Quantenmechanik

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Nuvola apps bookcase 1.svg Band 12 des Werkes Einführung in die Theoretische Physik – Ein Lehrbuch in mehreren Bänden

50% fertig „Quantenmechanik“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 50% fertig

PDF Es ist eine PDF-Version dieses Buches vorhanden.

Attention green.svg

Info
Noch kein PDF neuer als 2014.

Einführung[Bearbeiten]

Notation[Bearbeiten]

In der Quantenmechanik werden viele, leicht unterschiedliche Notationen verwendet. In diesem Buch soll die folgende Notation Anwendung finden:

ist die komplex-Konjugierte der komplexen Zahl
ist die Transponierte der Matrix
ist der hermitesch adjungierte Operator zum Operator
Spezialfall adjungierte Matrix: .

Dirac-Notation (abstrakte Darstellung):

  • Allgemeine Abhängigkeit eines Zustandes von einem Parameter:

  • Das benutzte quantentheoretische Bild wird durch einen Index an Zustand und Operator angegeben:

  • Darstellung eines Operators in einer bestimmten Basis :

Erklärung zur Notation[Bearbeiten]

Ein Objekt mit der Notation |a,b,c...> wurde von Dirac ein 'ket' genannt. Die kets sind Elemente eines möglicherweise hochdimensionalen Vektorraums. Ein ket hat mehr oder weniger Attribute, welche Eigenwerte sind von linearen Abbildungen, genannt Operatoren. Das ket ist also ein Eigenvektor zu diesen Operatoren. Allem was physikalisch messbar ist wird im Quantenmodell ein Operator zugeordnet. Dessen Eigenwertspektrum ist die Menge der experimentell messbaren Werte. Ein Spektrum hat diskrete und/oder kontinuierliche Wertebereiche. Ein Vektorraum ist nur dann sympathisch für die Physik (die Mathematik kann machen was sie will) wenn es darauf ein positiv-definites Skalarprodukt gibt. Konkret steht jedes ket auch in einer dualen Version, 'bra' genannt, zur Verfügung. Zum Beispiel <u,v,w...|. Die (fast) bilineare Paarung eines bra und ket produziert dann eine komplexe Zahl <u,v,w...|a,b,c...>.

Aus Gründen, die später klar werden, braucht die Quantentheorie unbedingt komplexe Zahlen und Vektorräume darüber. Um die Norm des Vektors, das heißt seine Länge, die Wurzel des Skalarprodukts mit sich selbst, stets wohldefiniert zu halten, braucht es einen Trick: <bra|ket> ist antilinear im ersten Argument, das heißt, Zahlenfaktoren werden da komplex konjugiert herausgezogen. Nur im zweiten Argument ist das Produkt linear. Eine solche Abbildung heißt sesquilinear, weil nicht wirklich streng bilinear.

Beispiel, die Schrödingerwellen auf der x-Achse. Jede Position x ist ein Eigenwert des X-Operators, der also ein kontinuierliches Spektrum hat. Eigenvektor |x> ist die Deltafunktion am Ort x. Die Menge aller |x> bilden eine orthonormierte kontinuierliche Basis des Hilbertraums. (Ersparen wir uns pingelige fundamental-mathematische Kritik). Also kann ein beliebiger Vektor , der zu beliebigem anderen Zeug ein Eigenvektor sei, in dieser Basis entwickelt werden. Integral ersetzt Summe: . Im Schrödinger-Bild ist ganz einfach der Funktionswert.

Die Gleichung: besagt, dass die Basis der Positions-Eigenvektoren ein Orthonormalsystem bildet.

Geschichtliches[Bearbeiten]

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts glaubten die Physiker, die Physik sei im Wesentlichen abgeschlossen. Die Physiker hatten zwei große Theorien, die Mechanik und die Elektrodynamik und die etwas dazwischen angesiedelte Theorie der Thermodynamik. Die Wechselwirkungen zwischen Materie und Strahlung wurden mithilfe des Lorentzschen Kraftgesetzes erklärt.

Zwar gab es einige ungeklärte Punkte, einige nicht erklärbare Beobachtungen, doch man gewöhnte sich langsam daran, sie zu ignorieren.

Diese Punkte waren:

  • Es gab kein Gesetz, welches das Energiespektrum des schwarzen Strahlers zutreffend beschrieb.
  • Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern und Gasen konnte nicht erklärt werden.
  • Es gab Widersprüche bei der Interpretation der Maxwellschen Gleichungen, und
  • der negative Ausgang des Michelson-Morley-Versuchs (1887) war unverständlich.

