Mathematische Übungsbeispiele: Differentialrechnung

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Potenzen

Die einfachste Ableitung der Welt

Gegeben ist die Funktion $g(x)=x^{2}$. Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(0)$, $g'(3)$ und $g'(5)$.

Ableitung einer Summen von Potenzen

Gegeben ist die Funktion $g(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}$. Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(-1)$, $g'(0)$ und $g'(1)$.

Noch eine Ableitung einer Summe von Potenzen

Gegeben ist die Funktion $g(x)=5x^{3}+7x^{2}+11x+10$. Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(1)$, $g'(2)$ und $g'(3)$.

Ableitung in der Summe mit Brüchen in der Potenz

Gegeben ist die Funktion $g(x)=2x^{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$ Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(1)$

Lösung und Details

Die einfachste Ableitung der Welt: $g'(0)$ $g'(3)$ $g'(5)$ Status:G Schulstufe:11

Ableitung einer Summe von Potenzen: $g'(-1)$ $g'(0)$ $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

Noch eine Ableitung einer Summe von Potenzen: $g'(-1)$ $g'(1)$ $g'(2)$ Status:G Schulstufe:11

Ableitung in der Summe mit Brüchen in der Potenz: $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

 

Sinus und Cosinus

Wenn du Sinus und Cosinus auf dem Taschenrechner berechnest, beispielsweise um den Wert einer Funktion $g'(a)$ in einem der folgenden Beispiele zu ermitteln, verwende  Bogenmaß. Wenn der Taschenrechner auf Bogenmaß eingestellt ist, muss zum Beispiel bei der Berechnung von $\sin(\pi /2)$ der Wert 1 heraus kommen.

Sinus x durch x

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\frac {\sin x}{x}}\quad$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(\pi )$ auf vier Stellen hinter dem Komma.

Sinus von Wurzel x

Gegeben sei die Funktion $g(x)=\sin(x^{1/2})\quad$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(1)$ auf vier Stellen hinter dem Komma (abgeschnitten, nicht gerundet).

Wurzel von Sinus x

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\sqrt {\sin x}}\quad$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(\pi /4)$ auf vier Stellen hinter dem Komma.

Sinus x mal Cosinus x

Gegeben sei die Funktion $g(x)=(\sin x)(\cos x)$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(\pi /6)$ auf eine Stelle hinter dem Komma (gerundet).

x durch x Quadrat minus 1

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\frac {x}{x^{2}-1}}\quad$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(0)$ und $g'(2)$ (diesen auf auf vier Stellen hinter dem Komma; ungerundet).

x Quadrat plus 1 durch x Quadrat minus 1

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}\quad$ Berechne $g'(x)$ und ermittle den Wert $g'(-2)$. Gib diesen Wert auch als vollständig gekürzten Bruch $g'(-2)={\frac {a}{b}}$ an!

x mal Sinus x durch x Quadrat plus 1

Gegeben sei die Funktion $g(x)={\frac {x\sin x}{x^{2}+1}}$ Berechne $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(\pi )$ und $g'(\pi /2)$ (auf vier Stellen hinter dem Komma)

Lösung und Details

Sinus x durch x: $g'(\pi )$ Status:G Schulstufe:11

Sinus von Wurzel x: $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

Wurzel von Sinus x: $g'(\pi /4)$ Status:G Schulstufe:11

Sinus x mal Cosinus x: $g'(\pi /6)$ Status:G Schulstufe:11

x durch x Quadrat minus 1: $g'(0)$ $g'(2)$ Status:G Schulstufe:11

x Quadrat plus 1 durch x Quadrat minus 1: $a$ $b$ Status:G Schulstufe:11

x mal Sinus x durch x Quadrat plus 1: $g'(\pi )$ $g'(\pi /2)$ Status:G Schulstufe:11

 

x Quadrat plus eins hoch zehn

Gegeben ist die Funktion $g(x)=(x^{2}+1)^{10}$ Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(-1)$ und $g'(0)$

Sinus von x hoch zwei minus 1

Gegeben ist die Funktion $g(x)=\sin(x^{2}-1)$ Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(-1)$, $g'(1)$.

e hoch x Quadrat plus eins

Gegeben ist die Funktion $g(x)=e^{x^{2}+1}$. Berechne die Ableitung $g'(x)$ und ermittle die Werte $g'(-1)$ und $g'(1)$.

Sinus von eins durch x

Gegeben ist die Funktion $g(x)=\sin(1/x)$ Berechne die Ableitung $g'(x)$ und überprüfe was für $g'(1)$ herauskommt (auf vier Stellen hinter dem Komma)

x Quadrat mal Sinus x

Gegeben ist die Funktion $g(x)=x^{2}\sin(x)$ Berechne die Ableitung $g'(x)$ und überprüfe ob für $g'(1)$ der richtige Wert herauskommt (auf vier Stellen hinter dem Komma)

Lösung und Details

Sinus von x hoch zwei minus eins: $g'(-1)$ $g'(0)$ $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

x Quadrat plus eins hoch zehn: $g'(-1)$ $g'(0)$ $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

e hoch x Quadrat plus eins: $g'(-1)$ $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

Sinus von Eins durch x: $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11

x Quadrat mal Sinus x: $g'(1)$ Status:G Schulstufe:11