Brüche/ Addieren und Subtrahieren mit Amelie

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Einführung

Amelie, Ben, Clara und Dean haben jetzt Pause. Sie gehen in die Kantine.
B: Oh cool! Heute gibts Pizza.
C: Mensch! Ich hab mein Geld fürs Essen vergessen.
D: Das macht nichts. Du kannst was von meiner Pizza abhaben!
A: Von mir kannst du auch was ab bekommen.

Ben, Clara und Dean haben jeweils eine Pizza gekauft. Sie und Amelie setzen sich an ihren Stammtisch.
D: Hier hast du 3 von meinen 6 Stücken Pizza, Clara.
C: Danke!
A: Von mir kriegst du 2 Stücke.
C: Danke! Deine Stücke sind ja größer als die von Dean...
A: Ich habe meine Pizza ja in nur 4 Stücke aufgeteilt.
B: Ich liebe diese Pizza… ich könnt hundert Stücke davon essen.
D: Willst du vielleicht noch ein Stück von meiner Pizza haben?
B: Wenn du dann trotzdem satt wirst…
D: Ja.
B: Danke.

Wie viel Pizza haben jeweils Amelie, Ben, Clara und Dean?

Amelie hat ihre Pizza in 4 Stücke geteilt. Damit hat sie ${4Stueck \over 4Stueck}Pizza$ oder einfacher geschrieben, ${4 \over 4}Pizza$. 
Davon gibt sie 2 Stücke an Clara: ${2Stueck \over 4Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben ${2 \over 4}Pizza$.
Damit ist die Rechnung: ${4 \over 4}-{2 \over 4}$.

Ben hat eine Pizza: $1Pizza$.
Er bekommt von Dean eins von seinen 6 Stücken: ${1Stueck \over 6Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben ist das ${1 \over 6}$.
Damit ist die Rechnung: $1+{1 \over 6}$.

Clara hat $0Pizza$.
Sie bekommt aber von Amelie ${2Stueck \over 4Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben ${2 \over 4}Pizza$.
Damit ist die Rechnung: $0+{2 \over 4}$.
Zusätzlich bekommt sie von Dean ${3 \over 6}Pizza$.
Die gesamte Rechnung ist also: $0+{2 \over 4}+{3 \over 6}$.

Dean hat seine Pizza in 6 Stücke geteilt.
Damit hat er ${6Stueck \over 6Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben, ${6 \over 6}Pizza$.
Davon gibt er 3 Stücke an Clara: ${3Stueck \over 6Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben ${3 \over 6}Pizza$.
Damit ist die Rechnung: ${6 \over 6}-{3 \over 6}$.
Zusätzlich gibt er 1 Stück von 6 Stücken an Ben, also ${1Stueck \over 6Stueck}Pizza$
oder einfacher geschrieben ${1 \over 6}$.
Damit ist die gesamte Rechnung: ${6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}$.

Alle Rechnungen nochmal aufgeschrieben:
A: ${4 \over 4}-{2 \over 4}$

B: $1+{1 \over 6}$

C: $0+{2 \over 4}+{3 \over 6}$

D: ${6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}$

Wie rechnet man das aber aus?

A) Wenn Amelie 2 ihrer 4 Stücke abgibt, hat sie nur noch 2 von 4 Stücken.
Im Bruch geschrieben hat sie dann ${2 \over 4}$.
Wir wissen also, dass wir die Anzahl der Stücke voneinander abziehen müssen um zum Ergebnis zu kommen.
Denn eigentlich haben wir gerechnet:
${4 \over 4}-{2 \over 4}={4-2 \over 4}={2 \over 4}$ 

B) Wie wir $1+{1 \over 6}$ ausrechnen, haben wir früher schon gelernt:
$1+{1 \over 6}=1{1 \over 6}$ 

C) Bei Clara ist die Rechnung $0+{2 \over 4}+{3 \over 6}$.
Hier können wir nicht die Stücke einfach zusammen zählen, da diese unterschiedlich groß sind.
Aber wir könnte die Stücke ja so viel kleiner machen, sodass sie gleich groß sind.
Wir können die Brüche also kürzen. Wie man das macht haben wir früher gelernt.
Wenn Amelie und Dean ihre Stücke in 12 Stücke geteilt hätten, wären die Stücke von den beiden gleich groß. 
Amelie kann alle ihre Stücke also noch mal in drei Teile teilen.
Dean kann alle seine Stücke also noch mal in zwei Teile teilen.
$0+{2 \over 4}+{3 \over 6}=0+{{2\cdot 3} \over {4\cdot 3}}+{{3\cdot 2} \over {6\cdot 2}}=0+{6 \over 12}+{6 \over 12}$
Dies können wir jetzt ausrechnen:
$0+{6 \over 12}+{6 \over 12}={6+6 \over 12}={12 \over 12}$

D) Die Rechnung für Dean sieht so aus:
${6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}$
Jetzt wissen wir, dass wir nur Stücke voneinander abziehen müssen:
${6 \over 6}-{3 \over 6}-{1 \over 6}={6-3-1 \over 6}={2 \over 6}$

Allgemein

Um zwei Brüche zu addieren zu können müssen die Nenner der Brüche gleich sein. 
Dazu muss man oft Brüche erweitern und/oder kürzen.
Die Zähler addiert man.
Der Nenner bleibt gleich.

Bei gleichen Nennern:
${a \over b}+{c \over b}={a+c \over b}$
Beispiel:
${2 \over 6}+{3 \over 6}={2+3 \over 6}={5 \over 6}$

Bei unterschiedlichen Nennern:
${a \over b}+{c \over d}={a\cdot d \over b\cdot d}+{c\cdot b \over d\cdot b}={a\cdot d+c\cdot b \over b\cdot d}$.
Beispiel:
${1 \over 2}+{2 \over 3}={{1\cdot 3} \over {2\cdot 3}}+{{2\cdot 2} \over {3\cdot 2}}={3 \over 6}+{4 \over 6}={7 \over 6}$

Es ist nicht immer nötig beide Brüche zu erweitern. Wenn die Nenner der Brüche Teiler voneinander sind, braucht man nur einen Bruch zu erweitern. Z. B. bei ${1 \over 2}+{1 \over 4}$ braucht man nur den ersten Bruch mit 2 erweitern. Somit kommt man von ${1 \over 2}$ auf ${2 \over 4}$ erweitern:

${1 \over 2}+{1 \over 4}={{1\cdot 2} \over {2\cdot 2}}+{1 \over 4}={2 \over 4}+{1 \over 4}={2+1 \over 4}={3 \over 4}$

Übungsaufgaben