Das Mehrkörperproblem in der Astronomie
Dieses Buch steht im Regal Astronomie.
- Vektoren und Skalare
- Mittlere und momentane Geschwindigkeit
- Mittlere und momentane Beschleunigung
- Das Newtonsche Kraftgesetz
- Das Newtonsche Gravitationsgesetz
- Energieerhaltung
- Ruck
- Euler-Verfahren
- Zwischenschritt-Verfahren: Leapfrog und Runge-Kutta
- Prädiktor-Korrektor-Verfahren: Leapfrog und Hermite-Polynome
- Mehrschrittverfahren
- Tests
- Problematik des Rechenaufwands
- Zeitliche Hierarchie
- Räumliche Hierarchie
- Quasikontinuierliche Massenverteilung (für Fortgeschrittene)
Zusammenfassung des Projekts
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„Das Mehrkörperproblem in der Astronomie“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 100 % fertig
Zielgruppe: Schüler ab der 10.Klasse, aber auch Studenten und generell an der Astronomie Interessierte, denen Grundbegriffe der Mechanik wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Arbeit bekannt sind. Diese werden im Buch zwar skizziert, sollten dem Leser aber nicht völlig fremd sein.
Lernziele: Das Buch soll den Leser befähigen, selbst einfache, aber dennoch realitätsnahe Simulationen von Mehrkörpersystemen durchzuführen. Zudem soll es ihn mit aktuellen, auf solchen Simulationen beruhenden Forschungsergebnissen in der Astronomie vertraut machen.
Buchpatenschaft/Ansprechperson: Benutzer:Michael Oestreicher
Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Das Manuskript für das Buch ist jetzt abgeschlossen, doch will ich es erst zu Beginn des nächsten Jahres veröffentlichen, um noch Zeit für Korrekturen und sonstige Anregungen zu lassen, wofür ich weiterhin dankbar bin. Wichtig ist mir vor allem, ob mein Anliegen einer verständlichen Darstellung erreicht ist.
Richtlinien für Co-Autoren: Ich lade nochmals alle Leser von Wikibooks zu einer kritischen Prüfung des Buches ein. Änderungswünsche sollten mir weiterhin auf der Diskussionsseite mitgeteilt werden, ich werde sie dann wie bisher selbst einpflegen.
Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Viele Bücher über Astronomie widmen sich vor allem dem Beobachten. Auch in dieser Wissenschaft spielen jedoch neben Messungen Computersimulationen eine immer bedeutendere Rolle. Das Buch soll eine spezielle Art solcher Simulationen, nämlich von aus vielen Einzelmassen bestehenden Systemen, näher beleuchten.
Themenbeschreibung: Siehe Inhaltsverzeichnis
Aufbau des Buches: Der Haupttext jedes Kapitels ist ohne höhere Mathematik für Schüler und Interessierte gestaltet. Dazwischen sind für Studenten und Fortgeschrittene an geeigneter Stelle jeweils kleinere durch blaue Kästen markierte Passagen eingestreut, welche die im Haupttext angesprochenen Themen vertiefen. Zum Verständnis dieser Passagen sind Kenntnisse der Algebra, Integral- und Differentialrechnung zumindest auf Abiturniveau erforderlich. Die Kernaussagen des Buches können aber auch ohne diese speziellen ergänzenden Abschnitte erfasst werden, so dass diese ohne Weiteres übersprungen werden können. Für an der Programmierung von Mehrkörpersimulationen Interessierte werden entsprechende C-Routinen in zusätzlichen Abschnitten erläutert.
Das einleitende Kapitel gibt einen Überblick über die enorme Vielfalt an astronomischen Mehrkörpersystemen, die sich über viele Größenordnungen von Mehrfachsternen bis hin zu Galaxiensuperhaufen erstreckt. Das zweite Kapitel legt die für die Simulation solcher Systeme erforderlichen physikalischen Grundlagen. Neben den auch im Alltag häufig anzutreffenden Größen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Energie wird auch der Ruck (die Änderung der Beschleunigung mit der Zeit) vorgestellt, welcher für die Behandlung bestimmter Aspekte des Mehrkörperproblems ebenfalls unentbehrlich ist. Nahezu alle hier vorgestellten Zusammenhänge erschließen sich ohne höhere Mathematik. Die Formel, welche den von zwei Massen aufgrund der Schwerkraft wechsekseitig ausgeübten Ruck angibt, kann aber nur mittels der Methoden der Differentialrechnung abgeleitet werden.
Die Hauptaufgabe eines jeden Mehrkörperproblems besteht darin, die unter dem Einfluss der Gravitation sich ergebenden Bewegungen der einzelnen Mitglieder des Ensembles vorherzusagen. Die Grundidee besteht in der Annahme, dass über einen sehr kurzen Zeitraum betrachtet die auf die Körper einwirkenden Kräfte als konstant betrachtet werden dürfen, um daraus die nach Ablauf dieser Zeitspanne zu erwartenden neuen Positionen und Geschwindigkeiten zu berechnen. Für diese Konstellation gestattet eine neue Kräfteberechnung wiederum eine weitere Prognose usw. Kapitel 3 stellt unterschiedliche Realisierungen und Erweiterung dieser Idee vor und bewertet diese anhand einfacher Beispiele hinsichtlich ihrer Genauigkeit. All diese Verfahren können ohne Integral- und Differentialrechnung entwickelt werden.