Und genau aus diesen scheinbar "letzten Problemen der Physik" heraus entstand fast das gesamte neue physikalische Weltbild.

Die beiden letztgenannten Probleme wurden von A. EINSTEIN durch die Spezielle Relativitätstheorie (1905) gelöst. Die übrigen Probleme wurden nach und nach durch die ebenso revolutionären Vorstellungen der Quantenmechanik behoben.

Für das erste Problem fand Max Planck eine Lösung, indem er seine Theorie von der Quantisierung der Energie aufstellte. Die Energie einer elektromagnetischen Welle ist eine ganzzahlige Vielfache von , wobei h eine neue Konstante darstellt. Einstein verallgemeinerte diese Theorie zu einer Teilchentheorie des Lichts mit Photonen (siehe Der Photoeffekt), welche alle die Energie besitzen. Ein Lichtstrahl ist gemäß dieser Theorie ein Strom von Lichtteilchen. Allerdings zeigt Licht gleichzeitig Wellenverhalten, wie in der klassischen Elektrodynamik beschrieben. Diese Doppelnatur des Lichts bezeichnet man als Welle-Teilchen-Dualismus.

Die ersten Probleme waren also bereits gelöst, allerdings waren die Lösungen einerseits schwer mit den vorhanden Theorien in Einklang zu bringen, anderseits sah man nun, auf welchen wackeligen Füßen die bisherigen Theorien standen.

Den nächsten Knacks erlitten die etablierten Theorien bereits 1911 als Ernest Rutherford seinen Streuversuch durchführte und dabei feststellte, dass das Atom zum größten Teil leer ist und nur einen kleinen positiv geladenen Kern besitzt, welcher von einer Elektronenhülle umkreist wird. Negativ geladene Elektronen, die um einen positiv geladenen Atomkern laufen, stellen gegeneinander bewegte elektrische Ladungen dar. Solche müssen nach der klassischen Elektrodynamik ständig elektromagnetische Wellen abstrahlen und damit Energie verlieren. Die Atome wären nicht stabil, müssten also in Sekundenbruchteilen zusammenfallen. Zusammen mit den Untersuchungen der Emissions- und Absorptionsspektren der Atome, welche bis dahin noch nicht erklärt waren und welche gegen eine kontinuierliche Energieabgabe der Elektronen sprachen, entwickelte Bohr daraus sein Atommodell mit quantisierten Elektronenbahnen.

Die Theorie der Lichtquanten von Max Planck und Albert Einstein und das Bohrsche Atommodell konnten jedoch nur Teilbereiche der Quantentheorie erklären und sie standen noch nicht auf einem gemeinsamen theoretischen Unterbau. Dies änderte sich 1923 als de Broglie seine Theorie über den Wellencharakter von Teilchen aufstellte, welche allerdings noch keine eindeutigen Vorhersagen ermöglichte, und wenig später (1925) Schrödinger und Heisenberg ihre beiden äquivalenten Formulierungen der Quantenmechanik herausgaben.

Im Folgenden werden zunächst die für die Quantenphysik grundlegenden Phänomene besprochen.

Mathematischer Rahmen der Quantenmechanik[Bearbeiten]

Wie jede physikalische Theorie hat auch die Quantentheorie die Aufgabe, das Ergebnis von Experimenten vorherzusagen und in das existierende Weltbild einzubinden. Die Mathematik dient gerade in der Quantenphysik als wichtiges Hilfsmittel Zusammenhänge, jenseits der alltäglichen Erfahrung, zu erfassen und zu verstehen. Der Rahmen der sich hierbei für die Quantentheorie bewährt hat, ist die Theorie des Hilbert-Raumes und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Zusammenhang zwischen den mathematischen Größen und der physikalischen Realität wird in den folgenden verschiedenen Kapiteln deutlich, immer wenn die Theorie quantitativ richtige Vorhersagen trifft.

