Mathematrix: Vortrag/ Zusammengesetzte Figuren

Drücken Sie den dunkel Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des Quadrats aus!

Geometrie der Ebene Name Figur (Form) Umfang Fläche Andere Formeln Allgemeines Dreieck $u=a+b+c$ $A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$ Rechtwinkeliges Dreieck $u=a+b+c$ $A={\frac {a\cdot b}{2}}$ $c^{2}={a^{2}+b^{2}}$ $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ Gleichseitiges Dreieck $u=3a$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}$ $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ Rechteck $u=2a+2b$ $u=2(a+b)$ $A={a\cdot b}$ $d^{2}={a^{2}+b^{2}}$ $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ Quadrat $u=4a$ $A={a^{2}}$ $d={\sqrt {2}}a$ Raute (Rhombus) $u=4a$ $A={\frac {e\cdot f}{2}}$ $\textstyle {a^{2}=({\frac {e}{2}})^{2}+({\frac {f}{2}})^{2}}$ Parallelogramm $u=2a+2b$ $u=u=2(a+b)$ $A={a\cdot h_{a}}={b\cdot h_{b}}$ Trapez $u=a+b+c+d$ $A={\frac {a+c}{2}}\cdot h$ Kreis $u=2\pi \ r$ $u=\pi \ d$ $A={\pi \ r^{2}}$ $A={\frac {\pi \ d^{2}}{4}}$ Kreisring $u=2\pi \ (R+r)$ $A={\pi \ (R^{2}-r^{2})}$ Geometrie des Raums Name Figur (Form) Oberfläche Volumen Netz (falls möglich) Würfel $A_{O}=6a^{2}$ $V=a^{3}$ Quader $A_{O}=2ab+2ac+2bc$ $V=abc$ Quadratische Pyramide ${\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=a^{2}&&+2a\ h_{1}\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=a(a+h_{1})\right]$   wobei $h_{1}={\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$ $h_{1}\$ mit $a_{1}\$ im Bild $V={\frac {a^{2}\ h}{3}}$ Tetraeder $A_{O}={\sqrt {3}}a^{2}$ $V={\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}$ Zylinder ${\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=2\ \ \pi r^{2}&&+2\pi r\ h\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=2\pi r(r+h)\right]$ $V=\pi r^{2}\ h$ Kegel ${\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=\pi r^{2}&&+\pi r\ s\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=\pi r(r+s)\right]$   wobei $s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ $V={\frac {\pi r^{2}\ h}{3}}$ Prisma ${\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=\ \ {3{\sqrt {3}}}{}a^{2}&&+6a\ h\end{aligned}}$    $V=\overbrace {{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}} ^{A_{G}}\ \ \cdot h$    Kugel $A_{O}=4\pi r^{2}$ $\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ Torus $A_{O}=4\pi ^{2}rR\$ $V=2\pi ^{2}r^{2}R$

$A_{Q}=a^{2},\ \ A_{GD}={\tfrac {{\sqrt {3}}\ a^{2}}{4}}\ \ A_{K}=\pi \ r^{2}={\tfrac {\pi \ d^{2}}{4}}$ Seite des Dreiecks=Seite des Quadrats=a Durchmesser des Kreises= ${\tfrac {1}{3}}\$ der Seite des Quadrats $d={\tfrac {1}{3}}\ a$ Radius des Kreises= ${\tfrac {1}{6}}\$ der Seite des Quadrats $r={\tfrac {1}{6}}\ a$ $A=a^{2}-{\tfrac {{\sqrt {3}}\ a^{2}}{4}}-2\cdot \pi \ \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$ $A=a^{2}-{\tfrac {{\sqrt {3}}\ a^{2}}{4}}-2\cdot \pi \ {\tfrac {\left({\tfrac {a}{3}}\right)^{2}}{4}}$

Berechnen Sie die dunklen Flächen in der folgenden Figur!

$A_{Q}=a^{2},\ \ A_{D}={\tfrac {a\cdot h_{a}}{2}},\ \ A_{K}=\pi \ r^{2}$ $A_{Q}=a^{2},\ \ A_{RD}={\tfrac {a\cdot b}{2}},\ \ A_{K}=\pi \ r^{2},\ \ A_{D}={\tfrac {a\cdot h_{a}}{2}}$ Großes "unsichtbares" Quadrat: $A_{GQ}=8^{2}$ Großes Dreieck: $A_{GD}=8^{2}-{\tfrac {8\cdot 2}{2}}-{\tfrac {6\cdot 6}{2}}-{\tfrac {8\cdot 2}{2}}=30\ {\text{Einheiten}}$ Kleines Quadrat: $A_{KQ}=3^{2}=9\ {\text{Einheiten}}$ Kreis $A_{K}=\pi \ 1{,}5^{2}$ Kleines Dreieck: $A_{KD}={\tfrac {3\cdot 1{,}5}{2}}=2{,}25\ {\text{Einheiten}}$ Winzinges Quadrat: $A_{WQ}=1^{2}=1\ {\text{Einheiten}}$ $A=30-9+\pi \ 1{,}5^{2}-2{,}25+1=19{,}75+2{,}25\ \pi \approx 26{,}82\ {\text{Einheiten}}$