen,
                                       um die Gesamtzahl von Beinen zu                         
                                       erhalten)

Formen wir ein wenig um:

2 · H  +  4 · K = 58       | :2
1 · H  +  2 · K = 58 : 2              (wir müssen beide Summanden
                                       einzeln dividieren)
1 · H  +  2 · K = 29

Nun formen wir ein wenig bei der anderen Gleichung um:

H      +      K = 17       | - K
H      +      0 = 17 - K
1 · H  +      0 = 17 - K

In beiden Gleichungssystemen finden wir den Summanden "1 · H". Da diese gleich sein müssen (denn H = H) können wir einsetzen:

17 - K +  2 · K = 29
1  · H                                (da 17 - K = H kann man einsetzen!!)

Nun vereinfachen wir:

17 - K +  2 · K = 29
17 - K +  K + K = 29                  (2K = K + K)
17     +      K = 29                  (K + K - K = K)
17     +      K = 29       | - 17
              K = 12                  (wir haben die Anzahl der Kaninchen!!!)

Da wir wissen, wie viele Kaninchen es gibt, können wir wieder einsetzen:

H      +      K = 17                  (insgesamt gibt es 17 Tiere)
H      +     12 = 17       | - 12
H               =  5                  (wir haben die Anzahl der Hühner)

Lösung:

Im Park laufen 5 Hühner und 12 Kaninchen herum