Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Richtige und Superzahl Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert:
P
(
A
)
=
{\displaystyle P(A)=}
Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen 6 angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten dieses zu tun ist:
(
49
6
)
=
49
!
6
!
⋅
43
!
=
49
⋅
48
⋅
47
⋅
46
⋅
45
⋅
44
6
⋅
5
⋅
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
=
13.983.816
{\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\cdot 43!}}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=13.983.816}
Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen genau 6 zu ziehen ist:
(
6
6
)
=
6
!
6
!
⋅
0
!
=
1
{\displaystyle {6 \choose 6}={\frac {6!}{6!\cdot 0!}}=1}
Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll, lautet: A: sechs Richtige im Lotto Zu A gehört genau eine Damit ist
P
(
A
)
=
1
13.983.816
≈
0
,
000.000.072
{\displaystyle P(A)={\frac {1}{13.983.816}}\approx 0,000.000.072}
die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 6 Richtige zu haben.
Als neues Ereignis definieren wir B: 4 Richtige im Lotto . Das bedeutet, von den 6 angekreuzten Zahlen wurden 4 gezogen, 2 der gezogenen Zahlen gehören zu den 49 – 6 = 43 Nicht-angekreuten Zahlen. Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 angekreuzten Zahlen 4 zu ziehen ist:
(
6
4
)
=
6
!
4
!
⋅
2
!
=
6
⋅
5
2
⋅
1
=
30
2
=
15
{\displaystyle {6 \choose 4}={\frac {6!}{4!\cdot 2!}}={\frac {6\cdot 5}{2\cdot 1}}={\frac {30}{2}}=15}
Die Anzahl der Möglichkeiten von den 43 Nicht-angekreuzten 2 zu ziehen ist:
(
43
2
)
=
43
!
2
!
⋅
41
!
=
43
⋅
42
2
⋅
1
=
1806
2
=
903
{\displaystyle {43 \choose 2}={\frac {43!}{2!\cdot 41!}}={\frac {43\cdot 42}{2\cdot 1}}={\frac {1806}{2}}=903}
Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für 4 Richtige im Lotto:
(
6
4
)
⋅
(
43
2
)
=
15
⋅
903
=
13.545
{\displaystyle {6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}=15\cdot 903=13.545}
Zu B gehören also insgesamt 13.545 Möglichkeiten von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten. Damit ist
P
(
B
)
=
13.545
13.983.816
≈
0
,
00097
{\displaystyle P(B)={\frac {13.545}{13.983.816}}\approx 0,00097}
Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigkeit der Multiplikation von 15 mit 903 veranschaulichen:
1
..........
903
2 aus 43
1
ggggnn
..........
ggggnn
.
.
..........
.
.
.
..........
.
.
.
..........
.
15
ggggnn
..........
ggggnn
4 aus 6
In einer Zeile bleiben die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) gleich, die angekreuzten Nicht-Gewinnzahlen (nn) ändern sich.
In einer Spalte bleiben die angekreuzten Nicht-Gewinnzahlen (nn) gleich, die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) ändern sich.
Als neues Ereignis definieren wir C: 5 Richtige mit Superzahl . Nun muss noch die Superzahl, die Werte zwischen 0 und 9 annehmen kann, berücksichtigt werden.
Die Anzahl der Möglichkeiten erhöht sich damit um den Faktor
(
10
1
)
=
10
{\displaystyle {10 \choose 1}=10}
Anzahl der Möglichkeiten für:
5 Gewinnzahlen angekreuzt (5 aus 6)
(
6
5
)
=
6
{\displaystyle {6 \choose 5}=6}
1 Superzahl angekreuzt (1 aus 1)
(
1
1
)
=
1
{\displaystyle {1 \choose 1}=1}
1 Nicht-Gewinnzahlen angekreuzt (1 aus 43)
(
43
1
)
=
43
{\displaystyle {43 \choose 1}=43}
P
(
C
)
=
(
6
5
)
⋅
(
1
1
)
⋅
(
43
1
)
(
49
6
)
⋅
(
10
1
)
=
6
⋅
1
⋅
43
13.983.816
⋅
10
=
258
139.838.160
≈
0
,
000.001.84
{\displaystyle P(C)={\frac {{6 \choose 5}\cdot {1 \choose 1}\cdot {43 \choose 1}}{{49 \choose 6}\cdot {10 \choose 1}}}={\frac {6\cdot 1\cdot 43}{13.983.816\cdot 10}}={\frac {258}{139.838.160}}\approx 0,000.001.84}
In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totoblock Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften das Lottospiel. Man kann zusätzlich am Spiel Super 6 und Spiel 77 teilnehmen. Zu den 6 Zahlen wird zudem noch eine Superzahl gezogen. Die Superzahl ergibt sich aus den Zahlen 0 bis 9, die auf dem Lottoschein bereits vorgemerkt ist. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirkung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Die Superzahl wird nach der Ziehung der Lottozahlen aus einer Extratrommel, die 10 Kugeln mit den Nummern 0 bis 9 enthält, gezogen. Sie erhöht bei allen Gewinnklassen den Gewinn um eine Stufe. Außerdem gibt es bei 2 Richtigen mit Superzahl einen festen Gewinn von 5,00 €.
