Pythagoras in der Schmiede

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Der Kupferstich Duynkirchen von Eberhard Kieser aus dem 1626 erschienenen Thesaurus philopoliticus von Daniel Meisner (* 1585; † 1625).
Links Pythagoras mit Winkelmaß und rechts drei Schmiede mit Hämmern an einem Amboss mit fünf Notenlinien, auf denen der Schriftzug "Guido" gezeigt wird.

Die lateinisch und deutsch abgefassten Bildtexte haben den gleichen Inhalt und lauten wie folgt:

Triplicibus percussa sonat varie ictibus incus.
Musica Pythagoras struit hinc fundamina princ(eps).

Der Amboß von drey Hämmern klingt, darauß dreyerley thon entspringt.
Pythagoras hie die Music findt, das hett kein Eselskopff gekönt.

Dieser Beitrag beleuchtet die physikalischen und musiktheoretischen Hintergründe der Legende von Pythagoras in der Schmiede und weist nach, dass diese Legende eine realistische Grundlage haben könnte. Er basiert auf einer Vorveröffentlichung aus dem Jahr 2012.[1]

Vorrede[Bearbeiten]

Die Zusammenhänge zwischen Tönen und Zahlen wurde nicht nur in der Antike untersucht. Die Musik gehörte im Mittelalter zusammen mit der Arithmetik und der Geometrie zu den vier hohen Künsten des Quadriviums. Diese Fächer bieten nach wie vor ein lohnendes Feld für musiktheoretische Betrachtungen und Untersuchungen, und dies betrifft verschiedene auch heute noch in Gebrauch befindliche Stimmtemperaturen genauso wie zum Beispiel musikästhetische Aspekte oder die Tonlehre. Der Autor hofft, dass diese Ausführungen über die antike Legende dazu beitragen können, das Interesse an der Materie zu wecken oder zu festigen.

Die Erfindung der Musik[Bearbeiten]

Pythagoras von Samos (* um 570; † nach 510 vor Christus) soll nach der Überlieferung der Legende über seinen Besuch einer Schmiede die Musik erfunden haben. Damit ist nicht gemeint, dass es zuvor keine Musik gegeben hätte, sondern dass er der Musik durch die Zuordnung der Verhältnisse der natürlichen Zahlen sechs, acht, neun und zwölf zu den reinen musikalischen Intervallen Prime, Quarte, Quinte und Oktave als erster eine theoretische Grundlage gegeben haben soll.

Die vier ganzen Zahlen 6, 8, 9 und 12 und deren Verhältnisse zu den reinen musikalischen Intervallen Prime, Quarte, Quinte und Oktave.

Die folgende Tabelle zeigt die Frequenzverhältnisse solcher vier Töne mit den beispielhaften Frequenzen 1200, 1600, 1800 und 2400 Hertz:

Intervall Prime Quarte Quinte Oktave
1200 Hz 1600 Hz 1800 Hz 2400 Hz

Paarweise können vier pythagoreischen Töne insgesamt vier verschiedene tieferfrequente Kombinationstöne hervorrufen, die sich aus der Differenz der Frequenzen der beiden jeweils betrachteten Töne ergeben. Bezogen auf jeden einzelnen der vier pythagoreischen Töne haben die Kombinationstöne jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der Hälfte, des Drittels, des Viertels oder des Sechstels von deren Frequenz. Mit den oben in der Tabelle angegebenen beispielhaften Frequenzen ergeben sich also die vier Kombinationstöne mit den Frequenzen 200, 400, 600 und 800 Hertz. Wegen der ganzrationalen Verhältnisse klingen auch alle Kombinationstöne im harmonischen Einklang mit den vier pythagoreischen Tönen.

Beispiel mit den vier pythagoreischen Tönen c', f', g' und c" in Notenschrift mit Violinschlüssel.

Überlieferung in der Antike[Bearbeiten]

Der Typus arithmeticae aus der Margarita Philosophica von 1503 des Philosophen Gregor Reisch (* 1467; † 1525) mit Boethius (links) und Pythagoras (rechts).

Leider sind keine Schriften von Pythagoras vorhanden (möglicherweise hat er auch gar keine hinterlassen), und die ältesten Quellen stammen aus einer Zeit, die viele Jahrhunderte nach dessen Tod entstanden sind. Nikomachos von Gerasa hat mindestens 600 Jahre nach Pythagoras' Tod dessen Entdeckungen festgehalten.

