Quadriviale Kuriositäten

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Die Philosophie in der Mitte der sieben freien Künste in einer Darstellung um 1180 aus dem Hortus Deliciarum (zu deutsch: Garten der Köstlichkeiten) der elsässischen Benediktinerin Herrad von Landsberg.

Dieser Beitrag soll als Vermittlungsstelle zu interessanten Kuriositäten dienen, über die in verschiedenen Wikibooks nachgelesen werden kann.

Vorrede[Bearbeiten]

Neue Erkenntnis wird häufig durch die Verknüpfung und genauere Untersuchung von bereits bekannten Sachverhalten gewonnen. Hierbei erweist sich eine unvoreingenommene Kooperation zwischen verschiedenen Forschenden sehr oft als hilfreich. Besonders förderlich ist es hierbei, wenn Beteiligte aus verschiedenen Fachgebieten interdisziplinär zusammenarbeiten. Je mehr dieses ideale Prinzip angestrebt wird, desto weniger Einschränkungen drohen durch den Hemmschuh des Not-invented-here-Syndroms.

Vor diesem Hintergrund soll zunächst die Frage beantwortet werden, wofür das Attribut "quadrivial" steht. Das Adjektiv "quadrivial" steht zum Substantiv "Quadrivium" wie das Adjektiv "trivial" zum Substantiv "Trivium".

Die vier freien Künste des Quadriviums und die drei freien Künste des Triviums bilden zusammen die sieben freien Künste (lateinisch: septem artes liberales) des Mittelalters. Dieser Beitrag beschäftigt sich in erster Linie mit den vier freien Künsten des Quadriviums, namentlich mit der Arithmetik, der Astronomie, der Geometrie und der Musiktheorie. Insbesondere sei darauf hingewiesen, dass viele der hier aufgeführten Kuriositäten die Themenbereiche mehrerer dieser freien Künste berühren.

Kuriositäten[Bearbeiten]

Die Wörter Kuriosität oder Kuriosum sind vom lateinischen Wort curiositas abgeleitet, das Neugier bedeutet. Auch wenn Kuriositäten auf den ersten Blick oder für weniger vorgebildete Rezipienten oft nur absonderlich oder lustig erscheinen mögen, sind sie doch genauso häufig lehrreich und regen zu weiterführender Beschäftigung mit interessanten Themen an. Dabei spielt es selbstverständlich keine Rolle, ob diese Themen dann quadrivialer, trivialer oder philosophischer Natur sind...

Die hier aufgeführten Wikibook-Kapitel sollen die Neugier der Lesenden zunächst wecken. Möge der vorliegende Beitrag einen weiteren Dienst leisten und auch dabei helfen, diese Neugier zu befriedigen.

Nicht zuletzt sei erwähnt, dass Kuriositäten auch einen Unterhaltungswert haben können und es somit ermöglichen, die Freizeit sowohl lehrreich als auch kurzweilig zu gestalten.

Das Quadrivium[Bearbeiten]

Die vier mittelalterlichen freien Künste des Quadriviums
Name Lateinische
Bezeichnung
Thema Tätigkeit
Arithmetik Arithmetica Zahlen Rechnen
Astronomie Astronomia Himmelskörper Sehen
Geometrie Geometria Formen Zeichnen
Musik Musica Klänge Hören

Diese vier Fachgebiete werden im Buch 3 der Enzyklopädie Etymologiae von Isidor von Sevilla (* um 560; † 636) unter der Überschrift "Von den vier mathematischen Disziplinen" abgehandelt. Isidor von Sevilla übersetzt das altgriechische Wort "mathema" ("μάθημα") mit "das Gelernte" beziehungsweise mit "die Wissenschaft" im Sinne der Lehre. Mit seiner Systematik bezieht er sich explizit auf die Pythagoräer, die im 6. Jahrhundert vor Christus in Süditalien tätig waren.

Arithmetik[Bearbeiten]

Boethius (links) und Pythagoras (rechts) und zeigen in einer unhistorischen Szene unter den Augen der personifizierten Arithmetica, wie gerechnet werden kann. Während Boethius eine Rechenaufgabe unter Verwendung von Ziffern schon gelöst hat, ist Pythagoras mit Hilfe eines Abakus noch beim Zählen.

Die Arithmetik befasst sich im engeren Sinn mit ganzen Zahlen und den Grundrechenarten. Daraus abgeleitet ergeben sich dann auch die Bruchrechnung mit rationalen Zahlen und die Potenzrechnung sowie die Algebra zur rechnerischen Bestimmung von unbekannten Größen. Die Mengenlehre beschäftigt sich als vergleichsweise junges Teilgebiet der Mathematik mit unterscheidbaren Objekten respektive Elementen, die gezählt und somit numeriert werden können. Die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Beispiel für eine abzählbare Menge. Dadurch ergeben sich starke Bezüge zwischen der Mengenlehre und der Arithmetik.

