Physik Oberstufe/ Quantenphysik/ Materiewellen

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De Broglie Wellen[Bearbeiten]

Sichtbar sind jeweils die Ringe der ersten Beugungsordnung.
Die Graphitfolie hat zwei relevante Gitterkonstanten.
Elektronenbeugung an einer Graphitfolie.
Debye-Scherrer-Verfahren
Streuung an Kristallebenen. Für die Wegdifferenz der Strahlen gilt: .

Experiment: Ein Elektronenstrahl wird auf ein Graphit-Target geschossen.
Beobachtung: Auf dem Schirm sieht man dunkle und helle Ringe, wie man sie vom Debye-Scherrer-Verfahren mit Röntgenstrahlen kennt. Hier wird jedoch ein Elektronenstrahl verwendet. Offensichtlich lassen sich auch mit Elektronen Interferenzerscheinungen erzeugen. Wird die Beschleunigungsspannung erhöht, so verkleinern sich die Ringe.

Experimentelle Bestimmung der De-Broglie-Wellenlänge[Bearbeiten]

Doppelspaltexperiment mit Elektronen.
Interferenz von Elektronen. Photo aus der Originalarbeit.

Die hellen Ringe stellen jeweils Maxima 1. Ordnung für zwei unterschiedliche Gitterebenen mit Ebenenabstand und dar. Bei einer Beschleunigungsspannung von und einem Abstand zwischen Kristall und Schirm von betragen die Radien der Ringe und .

Für konstruktive Interferenz ist und die Bragg-Bedingung damit:

.

Für die Geometrie der Abbildung auf dem Schirm gilt:

.

Setzt man Näherungsweise , so erhält man:

Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge[Bearbeiten]

Doppelspaltexperiment mit Elektronen: Es werden nach und nach einzelne Elektronen registriert, die in Summe das bekannte Beugungsbild ergeben. Anzahl der Elektronen: a: 11, b: 200, c: 6000, d: 40000, e: 140000.

Wird die Beschleunigungsspannung erhöht, so verkleinern sich die Ringe, die Wellenlänge hängt also von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Für eine (sehr windige) Herleitung gehen wir von der Photonenenergie aus:

.

Dabei soll die bewegte Masse des Photons in der relativistischen Energiebeziehung sein.
Kürzt man ein , ergibt sich mit dem Impuls des Photons:

.

Dieses Ergebnis bestätigt sich, wenn wir die allgemein gültige Energie-Impuls-Relation der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Es gilt nämlich mit der Ruhemasse :

.

Für masselose Teilchen folgt daraus direkt:

.

Mit der Photonenenergie erhält man wie zuvor:

.

Wir verwenden nun diese Formel und gehen davon aus, dass sie auch für Elektronen mit entsprechendem Impuls gilt. Wir setzen für den Impuls der Elektronen ein und erhalten für unsere Beschleunigungsspannung :

.
Mit bewegten Teilchen (Elekronen, Neutronen, Protonen, …) lassen sich Beugungs- und Interferenzexperimente durchführen. Dabei sind den Teilchen Wellen mit der De-Broglie-Wellenlänge:

zugeordnet. Die mathematische Behandlung erfolgt in der Quanten-/Wellenmechanik.

Die Heisenbergsche Unschärferelation[Bearbeiten]

Beugung am Spalt. Je genauer der Ort durch die Spaltbreite festgelegt wird, desto größer wird die Impulsunschärfe.
Werner Heisenberg und Niels Bohr.

Gedankenexperiment: Ein monochromatischer Elektronenstrahl trifft auf einen Einzelspalt. Den Elektronen kann eine Welle mit der De-Broglie-Wellenlänge zugeordnet werden. Je schmäler der Spalt, desto breiter das Beugungsbild, also die Ungenauigkeit des Impulses in Richtung. Wie ist der genaue Zusammenhang?

Damit ein Elektron im Bereich des ersten Minimums auf den Schirm auftrifft, benötigt es einen Impuls in Richtung von:

.

Für den Winkel , unter dem das erste Minimum des -breiten Einzelspalts auftritt, gilt:

,

wobei für die De-Broglie-Wellenlänge eingesetzt wurde. Setzen wir in ein, ergibt sich:

.

Ein Elektron, das den Spalt passiert, findet sich mit großer Wahrscheinlichkeit im Bereich zwischen den beiden ersten Minima wieder. Dieser Bereich ist bei hinreichend schmalem Spalt viel breiter als der Spalt selbst. Um den Bereich auszufüllen benötigt das Elektron nach dem Spalt eine Impulsunschärfe in Richtung von .

Dementsprechend gilt die Heisenbergsche Unschärferelation:

.

Deutung: Sei der Ort eines Teilchens bis auf die Ortsunschärfe bekannt. Dann ist sein Impuls nur bis auf die Impulsunschärfe wie in der Heisenbergschen Unschärferelation gegeben bestimmbar. Ort und Impuls lassen sich also nicht gleichzeitig beliebig genau messen. Je genauer man eine der Größen bestimmt, umso ungenauer wird die andere.