Mathematikunterricht/ Sek/ Prozentrechnung

Begriffsklärung

Die Prozentrechnung ist ein Bestandteil der Bruchrechnung, wobei jede Prozentangabe auf 100 bezogen wird. 1% entspricht also dem 1/100 (einhundertsten) Teil einer Zahl. Der Begriff kommt aus dem Lateinischen. Pro Cent heißt übersetzt: von hundert.

100 ist die Gesamtmenge, um die es geht. Hat man also z.B. 300 Schüler sind das 100%. Will man nun 10% davon berechnen, sind das 10 Teile von der Gesamtmenge (10 von hundert), also 1/10 (ein zehntel) von der Gesamtmenge. Im Beispiel sind also 10% von 300 Schülern 30 Schüler.

Am einfachsten rechnet man das mit dem sogenannten Dreisatz. Dazu teilt man die Gesamtmenge durch 100 (300 Schüler / 100 = 3 Schüler). Das Zwischen-Ergebnis ist 1% (1 % = 3 Schüler) Um jetzt 10% zu berechnen, wird das Zwischen-Ergebnis mit 10 multipliziert. 3 Schüler mal 10 = 30 Schüler. 10% von 300 Schülern sind also 30 Schüler.

Info: Das selbe Prinzp gibt es bei "Promille" (wird z.B. beim Alkoholgehalt im Blut benutzt). Da wird alles auf 1000 bezogen (Lateinisch: Pro Mille = von tausend) 2 Promille schreibt man: 2‰

Beispiele

5% von 100 ist 5
5% von 120 ist 6
5% von 123 ist 6,15
100 + 5%(von 100) = 100 + 5 = 105
120 + 5%(von 120) = 120 + 6 = 126
120 - 5%(von 120) = 120 - 6 = 114

Symbolik

G: Grundwert
W: Prozentwert
p: Prozentsatz

Gleichung

Die Grundgleichung ist:
${W \over G}={p \over 100}$

Beispiele

Berechne 10% von 100. 

gegeben ist:
 G = 100
 p = 10 

gesucht wird: 
 W

Dann kann man so rechnen:

 ${W \over G}={p \over 100}$ 

wird zu:

 $W={p \over 100}G={{10\times 100} \over 100}=10$ 

 ${\underline {W=10}}$ , also: 10% von 100 ist 10

Wieviel Prozent sind 10 von 100? 

gegeben ist:
 G = 100
 W = 10 

gesucht wird: 
 p

Dann kann man so rechnen:

 ${W \over G}={p \over 100}$ 

wird zu:

 $p={W \over G}100={{10\times 100} \over 100}=10$ 

 ${\underline {p=10}}$ , also: 10 ist 10% von 100

40% von einem Betrag sind 60. Wieviel sind dann 50% von diesem Betrag? 

Gegeben ist:
  $p_{1}=40\,$ 
  $p_{2}=50\,$ 
  $W_{1}=60\,$ 
  $G_{1}=G_{2}=G\,$ 

gesucht wird: 
  $W_{2}\,$ 
 

Dann kann man so rechnen:

 ${W_{1} \over p_{1}}={G \over 100}$ 

 ${W_{2} \over p_{2}}={G \over 100}$ 

wird zu:

 ${W_{1} \over p_{1}}={W_{2} \over p_{2}}$ 

wird zu:

 $W_{2}={{W_{1}p_{2}} \over p_{1}}={{60\times 50} \over 40}=75$ 

 ${\underline {W_{2}=75}}$

Schneller geht es so:

40% gibt 60, also wird

50\%={\frac {50}{40}}\times 40\%

{\frac {50}{40}}\times 60=75

geben.

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