Die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen oder gar die Quaternionen sowie die Vektor- und Tensor-Rechnung konnten aus der Arithmetik entwickelt werden, gehören aber selbst nicht mehr zu dieser Disziplin. Dennoch bleibt festzuhalten, dass sogar irrationale Zahlen, wie die Quadratwurzel der ganzen Zahl Zwei, bereits im Altertum bekannt waren. Nichtsdestoweniger wurden bereits in der Antike mangels tieferer Erkenntnisse verschiedene arithmetische Näherungen für die transzendente Kreiszahl π verwendet.

Demzufolge ist auch die höhere Mathematik mit der Differential- und Integralrechnung kein Teilgebiet der Arithmetik. Das gilt also ebenfalls für trigonometrische Funktionen, die in der Analysis als Lösung von Funktionalgleichungen definiert werden. Auch die Trigonometrie hatte allerdings bereits im Altertum als Teilgebiet der Geometrie ausgehend von der Betrachtung von Winkeln in ebenen Dreiecken Vorläufer in Form von diskreten gemessenen Funktionswerten, die in Form von Tabellen verwendet wurden.

In der folgenden Tabelle können die dort aufgeführten arithmetischen Kuriositäten nach den vier mittelalterlichen freien Künsten des Quadriviums sortiert und ausgewählt werden.

Arithmetische Kuriositäten zu den vier freien Künsten des Quadriviums
Wikibook Arithmetik Astronomie Geometrie Musik Bemerkungen
Zahlensymbolik X X X X Bedeutung von Zahlen in allen Disziplinen
Till Eulenspiegels lustige Serie X X X X Übertragung der arithmetisch-geometrischen Verteilung von Spektrallinien astronomischer Objekte auf Musik
Die Siebentagewoche X X X Eine besondere Zahl aus der geometrischen Beobachtung des Himmels
Astronomische Konjunktionen X X X Besondere zählbare Erkenntnisse bei der geometrischen Beobachtung des Himmels
Die vier Evangelistensymbole X X X Astronomische und geographische Bezüge zur Zahl Vier
Pythagoras in der Schmiede X X X Beobachtung von Zahlenverhältnissen und Abmessungen bei Klangerzeugern
Akustische Transmissionline X X X Funktion und Geometrie einer Schallröhre für die Wiedergabe von Klängen
Das Apfelmännchen X X Geometrische Darstellung von Zahlenfolgen
Stimmung von Musikinstrumenten X X Zahlenverhältnisse bei der Klangerzeugung
Tonsysteme X X Zahlenverhältnisse bei traditionellen Tonleitern

Siehe auch[Bearbeiten]

Astronomie[Bearbeiten]

Der zunehmende Mond und der rote Planet Mars (oben) im Goldenen Tor der Ekliptik zwischen dem V-förmigen Kopf des Sternbilds Stier (Taurus, links unten) mit dem Roten Riesen Aldebaran (α Tauri) als Hauptstern und dem offenen Sternhaufen der Plejaden (Siebengestirn) rechts.

Die Astronomie entspringt der unmittelbaren und alltäglichen Betrachtung des Himmels. Hierbei konnte mit bloßem Auge schon immer sieben Himmelskörper beobachtet werden, die sich entlang der Ekliptik in Bezug zum sich selber scheinbar ebenfalls bewegenden Fixsternhimmel um die Erde bewegen. Die sieben sich bewegenden Wandelgestirne hatten zu allen Zeiten und vermutlich in den meisten Völkern Eigennamen, und sie benennen noch heute unsere sieben Wochentage. Es handelt sich um die Sonne, den Mond und die fünf Planeten Merkur, Venus, Mars, Jupiter und Saturn.

Zur besseren Orientierung am Himmel und zur Wiedererkennung wurden auch besonders markante Sterne mit Namen versehen und benachbarte Sterne zu Sternkonstellationen oder Asterismen zusammengefasst. Die meisten dieser Bezeichnungen wurden im Altertum nur mündlich überliefert, aber auch heute finden wir in den Sternkatalogen immernoch viele alte Bezeichnungen, die auf die uralten arabischen, griechischen, chinesischen oder lateinischen Wurzeln zurückweisen.

Durch die systematische Beobachtung des Sternenhimmels im Laufe der Geschichte konnten Kalendersysteme aufgestellt und bestimmte Konstellationen am Himmel vorhergesagt werden, die häufig auch mit irdischen Ereignissen in Verbindung gebracht wurden. Zwischen den der Astronomie (altgriechisch ἄστρον und νόμος, zu deutsch: "Sterngesetz") und der Astrologie (altgriechisch ἄστρον und λόγος, zu deutsch "Sternlehre") wurde im Altertum und im Mittelalter und selbst noch während der Renaissance nicht unterschieden.