Aber auch diese Aufzeichnungen sind nicht erhalten, so dass wir auf die spätantike, lateinische Schrift De institutione musica („Einführung in die Musik“) von Boethius zurückgreifen müssen, die erst etwa 1000 Jahre nach Pythagoras entstanden ist und sich unter anderem vermutlich auch auf Nikomachos bezieht. Im zehnten Kapitel der De institutione musica wird jedenfalls beschrieben, „wie Pythagoras die Verhältnisse der Zusammenklänge untersucht hat.“[2]

Nach der Legende Pythagoras in der Schmiede sei dieser „durch göttlichen Wink“ an einer Werkstätte vorbeigekommen und hätte den Zusammenklang der durch fünf verschiedene Hammerschläge verursachten Einzeltöne bemerkt. Weil er vermutete, dass die Einzeltöne durch die Art und Kraft der Hammerschläge zustande kämen, veranlasste er die Handwerker die Werkzeuge zu tauschen. Er bemerkte, dass die Einzeltöne nicht mit den Handwerkern, sondern mit den Werkzeugen verbunden waren und dass die im Wohlklang zusammentönenden Werkzeuge in bestimmten ganzzahligen Gewichtsverhältnissen zueinanderstanden.

Laut dem elften Kapitel der De institutione musica hätte er im Anschluss diese Verhältnisse beim Variieren der Zuggewichte von Saiten und schließlich auch beim Monochord untersucht und auch verschiedene Längen und Dicken der Saiten erforscht.[3]

Überlieferung im Mittelalter[Bearbeiten]

Guido von Arezzo (* um 992; † 1050) unterweist Bischof Theobald von Straßburg († 1082) am Monochord. Wien, Österreichische Nationalbibliothek, 12. Jahrhundert.

Noch einmal 500 Jahre später, also mittlerweile 1500 Jahre nach dem Wirken von Pythagoras, bezieht sich der mittelalterliche Musiktheoretiker und Benediktiner Guido von Arezzo (* um 992; † 1050) in seinem ebenfalls lateinischsprachigen Micrologus wiederum auf Boethius. Guido erwähnt im zwanzigsten Kapitel, „wie die Musik aus dem Klange der Hämmer erfunden worden sei“.[4]

Diese Überlieferung der Legende von Pythagoras erwähnt, dass dieser an einer Schmiede vorbeigekommen sei, wo mit fünf Hämmern auf einem Amboss geschmiedet worden sein soll. In der älteren Überlieferung von Boethius ist jedoch weder von den die Hämmer führenden Schmieden noch von einem Amboss die Rede.

Widersprüche[Bearbeiten]

Bei der physikalischen Analyse der überlieferten Fakten ergeben sich eine Reihe von Widersprüchen.

Stab mit der Länge und der Querschnittsfläche .

Hierzu betrachten wir einen idealisierten Hammerkopf in Form eines quaderförmigen Stabs mit der größten Länge . Dessen Volumen ergibt sich zusammen mit seiner Querschnittsfläche zu:

Die Masse betragt bei einer Dichte :

Die Gewichtskraft des Hammerkopfes kann aus der Masse unmittelbar durch die Proportionalkonstante der Erdbschleunigung berechnet werden:

Die Eigenfrequenz beziehungsweise die Tonhöhe von Hammerköpfen aus gleichem Material ist in der Regel nicht umgekehrt proportional zu deren Gewicht , sondern hängt wesentlich von ihrer genauen Geometrie ab. Je länger die geometrische Ausdehnung in einem Körper ist, desto tiefer ist die Eigenfrequenz in dieser Richtung beziehungsweise des dazugehörigen longitudinalen Schwingungsmodus. Die tiefste hörbare Frequenz ist demzufolge mit der größten Länge des Hammerkopfes korreliert.

Die Eigenfrequenz von Hammerköpfen oder gar Ambossen ist praktisch allerdings gar nicht hörbar, da sie in einem zu hohen Frequenzbereich liegt. Die Schallgeschwindigkeit in Stahl beträgt ungefähr 5000 Meter pro Sekunde, und mit einer typischen Schmiedehammerkopflänge von 10 bis 16 Zentimetern ergeben sich mit Eigenfrequenzen zwischen 15 und 25 Kilohertz, was nicht in Verbindung mit einer Tonhöhe wahrgenommen werden kann.

Schwingende Saite mit der Länge l und der Spannkraft F.