Das Unterkapitel zu mathematischen Hilfsmitteln ist eher zum Nachschlagen als zum geradlinigen Lesen ausgelegt und soll noch mit Sammlungen von Formeln ergänzt werden:

Mathematisches

Der Photoeffekt[Bearbeiten]

Im Jahre 1887 entdeckte H.R. HERTZ bei seinen bahnbrechenden Versuchen mit elektromagnetischen Wellen, dass ultraviolettes Licht eine Funkenentladung beeinflusst. Er beauftragte seinen Assistenten W. HALLWACHS mit der Untersuchung dieser Erscheinung, der daraufhin 1888 den "lichtelektrischen Effekt" (Hallwachs-Effekt, Photoeffekt) entdeckte und untersuchte. Das Ergebnis: Negativ geladene Metallkörper entladen sich bei Bestrahlung mit ultraviolettem Licht, positiv geladene nicht.

P. LENARD verlegte diese Versuche ins Vakuum und schaltete dadurch den störenden Einfluss der Luft aus. Er wies nach, dass die von dem Licht aus einer Metalloberfläche ausgelösten negativen Ladungen aus Elektronen bestehen. Genauere Untersuchungen (1902) zeigten:

1. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen ist unabhängig von der Intensität des Lichtes. Höhere Lichtintensität vergrößert lediglich die Zahl der pro Zeiteinheit ausgelösten Elektronen.

2. Die Geschwindigkeit der ausgelösten Elektronen hängt nur von der Frequenz des Lichtes ab und steigt mit zunehmender Frequenz.

3. Bei abnehmender Frequenz des Lichtes verschwindet der Effekt plötzlich bei einer Grenzfrequenz fG.

4. Auch bei Strahlung von sehr geringer Intensität ("Helligkeit") tritt der Effekt praktisch sofort ein, nämlich in weniger als 10 - 8 Sekunden.

Alle diese Eigenschaften sind mit der Wellennatur des Lichtes nicht zu vereinbaren. Mit der in Jahrhunderten durch Interferenz- und Beugungserscheinungen gefestigten Vorstellung, das Licht sei eine Welle, kann der Photoeffekt nicht erklärt werden.

Die Erklärung gab EINSTEIN im Jahr 1905: In einem Lichtstrahl ist die Energie nicht (wie in einer Welle) kontinuierlich verteilt, sondern in einer endlichen Anzahl von voneinander getrennten (diskreten) "Energiequanten" konzentriert, die nur als Ganzes und nur einzeln absorbiert werden können. Die Energie E eines "Lichtquants" ist der Frequenz f des Lichtes proportional.


Der Proportionalitätsfaktor h ist das plancksche Wirkungsquantum:


Wenn die Energie eines einzelnen Lichtquants nicht ausreicht, ein Elektron aus dem Metall herauszulösen (die "Austrittsarbeit" aufzubringen), dann vermögen es auch noch so viele Lichtquanten nicht.

Ist die Energie des Lichtquants größer als die Austrittsarbeit, dann wird der Überschuss dem Elektron als kinetische Energie mitgegeben.

Hochpräzise Messungen von MILLIKAN (1916) bestätigten die Theorie Einsteins vollkommen.

Photo-1.PNG

Der Erklärung des Photoeffekts (wie auch der des Compton-Effekts - siehe unten) haftet etwas Zwiespältiges an: Einerseits werden die Lichtquanten - auch Photonen genannt – als Korpuskeln betrachtet, andererseits werden ihnen eine Frequenz und eine Wellenlänge zugeordnet, also Eigenschaften, die nur bei einer Welle Sinn haben. Dazu kommt, dass es beim Licht Phänomene gibt, nämlich Interferenz und Beugung, die nur durch die Welleneigenschaft des Lichts erklärt werden können. Wir haben es also hier mit einem "Dualismus" von Welle und Korpuskel zu tun, der zwei im Grunde unverträgliche Erklärungsmodelle verbindet. Die Erklärung des Photoeffekts hat einen hohen Preis: Sie ist nur möglich, wenn wir dem Licht zwei einander widersprechende, zwei einander ausschließende Eigenschaften zuschreiben, nämlich sowohl Welle als auch Korpuskelstrom zu sein. Dagegen hilft auch nicht der Erklärungsversuch, das Wellenmodell des Lichtes beschreibe lediglich die Dichteverteilung der Photonen, denn einer elektromagnetischen Welle wie dem Licht kommt zweifellos eine eigenständige Realität zu: elektrische und magnetische Felder sind physikalische Realitäten mit beobachtbaren Eigenschaften. Mit anderen Worten: hier liegt noch immer ein ungelöstes Problem von gewaltiger Tiefe vor, das nicht durch Gewöhnung beseitigt wird.