Himmelskörper haben selbstverständlich eine gewisse Ausdehnung, was bei Mehrkörpersimulationen aber oft vernachlässigt wird. Als verschwindend kleine Punkte betrachtet, können zwei Massen im Laufe einer solchen Simulation jedoch sich beliebig nahe kommen und dann extrem hohe Kräfte aufeinander ausüben, wie sie in der Natur tatsächlich nie auftreten. Wie dieses Problem umgangen werden kann, ist Gegenstand des 4.Kapitels. Die dazu erforderlichen Verfahren können - sofern auf eine bestmögliche Rechengenauigkeit verzichtet wird - ohne tiefergehende Mathematikkenntnisse nachvollzogen werden. Lösungsformeln maximaler Genauigkeit können jedoch nur mittels höherer Mathematik gewonnen werden. Der letzte Abschnitt des letzten Unterkapitels wendet sich gänzlich an fortgeschrittene Leser.
Eine weitere Erschwernis für Mehrkörpersimulationen erwächst aus dem Rechenaufwand. An und für sich muss man, um alle Kräfte zu erfassen, alle im Ensemble möglichen Paare von Individuen betrachten. Damit aber steigt der Rechenaufwand quadratisch mit der Anzahl der Mitglieder. Wie in Kapitel 5 gezeigt wird, lässt sich dies unter Inkaufnahme kleiner Fehler bei der Kräfteberechnung vermeiden, indem man nur die in unmittelbarer Umgebung eines Körpers sich befindlichen Nachbarn einzeln berücksichtigt, weiter entfernte Mitglieder hingegen zu Gruppenschwerpunkten zusammenfasst. Die entsprechenden Algorithmen erfordern zum Teil eine umfangreiche Beschreibung, kommen aber dennoch mit wenig Mathematik aus. Das letzte Unterkapitel, das einen völlig anderen Weg zur Verringerung des Rechenaufwands aufzeigt, erfordert jedoch fortgeschrittene Mathematikkenntnisse.
Der Praxisteil wird mit einem Unterkapitel über das Planetensystem eröffnet, wobei die Störungen, welche die Planeten aufeinander und auf Asteroiden ausüben, im Mittelpunkt stehen. Es kommt über weite Strecken ohne mathematische Passagen aus, und auch die Abschnittee über die Bestimmung der Bahnelemente und Analyse (quasi)periodischer Bewegungen erfordern keine höhere Mathematik. Tiefe Mathematikkentnisse verlangt der letzte Abschnitt über das gestörte Kepler-Problem. Alle vorgestellten Simulationen können ohne großen Aufwand auf einem Laptop nachvollzogen werden.
Das zweite Unterkapitel über Sternhaufen ist mathematisch anspruchsvoller, da die Anfangsbedingungen einer entsprechenden Simulation mit einer Vielzahl von Individuen nicht händisch festgelegt werden, sondern zufällig im Rahmen bestimmter eizuhaltender Gesetzmäßigkeiten. Einen wesentlichen Aspekt stellt der Vergleich eines Sternhaufens mit einem Gas dar, weshalb Grundkenntnisse der Thermodynamik (Wärmelehre) zum Verständnis sehr nützlich sind. Abgesehen von einem Einschub über die mathematische Beschreibung von Dreierstößen sind jedoch keine Kenntnisse der Integral- und Differentialrechnung vonnöten. Auch hier reicht ein Laptop aus, um Modelle nach Art der diskutierten Beispiele zu implementieren.
Das nächste Unterkapitel widmet sich Galaxien, wobei die im Vergleich zu Sternhaufen noch schwierigere Festlegung der Anfangsbedingungen den Hauptteil ausmacht. Wiederholt sind mathematische Passagen erforderlich, die aber allesamt noch ohne Integral- und Differentialrechnung auskommen. Um auch mit der vergleichsweise bescheidenen Rechenkapazität eines Laptops Simulationen isolierter Galaxien zu ermöglichen, wird ein stark vereinfachtes Modell entwickelt, in welchem die von der dunklen Materie ausgehende Kraft als statisch betrachtet wird. Auf die Vorführung einer Galaxienkollision mit einem Laptop muss aber verzichtet werden.
Der Praxisteil schließt mit einer Betrachtung kosmischer Großstrukturen, wobei man mehrfach auf mathematische Abschnitte stößt. Die Definition des Anfangszustands einer solchen Simulation ist abermals sehr anspruchsvoll und erfordert eine detaillierte Diskussion der Frühgeschichte und Ausdehnung des Universums. Letztere spielt auch bei fortlaufender Simulation eine fundamentale Rolle. Entspechend der Komplexität des Themas existieren neben der allgemeinen Beschreibung mehrere Einschübe, welche substantielle Kentnisse der Integral- und Differentialrechnung voraussetzen. Die Entstehung von so unterschiedlich großen Strukturen von Zwerggalaxien bis herauf zu Galaxiensuperhaufen kann wegen des gewaltigen Rechenaufwands nicht auf einem Laptop dargestellt werden.
Im letzten Kapitel des Buches werden wichtige C-Prozeduren, welche in Mehrkörpersimulationen bei jedem Schritt immer wieder aufgerufen werden, nochmals zusammengefasst.