Mathematikunterricht/ Sek/ Geometrie/ Körper

Erarbeitung

1. Lesen Sie sich die Erklärungen zu den Körpern durch.
2. Bearbeiten Sie die Übungsaufgaben dazu.
3. Schreiben Sie sich eine Formelsammlung mit allen Körpern als Zeichnung und Formeln als „Spickzettel“.
4. Bearbeiten Sie zu zweit oder dritt die „Anwendungsaufgaben“. Hinweis: Manchmal sind dafür weitere Stationen notwendig.
5. Es gibt noch weitere (kniffligere) Anwendungsaufgaben bei der Lehrkraft.

Zylinder

Der Zylinder hat als Grund- und Dachfläche einen Kreis. Dazwischen befindet sich das Volumen und die rechteckige, um den Zylinder gebogene Fläche außen herum heißt Mantel. Dabei gilt:

Zylinder

Volumen = Grundfläche mal Höhe	$V=r^{2}\cdot \pi \cdot h$
Oberfläche = 2 mal Grundfläche + Mantelfläche	$O=2\cdot r^{2}\cdot \pi +h\cdot 2\cdot \pi \cdot r$

Übungen

1. Ein Zylinder hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 5 cm. Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche.
2. Eine zylindrische Regentonne hat eine Mantelfläche von 24 dm².
   1. Berechnen Sie den Radius, wenn die Höhe 2 dm beträgt.
   2. Berechnen Sie die Höhe, wenn der Radius 1 dm beträgt.
   3. Berechnen Sie den Radius, wenn die Höhe doppelt so groß ist wie der Radius.

-> Ergebnisse

Anwendung

1. Zylinder aus Papier: Wie groß ist das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders, der aus einem DIN A4-Blatt entsteht? Schätzen Sie zuerst Volumen und Oberfläche, bevor Sie sie berechnen.
2. Leuchtturm: Das Leuchtfeuer Lemwerder soll neu gestrichen werden. Es ist 16 m hoch und hat einen Durchmesser von 4 m.
   1. Berechnen Sie die Fläche, die gestrichen werden muss.
   2. Für 60 m² Fläche werden 12 l Farbe benötigt. Berechnen Sie die Menge an Farbe, die notwendig ist.

Kugel

Die Kugel ist quasi ein Kreis um den Mittelpunkt gedreht in alle drei Raumrichtungen. Für die Kugel gilt:

Kugel

Volumen= ${\frac {4}{3}}$ mal Kreisfläche mal Radius	$V={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}$
Oberfläche = 4 mal Kreisfläche	$O=4\cdot pi\cdot r^{2}=\pi \cdot d^{2}$

Übungen

1. Notieren Sie sich die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises. Vergleichen Sie diese mit den Formeln für die Kugel.
2. Eine Kugel hat den Radius r = 1 m. Berechnen Sie Oberflächeninhalt und Volumen. Vergleichen Sie die Zahlen miteinander.
3. Die Oberfläche einer Kugel ist so groß wie der sechsfache Radius ( 6⋅r ). Berechnen Sie den Radius.
4. Ein Kreis mit Umfang 40 cm wird um seinen Mittelpunkt so gedreht, dass eine Kugel entsteht. Berechnen Sie Oberflächeninhalt und Volumen der Kugel.

-> Ergebnisse

Anwendung

1. Aus Glaskugeln mit einem Radius von 0,5 cm soll eine einzige Kugel geschmolzen werden. Diese soll einen Radius von 5,0 cm haben. Berechnen Sie die Anzahl an kleinen Glaskugeln, die dafür notwendig ist.
2. Eine Metallkugel soll in zwei kleinere Kugeln umgeschmolzen werden. Diese beiden sollen den Durchmesser 4,0 cm und 1,5 cm haben. Berechnen Sie den Radius der großen Metallkugel.

Kegel

Der Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche, aber im Gegensatz zum Zylinder eine Spitze. Wie beim Zylinder heißt die Fläche um den Kreis herum Mantel, ist aber nicht rechteckig, sondern ein Kreissegment! Die Spitze muss nicht in der Mitte des Kreises sein, ist sie aber meistens.

Für sie gilt:

Kegel

Volumen = 1/3 mal Radius² mal π mal Höhe	$V={\frac {1}{3}}\cdot r^{2}\cdot \pi \cdot h$
Oberfläche = Kreis + Mantelfläche	$O=G+M=\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot r\cdot (r+{\sqrt {h}})$

Übungen

1. Ein Kegel hat einen Radius von 15 cm und eine Höhe von 30 cm. Berechnen Sie Oberfläche und Volumen.
2. Lisa und Özgür haben jeweils einen Kegel gebaut und diese an der Grundfläche zusammen geklebt. Der Radius beträgt 10 cm und die Gesamthöhe des Körpers ist 32 cm.
   1. Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers. Beachten Sie, dass die Klebefläche nicht als Oberfläche zählt.
   2. Lisa hat sich vermessen und ihr Körper ist nur halb so hoch wie der von Özgür. Berechnen Sie die neue Höhe sowie das neue Volumen und Oberfläche. Macht es einen Unterschied?
3. Die Höhe eines Kegels ist 3 mal so groß wie sein Radius. Das Volumen beträgt 50 cm³. Berechnen Sie den Radius sowie die Oberfläche.