Der Compton-Effekt[Bearbeiten]

Die Reaktion zwischen Photonen und Elektronen hat etwas vom Stoß zwischen Billiardkugeln. Nur die relativistische Kinematik von Energie- und Impulserhaltung ist zu berücksichtigen, wenn Teilchen sich der Lichtgeschwindigkeit nähern.

Compton-Effekt

Wellen und Teilchen[Bearbeiten]

De-Broglie-Wellenlänge[Bearbeiten]

Untersuchungen (Photoeffekt und Doppelspaltversuch) ergaben, dass das Licht sowohl Wellen, als auch Teilcheneigenschaften besitzt. Für Photonen gilt:

De Broglie übertrug dies 1923 auf beliebige Teilchen:

mit dem relativistischen Impuls:

ergibt sich daraus die sogenannte De-Broglie-Wellenlänge:

Damit besitzt jedes Teilchen sowohl Wellen als auch Teilcheneigenschaften. Dies wurde 1927 durch Experimente bestätigt.

Die Elektronen im Vakuum haben keine klassische Bahnkurve. Wenn sie ein Hindernis wie den Doppelspalt durchqueren, bildet sich dahinter ein Interferenzmuster, wie es der de-Broglie-Wellenlänge entspricht. Das passiert auch im Langzeitversuch, wenn die Elektronen einzeln verschickt werden. Es ist kein kollektives Phänomen, sondern jedes Elektron wandert irgendwie durch beide Spalte zugleich und kollabiert am Ende zu einem scheinbar zufälligen Punkt auf dem Detektor-Bildschirm.

Grundkonzepte der Quantenmechanik[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt soll, nachdem im letzten Abschnitt der mathematische Rahmen erläutert wurde, der physikalische Rahmen der Quantentheorie abgesteckt werden. Zunächst werden die Postulate der (nicht-relativistischen) Quantenmechanik axiomatisch eingeführt. Hierbei spielt der Begriff der Messung eine besondere Rolle. Daran schließt sich dann eine Betrachtung der verschiedenen Bilder und Darstellungen der Quantentheorie an.

Postulate für reine und abgeschlossene Quantensysteme[Bearbeiten]

Im folgenden wird die theoretische Begründung der quantenphysikalischen Phänomene auf einige wenige Grundannahmen zurückgeführt. Diese Postulate bilden das axiomatische Grundgerüst für die nichtrelativistische Quantenmechanik. Eine Verallgemeinerung auf relativistische Phänomene erfolgt im Kapitel über die Klein-Gordon-Gleichung.

Postulat 1 (reiner Zustand):

Ein abgeschlossenes Quantensystem, das sich in einem reinen Zustand befindet, wird durch einen normierten Zustandsvektor auf einem komplexen, unitären Hilbert-Raum beschrieben.

Da es sich bei um einen reinen Zustand handelt, beschreiben vom Zustandsvektor linear abhängige Vektoren den selben Zustand. Daher wird jedem quantenmechanischen Zustand ein eindimensionaler Teilraum des Hilbertraumes zugeordnet. Diesen Teilraum bezeichnet man als Strahl. Der Hilbertraum ist ein linearer Vektorraum, deshalb folgt daraus, dass eine Linearkombination von Zustandsvektoren wiederum einen Zustandsvektor bildet. Das nennt man das Superpositionsprinzip.

Postulat 2 (Projektionsmessung, von Neumann Messung):

  1. Die durch eine Projektionsmessung an einem Quantensystem experimentell messbaren physikalischen Größen (z. B. Energie, Ort, Drehimpuls) werden durch hermitesche Operatoren auf beschrieben. Diese Operatoren werden als Observablen bezeichnet.
  2. Mögliche Ergebnisse einer an einem Quantensystem durchgeführten Messung der Observablen A sind die Eigenwerte a dieses Operators. Diese ergeben sich mit der Wahrscheinlichkeit:

    Erwartungswert:
    Operator in Diagonalform:
    Der hermitesche Operator
    ist die Projektion des Vektors auf den Eigenvektor .

  3. Bei einer idealen Messung (ideal bezieht sich hier auf den Unterschied zwischen Experiment und Theorie) der Observablen A geht der Zustand des Systems in den zum Messwert gehörenden Eigenzustand über.