Schließlich ist festzustellen, dass das Zuggewicht einer Saite mit der Länge weder proportional noch umgekehrt proportional zur Frequenz der Saitenschwingungen beziehungsweise zu der Tonhöhe ist. Vielmehr ist diese proportional zur Quadratwurzel des Zuggewichts . Im Übrigen ist die Tonhöhe umgekehrt proportional zur Länge und zur Dicke der Saite:

Erklärungsversuch[Bearbeiten]

Diese Widersprüche können ausgeräumt werden, wenn die folgenden Sachverhalte erwogen beziehungsweise berücksichtigt werden:

  • Pythagoras könnte den komplizierten und aufwendigen Bau des über 1000 Meter langen Tunnels von Eupalinos auf seiner Heimatinsel Samos mitverfolgt oder sogar begleitet haben.
  • Zu Lebzeiten des Pythagoras wurde das monumentale Heraion von Samos aus Kalkstein und Marmor gebaut.
  • Das lateinische Wort „faber“ muss nicht mit „Schmied“, sondern kann auch mit „Handwerker“ übersetzt werden.
  • Es gab damals sicherlich mehr Werkstätten und Handwerker zur Steinbearbeitung als zur Metallbearbeitung.
  • Das lateinische Wort "fabrica" bedeutet Werkstätte und nicht Schmiede.
  • Schmieden, in denen mindestens fünf Handwerker gleichzeitig schmieden konnten, dürften nur selten zu finden gewesen sein.
Vier pythagoreische Meißel mit den in harmonischen Längen- und Massen- und Eigenfrequenzverhältnissen 12:9:8:6
  • Bei Meißeln liegt die Tonhöhe im gut hörbaren Bereich.
  • Bei Meißeln ist die Tonhöhe der longitudinalen Schwingungen umgekehrt proportional zu deren Länge
  • Bei Meißeln gleicher Querschnittsfläche ist die Tonhöhe daher auch umgekehrt proportional zu deren Länge , zu deren Volumen , zu deren Masse und zu deren Gewicht .
  • Die Tonhöhe einer schwingenden Saite ist umgekehrt proportional zu deren Länge .
  • Die Tonhöhe einer schwingenden Saite ist umgekehrt proportional zu deren Dicke .

Die folgenden Klangbeispiele verdeutlichen die die Tonhöhen von fünf verschieden langen Metallstäben respektive Meißeln bei mechanischer Anregung entlang der Längsachse mit einem Schlag zum Beispiel durch einen Hammer. Die Metallstäbe haben alle die gleiche Querschnittsfläche, und die Längen sowie die Eigenfrequenzen und die Tonhöhen stehen im Verhältnis von 12 zu 9 zu zu 8 zu 6 Längeneinheiten.

Die Metallstäbe mit den ganzzahligen Längeneinheiten ergeben in allen Kombinationen harmonische Zusammenklänge, wohingegen der mittlere Metallstab mit allen anderen dissonant klingt.

Mit einigen entsprechenden und plausiblen Annahmen ergibt sich ein Szenario, das sich zu Pythagoras' Zeiten zugetragen haben könnte, ohne dass es zu Widersprüchen mit physikalischen Gesetzmäßigkeiten kommt:

Wenn die Geschehnisse der Überlieferung von Boethius, die weder Schmiede noch Ambosse erwähnt, in einer Werkstätte für Steinmetze stattgefunden haben und in dem Punkt der Benennung der Werkzeuge dahingehend ungenau war, dass nicht nur die Hämmer, sondern Ensembles aus Meißeln gleichen Querschnitts aber unterschiedlicher Länge und Hämmern gemeint waren, wären die Töne und Tonhöhen gut hörbar und den Meißeln zuzuschreiben gewesen. Unter dieser Voraussetzung wären die ganzzahligen Verhältnisse der Tonhöhen identisch mit denen der Längen oder Gewichte der Meißel und völlig unabhängig von den Handwerkern und den verwendeten Hämmern gewesen.

Zwei parallele Monochorde auf einem gemeinsamen Resonanzkasten im Deutschen Museum in München.

Beim Experimentieren mit einem Monochord und konstanter Saitenspannung und -beschaffenheit hätte Pythagoras bei einer bestimmten Saitendicke exakt die gleichen Verhältnisse zwischen Saitenlänge und Tonhöhe und bei einer bestimmten Saitenlänge exakt die gleichen Verhältnisse zwischen Saitendicke und Tonhöhe gefunden, wie zwischen Meißellänge respektive Meißelgewicht und Tonhöhe. Eine doppelt so lange Saite mit gleicher Dicke oder eine doppelt so dicke Saite mit gleicher Länge klingen also exakt eine Oktave tiefer, als die Saite mit der einfachen Dicke beziehungsweise Länge.