Die Astronomie hat in der Geschichte der Menschheit wesentlich zur Ausbildung eines arithmetischen und geometrischen Vorstellungsvermögens beigetragen. Heute kann wegen der unzähligen künstlichen Lichtquellen stark verschmutzte Nachthimmel nur noch in Lichtschutzgebieten in seiner vollen Sternenpracht bewundert werden.

In der folgenden Tabelle können die dort aufgeführten astronomischen Kuriositäten nach den vier mittelalterlichen freien Künsten des Quadriviums sortiert und ausgewählt werden.

Astronomische Kuriositäten zu den vier freien Künsten des Quadriviums
Wikibook Arithmetik Astronomie Geometrie Musik Bemerkungen
Zahlensymbolik X X X X Bedeutung von Zahlen in allen Disziplinen
Till Eulenspiegels lustige Serie X X X X Übertragung der arithmetisch-geometrischen Verteilung von Spektrallinien astronomischer Objekte auf Musik
Die Siebentagewoche X X X Eine besondere Zahl aus der geometrischen Beobachtung des Himmels
Astronomische Konjunktionen X X X Besondere zählbare Erkenntnisse bei der geometrischen Beobachtung des Himmels
Das Mirakelkreuz zu Elspe X X Geometrische Messungen an astronomischen Objekten
Die Himmelstafel von Tal-Qadi X X Astronomische Interpretation geometrisch angeordneter Symbole
Die vier Evangelistensymbole X X X Astronomische und geographische Bezüge zur Zahl Vier
Das Belchen-System X X Astronomische Interpretation der geographischen Anordnung von Bergen
Der Stern von Bethlehem X X Besondere geometrische Beobachtungen in der Astronomie

Siehe auch[Bearbeiten]

Geometrie[Bearbeiten]

Der erste Kartendruck des Abendlandes in der Etymologiae von Günther Zainer von 1472 mit der den Kontinenten Asien, Europa und Afrika. Die vier Himmelsrichtungen sind wie folgt angegeben: Oriens = Osten (oben), Meridies = Süden (rechts), Occidens = Westen (unten), Septentrio = Norden (links).

Die euklidische Geometrie beschäftigt sich mit Punkten und Linien sowie mit von Linien begrenzten Flächen in der Ebene und mit von ebenen Oberflächen begrenzten Körpern im Raum. In der Geometrie werden Winkel, Längen, Abstände sowie Flächen- und Volumeninhalte bestimmt.

Der Satz des Pythagoras ist ein fundamentaler Satz der euklidischen Geometrie. Er dürfte an Bekanntheit kaum von einem anderen Satz in der Mathematik erreicht werden. Ausgehend von den Betrachtungen der Winkel in rechtwinkligen Dreiecken wurde die Trigonometrie entwickelt.

Zahllose Aufgaben der Geometrie beschäftigen sich mit der Konstruktion von geometrischen Objekten mit Hilfe eines Lineals und eines Zirkels. Die Strahlenoptik basiert auf der geometrischen Untersuchung und Beschreibung von Lichtstrahlen. Dies führte unmittelbar zum Reflexionsgesetz und letztlich auch zum Brechungsgesetz.

Komplizierter wird es beispielsweise in der sphärischen Geometrie, bei der die Geometrie auf der Kugel untersucht und beschrieben wird. Die Linien und Flächen sind hierbei gekrümmt und liegen also nicht in einer Ebene.

Zur Geometrie gehören nicht nur Aspekte der Winkel- und Richtungsmessung am Himmel, sondern auch auf der Erde. Daher sind bei dieser freien Kunst auch geographische Themengebiete eingeschlossen.

Zu den besonderen Körpern zählen die fünf platonischen Körper, deren ebene Oberflächen aus gleichgroßen und gleichseitigen Flächen gebildet werden:

Tetraeder aus vier Dreiecken Hexaeder aus sechs Quadraten Oktaeder aus acht Dreiecken Dodekaeder aus zwölf Fünfecken Ikosaeder aus zwanzig Dreiecken
120px-Tetrahedron-slowturn.gif 120px-Hexahedron-slowturn.gif 120px-Octahedron-slowturn.gif 120px-Dodecahedron-slowturn.gif 120px-Icosahedron-slowturn.gif

In der folgenden Tabelle können die dort aufgeführten geometrischen Kuriositäten nach den vier mittelalterlichen freien Künsten des Quadriviums sortiert und ausgewählt werden.