Postulat 3 (Zeitentwicklung):

  1. Die Zeitenwicklung eines Quantensystems von nach lässt sich durch einen unitären Zeitentwicklungsoperator beschreiben. Er hat folgende Eigenschaften:

  2. Im Schrödinger-Bild genügt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors der Schrödinger-Gleichung:

    Dabei entspricht der Hamiltonoperator der klassischen Hamiltonfunktion für N Teilchen:

    Hinweis: Die Festlegung der Schrödingergleichung als fundamentale Gleichung der Quantenmechanik ist eine beliebige. Ebensogut kann die gesamte Quantenmechanik auch aus der Heisenberg- oder Dirac-Gleichung (bzw. aus beliebigen anderen Bildern) entwickelt werden. In den Verteilungen von gemessenen Daten gehen die Zustandsvektoren nur in Form der Betragsquadrate ihrer Komponenten im jeweiligen Eigensystem ein: Bornsche Regel. Die Phase ist beliebig wählbar.

Kommentar.

So trocken-formal die Postulate auch herkommen, so umwälzend und umstritten waren ihre Konsequenzen für das Weltbild der Physik. Auf der einen Seite gibt es eine Differenzialgleichung der Wellenfunktion, die deterministische, eindeutige, vorwärts und rückwärts in der Zeit zu berechnende Lösungen hat. Auf der anderen Seite passiert bei jeder Beobachtung oder Messung eine gewaltige Lotterie. Stochastisch wird ein Eigenwert zu dem Operator ausgewählt, auf den der Beobachter sein Experiment eingestellt hat. Die Wellenfunktion wird dabei irreversibel zerstört und erleidet einen Kollaps auf die Eigenfunktion zum Messwert. Die Welle ist in keiner Weise direkt messbar; der Mond existiert nicht, solange keiner hinsieht, spottete Einstein. Nur die Eigenwerte der Messungen existieren. Bei nicht vertauschbaren Operatoren sind die entsprechenden Größen nicht gleichzeitig definiert. Die Streuungen solcher Werte sind fundamental durch Heisenbergs Unschärfe nach unten begrenzt. Also würfelt Gott, Einstein zum Trotz.

Die Schrödinger-Gleichung[Bearbeiten]

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung[Bearbeiten]

Die Schrödinger-Gleichung ist die grundlegende Gleichung der Quantenmechanik. Aus ihr folgen die Unschärferelation, die Drehimpulsquantelung und viele weitere Dinge, die die Quantenmechanik ausmachen. Für ein Teilchen der Masse m (etwa ein Elektron) im Potential V (etwa das eines Atomkerns) lautet sie:

Dabei ist der Laplace-Operator und das Plancksche Wirkungsquantum. Der Ausdruck auf der linken Seite wird Hamilton-Operator genannt:

Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist die Wellenfunktion die das Teilchen im Potential V beschreibt. Was sagt diese Wellenfunktion aber aus?

Statistische Interpretation[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion kann so verstanden werden, dass sie die Verteilung der Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen, beschreibt. Da im Allgemeinen eine komplexe Zahl ist, wird das Betragsquadrat als Wahrscheinlichkeit genommen. Dies bringt einige Forderungen mit sich, die wir an die Wellenfunktion stellen müssen:

  • An irgendeinem Ort muss sich das Teilchen befinden, daher muss die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergeben: bei Integration über den gesamten Raum. Dies ist die Normierungsbedingung
  • Um diese Bedingung zu erfüllen muss quadratintegrabel sein, das heißt dieses Integral muss überhaupt bestimmt sein.
  • Daraus folgt auch, dass im Unendlichen auf 0 abfällt, was uns noch bei einigen Rechnungen zugute kommt.

Uns kommt eine Eigenschaft der Schrödinger-Gleichung zugute, die die Erfüllung der ersten Bedingung vereinfacht: sie ist linear! Damit lässt sich eine beliebige quadratintegrable Wellenfunktion normieren: Ist , dann erfüllt die Funktion ebenfalls die Schrödinger-Gleichung (wie man sich leicht durch Einsetzen klar machen kann), und zusätzlich die Normierungsbedingung.

Es seien noch zwei übliche Größen der Statistik erwähnt:

  • Der Erwartungswert einer Größe Q: , dabei ist das komplex konjugierte . Der Erwartungswert gibt die Mittelung einer Größe gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit an. Zu beachten ist, dass diese Mittelung keineswegs dem wahrscheinlichsten Wert entsprechen muss.
  • Die Standardabweichung: . Sie gibt an, wie weit ein Wert gestreut ist.

