Moderne Termlogik: Standardsemantik der Termlogik: Semantische Beweise

Moderne Termlogik

Standardsemantik der Termlogik

Semantische Beweise

Die Gültigkeit des Vollständigkeitssatzes erlaubt es, Ableitungen auch auf semantischer Ebene (d.h. in der Sprache der Mengenlehre) zu führen. Allerdings verwendet man semantische Überlegungen am häufigsten, wenn man zeigen will, dass bestimmte Aussagen nicht gelten.

Nehmen wir an, wir wollten zeigen, dass eine bestimmte Ableitung

$\Phi \vdash p$

nicht möglich ist. Äquivalent dazu ist, dass

$\Phi \models p$

nicht stimmt. Das wiederum bedeutet, dass es eine Interpretation gibt, bei der $\Phi$ als richtig interpretiert wird, $p$ aber als falsch. Man braucht also nur ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass $\Phi \models p$ und damit auch $\Phi \vdash p$ nicht stimmt.

Beispiel: Wir wollen zeigen, dass aus $\Phi =\{Aab,Ibc\}$ nicht $p=Aac$ abgeleitet werden kann. Dazu wählen wir die folgende Interpretation: ${\mathfrak {I}}(a)=\{1\},{\mathfrak {I}}(b)=\{1,2\},{\mathfrak {I}}(c)=\{2,3\}$ . Man überlegt sich relativ leicht, dass dies ein Modell von $\Phi$ ist, aber kein Modell von $p$ .