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Proportionalität und Antiproportionalität

Erarbeitung: Planung der Party

Sandra und Nils wollen ihren Geburtstag gemeinsam feiern. Leider haben noch nicht viele ihrer Freunde fest zu- oder abgesagt – sie wissen also noch nicht, wie viele kommen werden. Trotzdem wollen sie einen Kostenplan aufstellen.

1. Getränke:

Als Getränke wollen sie Wasser, Zitronenlimonade und Orangensaft anbieten.

Getränk	Kosten pro Flasche
Wasser	0,50 €
Zitronenlimonade	1,50 €
Cola	2,10 €

A1. Berechne die Kosten für zwei und drei Flaschen Cola:
2 Flaschen:___________ 3 Flaschen:____________

Lösung

Zwei Flaschen: 2 * 2,10€ = 4,20€
3 Flaschen: 3 * 2,10€ = 6,30€

A2. Vervollständige die Tabelle.

Flaschen	1	2	3	4	5	6	7
Kosten [€]	2,10

Wertetabelle

Die Darstellung von Werten, die voneinander abhängen, in der Form Wert a a1 a2 ... Wert b b1 b2 ... nennt man Wertetabelle.

A3. Beschreibe in Worten, wie die Anzahl an Flaschen und die Kosten zusammenhängen.

A4. Wie viel zahlen Nils und Sandra für 9 Flaschen?

A5. Zitronenlimonade wird im Viererpack verkauft. Vervollständige die Tabelle.

Packs	1	2	3	4	5	6	7
Flaschen	4	8
Kosten [€]	$4\cdot 1,50=6,00$

A6. Wasser wird im Sechserpack verkauft.Vervollständige die Tabelle.

Packs	1	2	3	4	5	6	7
Kosten [€]	3,00

A7. Beschreibe in Worten, wie die Anzahl an Kästen und die Kosten zusammenhängen.

A8. Stelle einen Term auf, durch den du für eine bestimmte Anzahl an Kästen x die Kosten y in € berechnen kannst.
Zitronenlimonade:_______________
Wasser:__________________

2. Aufbau der Party

Für den Aufbau von Bierbänken und Dekoration braucht eine Person genau eine Stunde.

A1. Bestimme die Zeit in Minuten, die Sandra und Nils zum Aufbau brauchen.

A2. Wie lange brauchen die beiden, wenn zusätzlich noch zwei Freunde helfen?

A3. Beschreibe in Worten, wie die Anzahl an Personen und die Zeit zum Aufbau zusammenhängen.

A4. Was unterscheidet dieser Zusammenhang vom Zusammenhang beim Kauf von Getränken? Beschreibe in eigenen Worten.

Zusammenfassung

Merke: Proportionale Zusammenhänge

• erkennt man daran, dass, wenn man den x‑Wert verdoppelt/verdreifacht/..., so verdoppelt/verdreifacht/... sich auch der y-Wert.
• Der x-Wert steht im direkten Verhältnis zum y-Wert.
• Man sagt: "x-Wert und y-Wert sind proportional zueinander."

Antiproportionale Zusammenhänge

• erkennt man daran, dass, wenn man den x-Wert verdoppelt/verdreifacht/... , so halbiert/drittelt/... sich der y-Wert.
• Der x-Wert steht im reziproken (umgekehrten) Verhältnis zum y-Wert.
• Man sagt: "x-Wert und y-Wert sind antiproportional zueinander."

Beispiele

Beispiel 1: 5 kg Äpfel kosten 10,25€.

1. Wie viel kosten 10kg bzw. 30 kg?
   $10,25\cdot 2=20,50$€ bzw. $10,25\cdot 6=61,50$€
2. Wie viel kostet 1 kg?
   $10,25:5=2,05$€
3. Wie viel kosten 13 kg?
   ${\frac {10,25}{5}}\cdot 13=26,65$€
4. Erstellen Sie eine Formel, mit der Sie den Preis berechnen können.
   $y={\frac {10,25}{5}}\cdot x=2,05\cdot x$

Beispiel 2: Die Aula soll für eine Feier umgestellt werden. Die beiden Hausmeister brauchen dafür 2 Stunden.

1. Wie lange brauchen sie, wenn 4 Schüler:innen dabei helfen?
   Von 2 auf 6 Personen ist eine Verdreifachung. Das Arbeiten mit mehr Menschen verringert die notwendige Zeit.
   => Zeit ${\frac {2h}{3}}={\frac {120min}{3}}=40min$
2. Berechnen Sie die Zeit, die 9 Schüler:innen ohne die Hausmeister brauchen.
   Umrechnung für eine Person: $120min\cdot 2=240min$
   -> 9 Personen brauchen also ${\frac {240min}{9}}\approx 27min$
3. Erstellen Sie eine Wertetabelle für 1 bis 9 Personen.

Personen	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Zeit [min]	240	120	80	60	48	40	~35	30	~27