Freies Teilchen[Bearbeiten]

Zum besseren Verständnis der Schrödinger-Gleichung betrachten wir nun zunächst ein freies Teilchen (). Damit ergibt sich für die Schrödinger-Gleichung:

Diese Gleichung hat Lösungen der Form:

wobei

und

ein Vergleich dieser letzten Gleichung mithilfe der Einstein-De-Broglie-Beziehung ergibt eine Übereinstimmung mit:

Da die Schrödinger-Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung und in linear und homogen ist, gilt für sie das Superpositionsprinzip, d.h. jede Linearkombination von Lösungen ist wieder eine Lösung. Solche Überlagerungen kann man als Integral darstellen:

Beschränkt man sich auf den eindimensionsalen Fall, so ergibt sich:

Setzt man die Zeit , so ergibt sich:

Vergleicht man dies mit einer Fourier-Transformation, so sieht man, dass die Fourier-Transformierte von ist:

Daraus folgt, das diese beiden letzen Gleichungen nicht nur für ein freies Teilchen, sondern für jedes Teilchen in einem beliebigen Potential gelten.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung[Bearbeiten]

Wenn man ein zeitlich konstantes Potential annimmt, lässt sich die Schrödinger-Gleichung mit Hilfe eines Separationsansatzes vereinfachen:

Teilt man durch sind die Variablen und getrennt, stehen also nur noch auf je einer Seite der Gleichung:

Es lässt sich also jede Seite als konstant in "ihrer" Variablen auffassen:

Dabei nennen wir die Konstante E. Warum, werden wir später noch sehen. Betrachten wir zunächst die zweite Gleichung:

Diese einfache Differentialgleichung wird gelöst durch , wobei man durch Einsetzen erhält, womit der Zeitanteil der Wellenfunktion im Falle eines zeitunabhängigen Potentials lautet:

Nun zum Ortsanteil. Dieser ist bekannt als zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

Für zeitunabhängige Potentiale haben wir die Lösung des Problems somit darauf vereinfacht, nur noch den Ortsanteil bestimmen zu müssen.

Hier: Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

finden sich viele Beispiele zur eindimensionalen zeitunabhängigen Gleichung. In Potenzialtöpfen nimmt ein Teilchen diskrete Energie-Niveaus an. Es kann auch per Tunneleffekt die Wände durchqueren, da die Wellenfunktion exponenziell abfallende Ausläufer da hat, wo klassische Mechanik den Weg verbietet.

Messung von Quantensystemen[Bearbeiten]

Zum Problem der Messungen hier: Quantenmechanik/ Messungen

Darstellungen[Bearbeiten]

Ortsdarstellung und Ortsoperator[Bearbeiten]

Impulsdarstellung und Impulsoperator[Bearbeiten]

Der Impulsoperator[Bearbeiten]

Die klassische Mechanik soll als Grenzfall in der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik enthalten sein. Daher definieren wir den Erwartungswert des Impulses in der Ortsdarstellung, welche ja normalerweise auch in der klassischen Mechanik verwendet wird, als:

Dieser Ausdruck lässt sich weiter auswerten, was schließlich auf den Impulsoperator führen wird:

Nun lässt sich die Schrödinger-Gleichung einsetzen, wobei zu beachten ist, dass :

Da das Potential reell ist und mit der Wellenfunktion vertauscht, bleibt:

Nun benutzen wir, dass und den Gaußschen Satz: :

Da aber die Wellenfunktion quadratintegrabel sein soll, muss sie im Unendlichen auf 0 fallen, daher verschwindet das Oberflächenintegral.

Der Ausdruck links kann wieder mit dem Gaußschem Satz aufgelöst und mit 0 interpretiert werden. Damit erhalten wir schließlich:

Dieser Ausdruck hat wieder genau die Form eines Erwartungswertes! Allerdings ist der Ausdruck, dessen Erwartungswert berechnet wird, ein Operator. Dies ist der Impulsoperator:

Heisenbergsche Unschärferelation[Bearbeiten]

Quantentheoretische Bilder und Zeitentwicklung[Bearbeiten]

In Postulat 3 wurde als Zustandsgleichung für die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems, die sog. Schrödinger-Gleichung angegeben. Dies entspricht der Darstellung der Quantenmechanik in einem speziellen Bild, in diesem Fall im Schrödinger-Bild. Wegen der Invarianz aller physikalischen Größen unter unitären Transformationen, gibt es jedoch eine unendliche Anzahl äquivalenter Bilder mit denen die Quantenmechanik beschrieben werden kann. Neben dem angesprochenen Schrödinger-Bild, sind das Heisenberg- und das Dirac-Bild noch von besonderem Intresse. In diesem Abschnitt sollen deswegen die verschiedenen quantenmechanischen Bilder und die entsprechenden Transformationen besprochen werden.

