Physik des Schlagens/ Physikalische Eigenschaften von Rattan

Die physikalischen Eigenschaften von Rattan wurden mit einfachen Mitteln untersucht. Ziel war die Bestimmung der Dichte und des Elastizitätsmoduls.

Bestimmung der Umfangs

Der Umfang eines trockenen Rohrstocks wurde bestimmt. Hierzu wurde er mit einem dünnen Garn 10 fach umwickelt. Die Anschliessend wurden alle Wicklungen an einer stelle gleichzeitig mit einem Filzstift markiert. Die folgede Abbildung zeigt diesen Aufbau vor der Markierung.

Anschliessend wurde das Garn abgewickelt und die Länge von der ersten bis zur letzten Markierung mit einem Gliedermassstab gemessen. Die Länge $s$ von der ersten bis zur letzten Markierung wurde bestimmt. Dieses Verfahren wurde an einer anderen Stelle des Rohrstocks wiederholt. Es ergab sich:

$27.65\pm 0.2\mathrm {cm}$

und somit für den Umfang u des Rohrstocks

$u={\frac {s}{10}}=2.765\pm 0.02\mathrm {cm}$

Bestimmung der Dichte

Der Rohrstock wurde mittels einer Digitalwage gewogen und so seine Masse $m$ bestimmt. Seine Länge $l$ wurde mit einem Gliedermassstab bestimmt. Um ihn wurde ein Klebestreifen gewickelt der ungefährt auf die Länge seines Umfanges $u$ geschnitten und anschliessend mit einem Gliedermassstab vermessen. Man erhielt:

${\begin{matrix}m&=&13\pm 1\mathrm {g} \\l&=&61.5\pm 0.5\mathrm {cm} \\u&=&2.765\pm 0.02\mathrm {cm} \\\end{matrix}}$

Die Dichte berechnet sich nach

$\rho ={\frac {m}{V}}={\frac {m}{\pi r^{2}l}}={\frac {m}{\pi \left({\frac {u}{2\pi }}\right)^{2}l}}={\frac {4\pi m}{u^{2}l}}=0.347{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{2}\mathrm {cm} }}=392{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

Damit liegt sie innerhalb der in Wikipedia angegebenen Schranken für Holz ($200...1200{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$). Er liegt entspricht dem von leichtem Holz, was gut mit der intuitiven Erwartung übereinstimmt.

Für den Fehler erhalten wir nach Gauss:

$\triangle \rho =\rho {\sqrt {\left({\frac {\triangle m}{m}}\right)^{2}+\left({\frac {\triangle l}{l}}\right)^{2}+\left(2{\frac {\triangle u}{u}}\right)^{2}}}=27{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

Somit haben wir

$\rho =350\pm 30{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

Wir haben jedoch nur einen einzigen stab vermessen somit ist die Streuung zwischen unterschiedlichen Stäben noch unberücksichtigt. Daher liegt es nahe zu vermuten, dass der tatsächliche Fehler noch höher liegt.

Bestimmung des Elastizitätsmoduls

Der Elastizitätmodul des Rohrstocks wurde bestimmt. Hierzu wurde er einseitig eingespannt und durch eine Kraft auf der anderen Seite belastet. Der Versuchsaufbau ist in der folgenen Abbilgung zu dargestellt.

Zur Belastung wurden Schokoladenstücke der Massen $5\mathrm {g}$ und $30\mathrm {g}$ verwendet die in eine am den Rohrstock geklebte Plastiktüte gelegt wurden. Erst wurde der Rohrstock mit $120\mathrm {g}$ belastet, anschliessend wurden die Messwerte in $20\mathrm {g}$ Schritten aufgenommen. Gemssen wurde jeweils die Masse die zur Belastung verwendet wurde, sowie der Abstand des belasteten Endes des Rohrstocks zum Boden. Es ergaben sich folgende Messwerte:

m [h]	h[cm]
0	57.0
20	54.5
40	53.5
60	51.5
80	49.0
100	48.5
120	46.5

Diese wurden graphisch aufgetragen und eine Regressionsgerade wurde durch die Messwerte gelegt. Man erhielt:

Die Gleichung der Regressionsgeraden ist bekanntermassen.

$f(x)=ax+b$

Für die Steigung $a$ berechnete das Programm gnuplot:

$a=-0.085\pm 0.005{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {g} }}=-{\frac {s}{m}}$

Für den Abstand vom Einspannpunkt zum Ende des Rohrstocks ergabt sich durch Messnung mit einem Gliedermassstab:

$l=49.5\pm 1\mathrm {cm}$

Für die Durchbiegung gilt nach der Graphik unten:

$s={\frac {Fl^{3}}{3EI}}$

Hieraus ergibt sich:

${\begin{matrix}E&=&{\frac {mgl^{3}}{3Is}}&=-{\frac {gl^{3}}{3Ia}}=-{\frac {gl^{3}}{3{\frac {\pi r^{4}}{4}}a}}=-{\frac {gl^{3}}{3{\frac {u^{4}}{\pi ^{3}64}}a}}=-{\frac {64\pi ^{3}}{3}}{\frac {gl^{3}}{u^{4}a}}=160\cdot 10^{6}{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}\mathrm {cm} ^{3}\mathrm {cm} ^{-4}{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} }}\\&=&1.60{\frac {\mathrm {kN} }{\mathrm {mm} ^{2}}}&\end{matrix}}$

Für den Fehler erhält man nach Gauss.

$\triangle E=E{\sqrt {\left(4{\frac {\triangle u}{u}}\right)^{2}+\left({\frac {\triangle g}{g}}\right)^{2}+\left(3{\frac {\triangle l}{l}}\right)^{2}+\left({\frac {\triangle a}{a}}\right)^{2}}}=0.14{\frac {\mathrm {kN} }{\mathrm {mm} ^{2}}}$

Somit hat man das Endergebnis.

$E=1.6\pm 0.14{\frac {\mathrm {kN} }{\mathrm {mm} ^{2}}}$

Wieder kann man sich fragen ob man diesen Wert genauer bestimmen kann, jedoch muss man auch hier mit Unterschieden zwischen verschiedenen Rohrstöcken rechnen. Der Wert liegt ca. 5 mal niedriger als der von weichem Holz parallel zur Faser. Rohrstöcke sind also besonders biegsam. Es ist interessant zu fragen warum ein so biegsames Material bevorzugt verwendet wird.