Gewinnklasse
Anzahl der Richtigen
Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp
Klasse 1
6 mit Superzahl
(
6
6
)
(
49
6
)
⋅
1
10
=
1
13.983.816
⋅
1
10
≈
0
,
000
000
007
15
{\displaystyle {\frac {6 \choose 6}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,000\,007\,15}
Klasse 2
6 ohne Superzahl
(
6
6
)
(
49
6
)
⋅
9
10
=
1
13.983.816
⋅
9
10
≈
0
,
000
000
064
4
{\displaystyle {\frac {6 \choose 6}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {1}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,000\,064\,4}
Klasse 3
5 mit Superzahl
(
6
5
)
⋅
(
43
1
)
(
49
6
)
⋅
1
10
=
258
13.983.816
⋅
1
10
≈
0
,
000
001
84
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 5}\cdot {43 \choose 1}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {258}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,001\,84}
Klasse 4
5 ohne Superzahl
(
6
5
)
⋅
(
43
1
)
(
49
6
)
⋅
9
10
=
258
13.983.816
⋅
9
10
≈
0
,
000
016
6
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 5}\cdot {43 \choose 1}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {258}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,016\,6}
Klasse 5
4 mit Superzahl
(
6
4
)
⋅
(
43
2
)
(
49
6
)
⋅
1
10
=
13.545
13.983.816
⋅
1
10
≈
0
,
000
096
9
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {13.545}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,000\,096\,9}
Klasse 6
4 ohne Superzahl
(
6
4
)
⋅
(
43
2
)
(
49
6
)
⋅
9
10
=
13.545
13.983.816
⋅
9
10
≈
0
,
000
872
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {13.545}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,000\,872}
Klasse 7
3 mit Superzahl
(
6
3
)
⋅
(
43
3
)
(
49
6
)
⋅
1
10
=
246.820
13.983.816
⋅
1
10
≈
0
,
001
77
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 3}\cdot {43 \choose 3}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {246.820}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,001\,77}
Klasse 8
3 ohne Superzahl
(
6
3
)
⋅
(
43
3
)
(
49
6
)
⋅
9
10
=
246.820
13.983.816
⋅
9
10
≈
0
,
015
9
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 3}\cdot {43 \choose 3}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {246.820}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,015\,9}
Klasse 9
2 mit Superzahl
(
6
2
)
⋅
(
43
4
)
(
49
6
)
⋅
1
10
=
1.851.150
13.983.816
⋅
1
10
≈
0
,
013
2
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 2}\cdot {43 \choose 4}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1.851.150}{13.983.816}}\cdot {\frac {1}{10}}\approx 0,013\,2}
2 ohne Superzahl
(
6
2
)
⋅
(
43
4
)
(
49
6
)
⋅
9
10
=
1.851.150
13.983.816
⋅
9
10
≈
0
,
119
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 2}\cdot {43 \choose 4}}{49 \choose 6}}\cdot {\frac {9}{10}}={\frac {1.851.150}{13.983.816}}\cdot {\frac {9}{10}}\approx 0,119}
1
(
6
1
)
⋅
(
43
5
)
(
49
6
)
=
5.775.588
13.983.816
≈
0
,
413
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 1}\cdot {43 \choose 5}}{49 \choose 6}}={\frac {5.775.588}{13.983.816}}\approx 0,413}
0
(
6
0
)
⋅
(
43
6
)
(
49
6
)
=
6.096.454
13.983.816
≈
0
,
436
{\displaystyle {\frac {{6 \choose 0}\cdot {43 \choose 6}}{49 \choose 6}}={\frac {6.096.454}{13.983.816}}\approx 0,436}
Weitere Informationen - Eine Einführung in die Stochastik
