Quantenmechanik/ Einführung

Notation

In der Quantenmechanik werden viele, leicht unterschiedliche Notationen verwendet. In diesem Buch soll die folgende Notation Anwendung finden:

Dirac-Notation (abstrakte Darstellung):

• Allgemeine Abhängigkeit eines Zustandes von einem Parameter:

  $\vert \psi {,}t\rangle \qquad {\text{nicht}}\qquad \vert \psi (t)\rangle$

• Das benutzte quantentheoretische Bild wird durch einen Index an Zustand und Operator angegeben:

  $\vert \psi {,}t\rangle _{X}\qquad {\text{bzw.}}\qquad \mathbf {{\hat {A}}_{X}} \qquad {\text{mit}}\qquad X=S\left({\text{Schroedinger}}\right){,}\ H\left({\text{Heisenberg}}\right){,}\ I\left({\text{Dirac}}\right)$

• Darstellung eines Operators in einer bestimmten Basis $\vert x\rangle$:

  $\langle x\vert \psi {,}t\rangle =\psi \left(x{,}t\right)\qquad {\text{bzw.}}\qquad \langle p\vert \psi {,}t\rangle =\psi \left(p{,}t\right)$

Die von Paul A. M. Dirac 1930 eingeführte Bra-Ket Notation vereinfacht die Darstellung eines Zustandes eines Systems sehr. Durch einen Ket $\vert \psi \rangle$ wird ein Zustand eines Systems beschrieben. Ein Zustand kann zum Beispiel die Grundschwingung eines harmonischen Oszillators sein. Diesem wird ein Symbol $\vert \psi \rangle$ zugewiesen. Vorteil dieser Notation ist, dass man sich mit diesem Symbol, auf kein Koordinatensystem festlegt. Der Ket $\vert \psi \rangle$ ist das Symbol einer Funktion bzw. eines Zustandes. Erst die Projektion eines Kets auf einen Bra $\langle \phi \vert$ legt ein Koordinatensystem fest. Unter Projektion versteht man ein Produkt eines Bras mit einem Ket $\langle \phi \vert \psi \rangle$. Dieses Produkt entspricht dem verallgemeinerten Skalarprodukt für Funktionen: $\langle \phi \vert \psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\phi ^{\ast }\psi \ dx$. Wobei $\phi ^{\ast }$ das konjugiert Komplexe von $\,\phi$ ist. Analog bedeutet $\left(\vert \psi \rangle \right)^{\ast }=\langle \psi \vert$. Ein Bra ist also das konjugiert Komplexe eines Kets.

Eine Funktion $\,\psi (x)$ entspräche also in der Dirac-Schreibweise: $\psi (x)=\langle x\vert \psi \rangle$. Ist ein Zustand nun abhängig von einem bestimmten Parameter, z.B. der Zeit $t$, schreibt man: $\vert \psi {,}t\rangle$. Der zeitabhängige Zustand in x-Koordinaten sähe nun wie folgt aus: $\psi (x{,}t)=\langle x\vert \psi {,}t\rangle$.

Geschichtliches

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts glaubten die Physiker, die Physik sei im Wesentlichen abgeschlossen. Die Physiker hatten zwei große Theorien, die Mechanik und die Elektrodynamik und die etwas dazwischen angesiedelte Theorie der Thermodynamik. Die Wechselwirkungen zwischen Materie und Strahlung wurden mithilfe des Lorentzschen Kraftgesetzes erklärt.

Zwar gab es einige ungeklärte Punkte, einige nicht erklärbare Beobachtungen, doch man gewöhnte sich langsam daran, sie zu ignorieren.

Diese Punkte waren:

• Es gab kein Gesetz, welches das Energiespektrum des schwarzen Strahlers zutreffend beschrieb.

• Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern und Gasen konnte nicht erklärt werden.

• Es gab Widersprüche bei der Interpretation der Maxwellschen Gleichungen, und

• der negative Ausgang des Michelson-Morley-Versuchs (1887) war unverständlich.

Und genau aus diesen scheinbar „letzten Problemen der Physik“ heraus entstand fast das gesamte neue physikalische Weltbild.

Die beiden letztgenannten Probleme wurden von A. EINSTEIN durch die Spezielle Relativitätstheorie (1905) gelöst. Die übrigen Probleme wurden nach und nach durch die ebenso revolutionären Vorstellungen der Quantenmechanik behoben.

Für das erste Problem fand Max Planck eine Lösung, indem er seine Theorie von der Quantisierung der Energie aufstellte. Die Energie einer elektromagnetischen Welle ist eine ganzzahlige Vielfache von $hf$, wobei h eine neue Konstante darstellt. Einstein verallgemeinerte diese Theorie zu einer Teilchentheorie des Lichts mit Photonen (siehe Der Photoeffekt), welche alle die Energie $hf$ besitzen. Allerdings verhält sich Licht sowohl wie Wellen, als auch wie Teilchen, also ein Welle-Teilchen-Dualismus.

Die ersten Probleme waren also bereits gelöst, allerdings waren die Lösungen einerseits schwer mit den vorhanden Theorien in Einklang zu bringen, anderseits sah man nun auf welchen wackeligen Füßen die bisherigen Theorien standen.

Den nächsten Knacks erlitten die etablierten Theorien bereits 1911 als Ernest Rutherford seinen Streuversuch durchführte und dabei feststellte, dass das Atom zum größten Teil leer ist und nur einen kleinen positiv geladenen Kern besitzt, welcher von einer Elektronenhülle umkreist wird. Das Problem war, dass die Elektronen nach der klassischen Elektrodynamik kontinuierlich Energie abstrahlen sollten und Atome nicht stabil wären, also in Sekundenbruchteilen zusammenfallen müssten. Zusammen mit den Untersuchungen der Emissions- und Absorptionsspektren der Atome, welche bis dahin noch nicht gelöst waren und welche gegen eine kontinuierliche Energieabgabe der Elektronen sprachen, entwickelte Bohr daraus sein Atommodell mit quantisierten Elektronenbahnen. Jede dieser Erklärungen konnte jedoch nur einen Teilbereich der Quantenmechanik erklären und sie standen noch nicht auf einem gemeinsamen theoretischen Unterbau.

Dies änderte sich 1923 als de Broglie seine Theorie über den Wellencharakter von Teilchen aufstellte, welche allerdings noch keine eindeutigen Vorhersagen ermöglichte und wenig später (1925) Schrödinger und Heisenberg ihre beiden äquivalenten Formulierungen der Quantenmechanik herausgaben.

Im Folgenden werden zunächst die für die Quantenphysik grundlegenden Phänomene besprochen.