Zeitentwicklungsoperator[Bearbeiten]

Unter Ausnutzung des Zeitentwicklungsoperators ergibt sich die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung:

eingesetzt wird daraus die zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:

Die Entwicklung des Zeitentwicklungsoperators um bei einer infinitesimalen Änderung der Zeit ergibt:

Die Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden. kann nun als Produkt dieser infinitesimalen unitären Operatoren dargestellt werden:

Daraus folgt dann sofort die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators.

Schrödinger-Bild[Bearbeiten]

Das Schrödinger-Bild zeichnet sich dadurch aus, dass in ihm quantenmechanische Zustände zeitabhängig sind, während die Operatoren nur explizit von der Zeit abhängen können. Ist der Zustand eines Quantensystems zu einem Zeitpunkt bekannt, so ergibt sich die dynamische Entwicklung des Systems eindeutig durch Lösen der Schrödinger-Gleichung:

Es gilt also: Sei gegeben. Nun ergibt sich die Wahrscheinlichkeit X zu finden:

Wenden wir nun den Zeitentwicklungsoperator auf den Zustand an:

Damit ergibt sich für unsere Wahrscheinlichkeit:

Heisenberg-Bild und Heisenberg-Gleichung[Bearbeiten]

Man erhält das Heisenberg-Bild aus dem Schrödinger-Bild durch eine unitäre Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator :

Für eine Observable A ergibt sich:

Nun spielt man ein wenig mit der Wellenfunktion

und der Schrödingergleichung

und kommt so auf folgende Herleitung

mit und folgt:

mit

mit folgt daraus die Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Gleichung genannt, also das 4. Quantenpostulat im Heisenberg-Bild:

Dirac-/ Wechselwirkungs-Bild[Bearbeiten]

Der Harmonische Oszillator[Bearbeiten]

Dieses wichtige eindimensionale Quantensystem zeigt beispielhaft, wie die Operator-Algebra eingesetzt werden kann, um das Spektrum zu erforschen. Die direkte Lösung der Schrödinger-Gleichung kommt da an zweiter Stelle.

Harmonischer Oszillator

Drehimpuls[Bearbeiten]

Der Drehimpuls der klassischen Mechanik wird zu einem Operator auf dem Raum der Wellenfunktionen, indem der Impuls im Wesentlichen umgemünzt wird zu einer Ableitung nach den Ortskoordinaten. Die daraus folgende Operator-Algebra wird zuerst durchgerechnet, danach wird der Drehimpuls als Darstellung der Rotations-Symmetrie interpretiert und es wird errechnet, welches diskrete Spektrum von Quanten er hat.

Der Spin[Bearbeiten]

Das Wasserstoffatom[Bearbeiten]

Radiale Bewegungsgleichung[Bearbeiten]

   Bevor das konkrete Problem des Wasserstoffatoms gelöst werden kann, müssen
   zunächst ein paar allgemeine Betrachtungen zu kugelsymmetrischen Potentialen
   durchgeführt werden. Analog zur klassischen Mechanik wird sich eine
   Drehimpulserhaltung feststellen und das Problem auf die eindimensionale
   Bewegung eines Teilchens in einem effektiven Potential zurückführen lassen.
   Klassisch lässt sich das Impulsquadrat in einen Dreh- und Radialimpulsanteil
   zerlegen
   
   Bei der Übertragung dieser Zerlegung auf die Quantenmechanik ist eine
   Symmetrisierung zu beachten
   
   Nach weiteren Umformungen erhält man für den Radialimpulsoperator
   
   was in der Ortsdarstellung folgende Gestalt annimmt
   
   
   Der Hamiltonoperator eines kugelsymmetrischen Potentials lässt sich hiermit
   nun folgendermaßen Formulieren
   
   Bereits mit dem Wissen, dass die Ortseigenfunktionen des -Operators
   die Kugelflächenfunktionen  sind
   
   bietet sich folgender Separationsansatz für die Ortswellenfunktion an
   
   Setzt man dies nun in die stationäre Schrödingergleichung 
   ein folgt für den Radialanteil
   
   Setzt man nun noch die Ortsdarstellung des Radialimpulsoperators ein ergibt
   sich die Radialgleichung
   
   welche formal identisch ist mit der Schrödingergleichung eines Teilchens
   im effektiven Potential
   
   welches analog wie in der klassischen Mechanik einen Drehimpulsabhängigen
   repulsiven Zentrifugalterm enthält.