Geometrische Kuriositäten zu den vier freien Künsten des Quadriviums
Wikibook Arithmetik Astronomie Geometrie Musik Bemerkungen
Zahlensymbolik X X X X Bedeutung von Zahlen in allen Disziplinen
Till Eulenspiegels lustige Serie X X X X Übertragung der arithmetisch-geometrischen Verteilung von Spektrallinien astronomischer Objekte auf Musik
Die Siebentagewoche X X X Eine besondere Zahl aus der geometrischen Beobachtung des Himmels
Astronomische Konjunktionen X X X Besondere zählbare Erkenntnisse bei der geometrischen Beobachtung des Himmels
Pythagoras in der Schmiede X X X Beobachtung von Zahlenverhältnissen und Abmessungen bei Klangerzeugern
Akustische Transmissionline X X X Funktion und Geometrie einer Schallröhre für die Wiedergabe von Klängen
Das Apfelmännchen X X Geometrische Darstellung von Zahlenfolgen
Das Mirakelkreuz zu Elspe X X Geometrische Messungen an astronomischen Objekten
Die Himmelstafel von Tal-Qadi X X Astronomische Interpretation geometrisch angeordneter Symbole
Die vier Evangelistensymbole X X X Astronomische und geographische Bezüge zur Zahl Vier
Das Belchen-System X X Astronomische Interpretation der geographischen Anordnung von Bergen
Der Stern von Bethlehem X X Besondere geometrische Beobachtungen in der Astronomie
Hybridlied X X Übertragung geometrischer Verhältnisse auf Klänge

Siehe auch[Bearbeiten]

Musik[Bearbeiten]

Darstellung der Guidonischen Hand aus dem 13. Jahrhundert als Hilfsmittel zur Orientierung im mittelalterlichen Tonsystem.

Hier geht es nicht um das musikalische Praktizieren, sondern um Musiktheorie. Der mittelalterliche Benediktinermönch Guido von Arrezzo (* um 992; † 1050), der Verfasser des um 1025 entstandenen Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae, hat diesen Unterschied in einem lateinischsprachigen Reim einmal folgendermaßen auf den Punkt gebracht:

Musicorum et cantorum magna est distantia.
Isti dicunt, illi sciunt, quae componit musica.

Frei ins Deutsche übertragen:

Der Unterschied zwischen Musiktheoretikern und Sängern ist groß.
Letztere äußern, erstere wissen, was Musik ausmacht.

Dass konsonante Klänge mit ganzzahligen - also arithmetisch beschreibbaren - Verhältnissen bei Schwingungen im Zusammenhang stehen, und dass solche Konsonanzen akustisch als harmonisch wahrgenommen und empfunden werden, war bereits in der Antike bekannt.

In der folgenden Tabelle können die dort aufgeführten musikalischen Kuriositäten nach den vier mittelalterlichen freien Künsten des Quadriviums sortiert und ausgewählt werden.

Musikalische Kuriositäten zu den vier freien Künsten des Quadriviums
Wikibook Arithmetik Astronomie Geometrie Musik Bemerkungen
Zahlensymbolik X X X X Bedeutung von Zahlen in allen Disziplinen
Till Eulenspiegels lustige Serie X X X X Übertragung der arithmetisch-geometrischen Verteilung von Spektrallinien astronomischer Objekte auf Musik
Pythagoras in der Schmiede X X X Beobachtung von Zahlenverhältnissen und Abmessungen bei Klangerzeugern
Akustische Transmissionline X X X Funktion und Geometrie einer Schallröhre für die Wiedergabe von Klängen
Stimmung von Musikinstrumenten X X Zahlenverhältnisse bei der Klangerzeugung
Tonsysteme X X Zahlenverhältnisse bei traditionellen Tonleitern
Hybridlied X X Übertragung geometrischer Verhältnisse auf Klänge

Siehe auch[Bearbeiten]

Das Trivium[Bearbeiten]

Zur Vervollständigung werden in der folgenden Tabelle auch noch die drei freien Künste des Triviums aufgeführt:

Die drei mittelalterlichen freien Künste des Triviums
Name Lateinische
Bezeichnung
Thema Tätigkeit
Dialektik Dialectica Diskurs Argumentieren
Grammatik Grammatica Textform Formulieren
Rhetorik Rhetorica Redekunst Überzeugen

Die Grammatik wird in Buch 1 und die Dialektik sowie die Rhetorik werden in Buch 2 der oben genannten Enzyklopädie Etymologiae von Isidor von Sevilla behandelt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Zusammenfassung des Projekts[Bearbeiten]

Dieses Projekt wird hoffentlich nie fertig.

  • Zielgruppe: Interessierte und Wissbegierige
  • Lernziele: Erkennen fachübergreifender Aspekte in der Arithmetik, Astronomie, Geometrie und Musik
  • Buchpatenschaft/Ansprechperson: Benutzer:Bautsch
  • Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern und Ergänzungen direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion.
  • Richtlinien für Co-Autoren: Wikimedia-like.