Moderne Termlogik

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Dieses Buch steht im Regal Philosophie.

Projektbeschreibung[Bearbeiten]

  • Zielgruppe:

An der philosophischen Logik Interessierte mit Vorkenntnissen in formaler Logik.

  • Lernziele:

Verständnis der Termlogik und deren Darstellung in der moderner Form des natürlichen Schliessens.

  • Buchpatenschaft / Ansprechperson:

Zurzeit niemand, das Buch kann gerne übernommen werden.

  • Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?

Ja, gerne.

  • Themenbeschreibung:

Die Termlogik (Begriffslogik) geht auf Aristoteles zurück. Sie ist in ihrer Bedeutung für die Philosophie durch die moderne Prädikatenlogik abgelöst worden. Es gibt mehrere Gründe, warum es dennoch wichtig ist, sich mit (einer modernen Darstellung) der Termlogik zu beschäftigen:

  1. Die Termlogik ist von Aristoteles über Leibniz bis Kant Gegenstand der philosophischen Logik
  2. Die Prädikatenlogik kann die Termlogik nur unvollständig abbilden
  3. Die Prädikatenlogik ist zur Behandlung philosophischer Fragestellungen vielfach zu kompliziert
  4. Die Termlogik ist ein relativ einfaches formales System des natürlichen Schliessens, dessen Studium auch für das Erlernen komplizierterer Systeme von Nutzen ist.

Einleitung[Bearbeiten]

Die Entstehung der modernen Termlogik[Bearbeiten]

Die moderne Termlogik (im Gegensatz zur klassischen Termlogik, deren Anfänge auf Aristoteles zurückgehen) wurde von Jan Łukasiewicz entwickelt; später wurde sie von John Corcoran, Smiley und anderen ausgebaut.

Worum geht es?[Bearbeiten]

Kalküle[Bearbeiten]

Der Kalkül der Termlogik[Bearbeiten]

Dieses Kapitel ist die Grundlage der Syntax der Termlogik, d.h. der formalen Sprache, durch die die Termlogik definiert wird sowie der Regeln, die den Umgang mit der Sprache der Termlogik beschreiben. Die Syntax einer Sprache lässt sich auf viele unterschiedliche Art und Weisen beschreiben; für Sprachen, die ein formales logisches System definieren, ist die Kalkülschreibweise besonders geeignet. Sie macht unmissverständlich klar, dass es sich bei der Syntax um den formalisierten Umgang mit Zeichenketten handelt und erleichtert die Implementation des Systems mit Hilfe von Computersprachen. Als besonders geeignet für diesen Zweck erweisen sich regelbasierte Programmiersprachen wie Mathematica.

Die Bausteine der Termlogik[Bearbeiten]

Die Transformationsregeln[Bearbeiten]

Direkte Ableitungen[Bearbeiten]

Negation und indirekte Ableitungen[Bearbeiten]

Syllogistik[Bearbeiten]

Wie im vorigen Kapitel gezeigt, beruht das System der Termlogik auf vier Transformationsregeln, von denen zwei die klassischen "Syllogismen" Barbara und Celarent sind. Aus diesen vier Regeln lassen sich nun weitere sog. abgeleitete Regeln herleiten, insbesondere 22 weitere Syllogismen (so dass es also insgesamt 24 "gültige" Syllogismen gibt).

Abgeleitete Regeln[Bearbeiten]

Syllogismen: Die Figuren[Bearbeiten]

Die 24 Syllogismen[Bearbeiten]

Ungültige Syllogismen[Bearbeiten]

Syllogistische Basen[Bearbeiten]

Für das bisher betrachtete System der Termlogik ist die Methode des indirekten Beweises zentral. Für gewisse Zwecke ist diese Beweismethode nicht besonders gut geeignet, denn man muss bei einem indirekten Beweis ja immer schon wissen, welchen Schluss man aus den Prämissen ziehen will. Es stellt sich daher die Frage, ob man allein mit direkten Beweisen auskommen kann, wenn man die Anzahl der dem System zugrunde liegenden Transformationsregeln (Syllogismen) erhöht. Es wird sich zeigen, dass das der Fall ist: Mit sechs Syllogismen als Basis (statt mit nur zweien, die bei der Verwendung der indirekten Beweismethode ausreichen) kann die gesamte Theorie mit allein der direkten Beweismethode abgeleitet werden.

Die indirekten Basen[Bearbeiten]

Die direkten Basen[Bearbeiten]

Ein Sequenzenkalkül für die Termlogik[Bearbeiten]

Termlogik und Prädikatenkalkül[Bearbeiten]

Die Standardübersetzung (Frege)[Bearbeiten]

Die Übersetzungstechnik[Bearbeiten]

Verbesserungsversuche[Bearbeiten]

Standardsemantik der Termlogik[Bearbeiten]

In den vorangehenden Kapitel haben wir die Termlogik vom Standpunkt der Syntax untersucht. Das heisst, wir haben uns mit Regeln zur Erzeugung und Transformation von Zeichenketten beschäftigt. Für diese Verarbeitung von Zeichenketten, die natürlich auch von Computerprogrammen vorgenommen werden kann, benötigt man keine Interpretation; d.h. für die Ableitung von "neuen" Aussagen (Urteilen) aus einer Menge von vorgegebenen oder die Gewinnung abgeleiteter Regeln braucht man sich nicht dafür zu interessieren, was oder usw. bedeuten.

Die Beschäftigung mit Fragen der Interpretation gehört zum Gebiet der Semantik, einem der Hauptgebiete der formalen Logik. Der Unterschied zwischen Syntax und Semantik zieht sich zwar implizit durch die ganze Geschichte der formalen Logik hindurch, ist aber erst seit den bahnbrechenden Arbeiten des Logikers Tarski begrifflich so präzisiert worden, dass es neben der Theorie einer formalen Syntax auch eine Theorie der formalen Semantik gibt. Beide Bereiche bilden bei der Untersuchung eines speziellen logischen Systems eine Einheit, und die Beziehungen zwischen Syntax und Semantik stehen häufig im Mittelpunkt theoretischer Untersuchungen (Vollständigkeitssatz).

Terme und nichtleere Mengen[Bearbeiten]

Semantische Folgerung[Bearbeiten]

Korrektheit und Vollständigkeit[Bearbeiten]

Semantische Beweise[Bearbeiten]

Eine intensionale (Leibnizsche) Semantik[Bearbeiten]

Leibniz' charakteristische Zahlen[Bearbeiten]

Intension und Extension[Bearbeiten]

Die intensionale Semantik[Bearbeiten]

Algorithmen für die Termlogik[Bearbeiten]

In diesem Kapitel wird die Termlogik in den Kontext konstruktiver Berechnungsmethoden gestellt. Das gelingt dadurch, dass wir das logische System als ein regelbasiertes Reduktionssystem formulieren. Das erlaubt es uns, Standard-Hilfsmittel aus der Theorie solcher Strukturen (Newman-Lemma) auf die Termlogik anzuwenden. Auf diese Weise können wir z.B. die bereits auf Aristoteles zurückgehenden Methoden der Herleitung von Syllogismen in einer definierten konstruktiven Umgebung reproduzieren, und wir legen die Grundlage dazu, vertiefte Untersuchungen über die Struktur der syllogistischen Regeln mit Hilfe eines Computerprogramms durchzuführen.

Abstrakte Reduktionssysteme[Bearbeiten]

Die Termlogik als Reduktionssystem[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]