Das Mehrkörperproblem in der Astronomie/ Grundlagen/ Mittlere und momentane Geschwindigkeit

Definition

Um die Bahnen der einzelnen Mitglieder eines Sternsystems vorhersagen zu können, braucht man ein Verfahren, das deren momentane Geschwindigkeiten $v(t)$ zu jedem Zeitpunkt $t$ liefert (es soll zunächst nur vom Betrag der Geschwindigkeit die Rede sein). Tatsächlich messen kann man jedoch nur die mittlere Geschwindigkeit $<v>$, welche sich auf die in einem gewissen Zeitraum $\mathrm{\Delta }t$ zurückgelegte Strecke $\mathrm{\Delta }r$ bezieht.

$<v>=\frac{\mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }t}$

Kommt man z.B. mit dem Auto in 2 Stunden 200 km weit, so beträgt die mittlere Geschwindigkeit 200 km / 2 h = 100 km/h. Dem Ideal der momentanen Geschwindigkeit kann man aber zumindest nahe kommen, indem man den durch die Messung überspannten Zeitraum sehr klein macht. Dies geschieht z.B. durch den Tachometer, welcher die Drehzahl (und damit mit Hilfe des Abrollumfangs der Räder die gefahrene Strecke) auf einer Zeitskala von Zehntelsekunden erfasst (gemessen wird dabei allein der Betrag der Geschwindigkeit, nicht jedoch deren Richtung).

Zurückgelegte Strecke als Fläche unter der Kurve momentane Geschwindigkeit gegen die Zeit

Bei einer für jeden beliebigen Zeitpunkt $t$ bekannten momentanen Geschwindigkeit $v(t)$ lässt sich die während eines bestimmten Zeitraums zurückgelegte Strecke bestimmen, indem man $v(t)$ gegen $t$ aufträgt und die Fläche unter der entsprechenden Kurve ermittelt. Bei konstanter Geschwindigkeit $v$ ist diese Fläche ein Rechteck entsprechend der bekannten Regel Strecke = Geschwindigkeit ∙Zeit.

$\mathrm{\Delta }r=v\mathrm{\Delta }t$

Für eine Mehrkörpersimulation müssen Positionen und Geschwindigkeiten wie zu Beginn dieses Kapitels diskutiert natürlich als Vektoren betrachtet werden. Man erhält den mittleren Geschwindigkeitsvektor, indem man für jede Komponente des Ortsvektors deren Änderung mit der Zeit betrachtet:

$\left(\begin{array}{c}<v_x>\\ <v_y>\\ <v_z>\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x/\mathrm{\Delta }t\\ \mathrm{\Delta }y/\mathrm{\Delta }t\\ \mathrm{\Delta }z/\mathrm{\Delta }t\end{array}\right)$

Bei konstantem Geschwindigkeitsvektor gilt wiederum für die Änderung des Ortsvektors während einer bestimmten Zeit:

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }x\\ \mathrm{\Delta }y\\ \mathrm{\Delta }z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_x\mathrm{\Delta }t\\ v_y\mathrm{\Delta }t\\ v_z\mathrm{\Delta }t\end{array}\right)$

Einschub für Fortgeschrittene: Definition der Geschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit $<\overrightarrow{v}>$ folgt aus der während eines Zeitraums $\mathrm{\Delta }t$ zurückgelegten Strecke $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ gemäß:

$<\overrightarrow{v}>=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$

Je kleiner man $\mathrm{\Delta }t$ wählt, umso besser stimmt die mittlere Geschwindigkeit $<\overrightarrow{v}>$ mit der momentanen Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}(t)$ überein. Im Grenzfall $\mathrm{\Delta }t\to 0$ gehen die beiden Geschwindigkeiten ineinander über.

$\overrightarrow{v}(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}$

Aus dieser Definition von $\overrightarrow{v}(t)$ als Grenzwert von $<\overrightarrow{v}>$ folgt, dass die momentane Geschwindigkeit durch die erste Zeitableitung der Strecke gegeben ist.

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

Umgekehrt gewinnt man die während eines endlichen Zeitraums $[t,t+\mathrm{\Delta }t]$ bewältige Distanz $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ durch Integration über $\overrightarrow{v}(t)$.

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\int }_t^{t+\mathrm{\Delta }t}\overrightarrow{v}(\tau )d\tau$

Durch Division mit $\mathrm{\Delta }t$ erhält man den exakten Zusammenhang zwischen momentaner und mittlerer Geschwindigkeit.

$<\overrightarrow{v}>=\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}{\int }_t^{t+\mathrm{\Delta }t}\overrightarrow{v}(\tau )d\tau$