Moderne Termlogik: Syllogistische Basen: Die indirekten Basen

Moderne Termlogik

Syllogistische Basen

Die indirekten Basen

Die Methode des indirekten Beweises ist ein zentraler Bestandteil des Kalküls der Termlogik, wie wir ihn am Anfang dieses Buches eingeführt haben. Zur Erinnerung seien noch einmal alle Zutaten des Systems hier zusammengetragen; im folgenden Abschnitt werden dann wichtige Alternativen dargestellt.

Das System I (mit indirekter Ableitung):

Bausteine: Bildung von Sätzen (oder Urteilen)
1. Die vier logischen Konstanten A, I, E, O
2. Endlich oder abzählbar unendlich viele Termkonstanten $a_{1},a_{2},a_{3},....,a,b,c,....$
3. Formationsregel für Sätze: $Uxy$ für eine beliebige logische Konstante $U$ und beliebige Termkonstanten $x,y$ mit $x\neq y$
Transformationsregeln
1. Die Konversionen $R_{1},R_{2}$
2. Die Syllogismen $R_{3},R_{4}$
Die logische Ableitung
1. Direkte Ableitung von $P$ $P$ aus $\Phi$ $\Phi$ durch eine Sequenz $<\Phi _{0},...,P>$ $<\Phi _{0},...,P>$ . Hierbei ist jedes Element rechts von $<\Phi _{0}>$ $<\Phi _{0}>$ entweder
  1. die Wiederholung eines vorhergehenden Elements oder
  2. mit Hilfe der Transformationsregeln aus zwei früheren Elementen abgeleitet
2. Indirekte Ableitung von $P$ aus $\Phi$ durch eine Sequenz $<\Phi _{0},C(P),...,Q,C(Q)>$ . Hierbei ist $C(Axy)=Oxy,C(Ixy)=Exy,CC(P)=P$

Dieses System soll abgekürzt werden als I=I(E-Konv.,A-pKonv.;Barbara,Celarent;Dir.,Wiederh., Indir.).

Frage: Gibt es ein zu I äquivalentes System, das OHNE die indirekte Ableitung auskommt?