-> Ergebnisse

Anwendung

1. Familie John hat im Urlaub eine Sandburg mit kegelförmigen Türmen gebaut. Der Kreisradius beträgt 150 cm, die Höhe 240 cm.
   1. Berechnen Sie das Volumen an Sand, das verbaut wurde.
   2. Der Sand muss mit Eimer herangetragen werden. Ein Eimer umfasst 5000 cm³. Berechnen Sie die Anzahl an Eimer, die sie gefüllt haben.
2. Notwendig: Zylinder
   1. Aus einem Zylinder mit dem Radius 6 cm und einem Volumen von 566 cm³ soll ein gleich hoher Kegel mit demselben Volumen geformt werden. Berechnen Sie den Kreisradius des Kegels.
   2. Vergleichen Sie die Oberflächen des Zylinders und des Kegels.
3. Notwendig: Zylinder
   1. Berechnen Sie Oberfläche und Volumen der abgebildeten Sylvesterrakete.

Pyramide

Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche (hier ein Quadrat) und eine Spitze. Diese muss nicht über der Mitte des Vielecks liegen. Für das Volumen gilt mit der Grundfläche G und der Höhe h.

Die Oberfläche hängt von der Grundfläche ab. Hier das Beispiel für eine rechteckige / quadratische Grundfläche:

Pyramide (mit quadratischer Grundfläche)

Volumen= 1/3 mal Grundfläche mal Höhe	$V={\frac {1}{3}}\cdot G\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot a^{2}\cdot h$
Oberfläche=Grundfläche+ 4⋅Dreiecksfläche der Seiten	$O=G+4\cdot M=a\cdot b+4\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot h_{S}\cdot b\right)$

Übungen

1. Leiten Sie eine Formel her, mit der Sie die Höhe hs berechnen können. Tipp: Pythagoras.
2. Berechnen Sie das Volumen für eine quadratische Pyramide mit a =3 cm und h = 6 cm.
3. Eine Pyramide hat als Höhe 4 cm und als Grundfläche ein bei C rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a=4 cm und b=3 cm. Berechnen Sie das Volumen.
4. Bei einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ist die eine Seite doppelt so lang wie die andere. Die Höhe beträgt 6 m und das Volumen 108 m³. Berechnen Sie die beiden Seitenlängen.

-> Ergebnisse

Anwendung

1. Der Eingangsbereich des Louvre in Paris (das berühmte Museum) ist eine quadratische Pyramide. Sie ist 21,60 m hoch und hat eine Grundfläche von 34,40 m⋅34,40 m .
   1. Bestimmen Sie die Fläche des Glases, das gereinigt werden muss.
   2. Bonus: Eine Reinigungskraft braucht alleine 5 Minuten um 1 m² gründlich zu reinigen. Berechnen Sie die Zeit, die 7 Mitarbeitende für die Reinigung brauchen.

Quader und Würfel

Hinweis: Der Würfel ist nur ein Spezialfall des Quaders, wenn alle Seiten gleich lang sind.

Volumen = Länge mal Breite mal Höhe	$V=a\cdot b\cdot c$
Oberfläche =	$O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c=2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)$

Volumen = Seitenlänge hoch 3	$V=a^{3}$
Oberfläche = 6 mal eine Seitenfläche	$O=6\cdot a^{2}$

Spannend ist die Diagonale, die sich mit dem Satz des Pythagoras schnell bestimmen lässt:

1. Dreieck „im Boden“: $e^{2}=a^{2}+b^{2}$
2. Gelbes Dreieck: $d^{2}=e^{2}+c^{2}$ => $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Für den Würfel gilt: $d={\sqrt {3}}\cdot a$

Übungen

1. Ein Quader hat die Seitenlängen 4 cm, 2 cm und 15 cm. Berechnen Sie Oberfläche und Volumen.
2. Der meist verbaute Ziegelstein hat ein Seitenverhältnis von 1:2:4.
   1. Berechnen Sie Volumen und Oberfläche für einen Ziegelstein mit der ersten Seitenlänge von 10 cm.
   2. Berechnen Sie die Seitenlänge für einen Würfel mit gleichem Volumen wieder Ziegelstein.

-> Ergebnisse

Anwendung

1. Geschenkbox: Bestimmen Sie den Materialverbrauch für die Schachtel.
2. Metallwürfel (notwendig Kugel und Kegel):
   1. Ein Metallwürfel hat eine Grundfläche von 36 cm². Daraus soll eine möglichst große Kugel hergestellt werden. Berechnen Sie Volumen und Oberfläche der Kugel.
   2. Vergleichen Sie Volumen und Oberfläche von Kugel und Würfel.
   3. Aus der Kugel sollen zwei möglichst große Kegel gefräst werden. Berechnen Sie das Gesamtvolumen beider Kegel.

Ergebnisse

Ergebnisse Zylinder

1. V ≈141,37 cm³, O≈150,80 cm²
2. Ergebnisse:
   1. r≈1,91dm
   2. h≈3,82 dm
   3. r≈1,38 dm , h≈2,76 dm

Ergebnisse Kugel

1. Fläche: $A=r\cdot \pi$; Umfang: $U=2\cdot \pi \cdot r$
2. V ≈4,19 m³; O≈12,57 m²
3. r≈0,48
4. r≈6,37 cm; O≈509,90 cm²; V ≈1082,70 cm³

Ergebnisse Kegel

1. s≈33,54 cm; O≈2287,39 cm²
2. Ergebnisse:
   1. V ≈3351,03 cm³; s₁≈18,87 cm; O≈1185,64 cm²
   2. V ≈2513,27 cm³; s₂≈13,56 cm; O≈1018,82 cm²
3. r≈2,52 cm; h≈7,56 cm

Ergebnisse Pyramide

1. $h_{s}={\sqrt {h^{2}+\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}$
2. V =18 cm³
3. V =8 cm³
4. a≈10,39 m: b≈5,17 m

Ergebnisse Quader und Würfel

1. V =120 cm³; O=196 cm²
2. Ergebnisse:
   1. V =8000 cm³; O=2800 cm²
   2. a=20 cm