Die hierbei zu beobachtenden Verhältnisse mit den Produkten aus den beiden natürlichen Zahlen Zwei und Drei entsprechen den konsonanten Intervallen Oktave, Quinte, Quarte und Prim. In Bezug auf einen beliebigen Grundton ergeben die entsprechenden vier pythagoreischen Töne einen sogenannten Tetrachord.

Bei der weiteren Untersuchung dieser Verhältnisse ergab sich schließlich die diatonische Tonfolge aus den sieben Tönen A – B – C – D – E – F – G. Diese heptatonische Tonleiter bildet sowohl die die Grundlage für das antike Systema Téleion der Griechen, das sich in den Jahrhunderten nach Pythagoras herausbildete, als auch für die vier Hauptkirchentonarten Protus, Deuterus, Tritus und Tetrardus, die sich in den Jahrhunderten nach Boethius herausbildeten.

Die antiken Untersuchungen mit den Zuggewichten von Saiten mögen durchgeführt worden sein, sind jedoch für diese Erkenntnisse weder hinreichend noch erforderlich. Wird die Spannkraft der Saite verdoppelt, ergibt sich eine um den Faktor Quadratwurzel von zwei (≈ 1,4142) erhöhte Frequenz, die einem gemeinhin als dissonant empfundenen Tritonus-Intervall entspricht. Nichtsdestoweniger war auch diese irrationale Zahl sowohl den Pythagoreern als auch schon lange zuvor den Babyloniern bekannt.

Schlussbetrachtung[Bearbeiten]

Die Legende von Pythagoras in der Schmiede kann auf einer tatsächlichen Begebenheit beruhen. Unabhängig von der Frage, welche der hier beschriebenen Gesetzmäßigkeiten in der Antike tatsächlich untersucht und gefunden worden sind, sind bei den mittelalterlichen und neuzeitlichen Überlieferungen offensichtlich Ungenauigkeiten aufgetreten.

Ferner sind an der überlieferten Legende unhistorische Ergänzungen vorgenommen worden, die für die Interpretation der Überlieferung des Boethius jedoch nicht weiter berücksichtigt werden müssen. Nichtsdestoweniger haben Ungenauigkeiten bei den Überlieferungen und die praxisfernen Hinzufügungen und Änderungen sicherlich dazu beigetragen, dass auch die ältesten Berichte über Pythagoras' Untersuchungen von vielen Autoren - nach den obigen Ausführungen aber vielleicht völlig zu Unrecht - in das Reich der Legenden verbannt wurden.

Siehe auch[Bearbeiten]

→ Wikibook-Abschnitt Zahlen / Tonsysteme

Widmung[Bearbeiten]

Der Hauptautor dankt seinem Lehrer Lorenz Weinrich (*1929). Er hat ihn mit seiner fundierten Kenntnis des Mittelalters und des Gregorianischen Gesanges die mittelalterliche Kirchenmusik nahegebracht.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Markus Bautsch: Über die pythagoreischen Wurzeln der gregorianischen Modi, Mater Dolorosa Berlin-Lankwitz, März 2012
  2. X. Wie Pythagoras die Verhältnisse der Zusammenklänge untersucht hat, in: De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung, Boethius, nach Gottfried Friedlein, Leipzig, Teubner, 1867; ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz, 2009
  3. XI. Auf welche Weisen von Pythagoras die verschiedenen Verhältnisse der Zusammenklänge ausgemessen wurden., in: De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung, Boethius, nach Gottfried Friedlein, Leipzig, Teubner, 1867; ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz, 2009
  4. Kapitel XX. wie die Musik aus dem Klange der Hämmer erfunden worden sei, in: Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae / Kurze Abhandlung Guido's über die Regeln der musikalischen Kunst, ins Deutsche übersetzt von Michael Hermesdorff, Trier, 1876

Zusammenfassung des Projekts[Bearbeiten]

90% fertig „Pythagoras in der Schmiede“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 90% fertig

  • Zielgruppe: Musiker, Historiker, Naturwissenschaftler
  • Lernziele: Ganzrationale Verhältnisse anhand einer antiken Legende
  • Buchpatenschaft/Ansprechperson: Benutzer:Bautsch
  • Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion.
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