Dimensionslose radiale Bewegungsgleichung[Bearbeiten]

   Nach diesen allgemeinen Vorüberlegungen kann nun das konkrete Wasserstoffproblem
   angegangen werden. Im cgs-System ist das Coulomb-Potential des Wasserstoffkerns
   
   Sinnvollerweise geht man bei der Lösung zu einem dem Problem angepassten Einheitensystem
   über und macht die Differentialgleichung dimensionslos über
   
   mit dem Bohrschen Radius
   
   und der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms
   
   Nach Einsetzen ergibt sich damit die folgende Radialgleichung
   

Energie-Eigenwerte der Radialgleichung[Bearbeiten]

Zu den Lösungen der Gleichung: H-Atom-Spektrum

Spin-Bahn-Kopplung und Clebsch Gordan Koeffizienten[Bearbeiten]

Näherungsmethoden[Bearbeiten]

zeitunabhängige Störungstheorie
Variationsmethode
zeitabhängige ST
WKB-Näherung

Streutheorie[Bearbeiten]

Pfadintegralformulierung[Bearbeiten]

Elektromagnetische Felder[Bearbeiten]

Eichtinvarianz
Aharonov-Bohm-Effekt
Quantisierung des EM-Feldes
Elektron-Photon-WW

Identische Teilchen[Bearbeiten]

Permutationssymmetrie
Zwei-Elektronen-Systeme
N-Fermionen-Systeme

Symmetrien[Bearbeiten]

Versteckte Variablen ? Bell'sche Ungleichungen[Bearbeiten]

Relativistische Quantenmechanik[Bearbeiten]

Vierervektoren[Bearbeiten]

Einführung in Vierervektoren und Lorentztransformationen:

Operatoren[Bearbeiten]

In der Relativistischen Quantenmechanik gebräuchliche Operatoren sind:

Der Viererimpuls:

Diese Operatoren produzieren auf ebenen Wellen, ob relativistisch oder nicht, die de-Broglie-Korrespondenz von Energie mit Frequenz und von Impuls mit Wellenvektor (reziproker Wellenlänge). Die relativistische Kinematik schreibt nun eine andere Gleichung zwischen Energie, Impuls und Masse von freifliegenden Teilchen als die nichtrelativistische. Im letzteren Fall führt das Einsetzen der Operatoren geradewegs zur Schrödinger-Gleichung, im ersteren zur Klein-Gordon-Gleichung. Doch Schrödinger in Person schob die Klein-Gordon-Gleichung schnell beiseite, denn sie hat zwei Strukturfehler:

  • Sie hat kein relativistisch invariantes positiv-definites Skalarprodukt, also keinen Hilbertraum, keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation.
  • Sie hat mit Potentialtöpfen keinen Grundzustand niedrigster Energie; alles würde zerfallen in Richtung Energie minus Unendlich.

Dann kam Diracs geniale Idee, Differentialoperatoren erster Ordung zu finden, die Quadratwurzeln des Klein-Gordon-Operators sind. Das gelang ihm mit den Dirac-Matrizen und ergab Wellengleichungen, die den Spin und das magnetische Moment des Elektrons spontan richtig erfassten und die auch Antiteilchen, die Positronen, enthielten. Ein positives Skalarprodukt konnte auch ausgemacht werden, aber das negativ unbegrenzte Energiespektrum war immer noch problematisch. Man behalf sich mit der Erklärung, dass das Vakuum aus einem See bestehe, der ganz mit Teilchen gefüllt sei. Wie bei Halbleitern seien dann die Anregungen Elektronen bzw. Löcher in Bezug auf ein solches Fermi-Niveau.

Die Dirac-Gleichung repariert dann auch weitgehend die Feinstruktur des Wasserstoff-Atoms, aber nicht ganz richtig. Ein experimenteller Lamb-Shift sorgt für Unordnung. Es wurde klar, dass es voreilig war, die Dirac-Gleichung wie die von Schrödinger als Einteilchen-Gleichung zuzulassen. Erst die Theorie der Quantenfelder, die systematisch beliebiege Zahlen von Teilchen, Elektronen, Positronen, Photonen, erzeugen und vernichten kann, und insbesondere die Quantenelektrodynamik, brachte eklatante Erfolge. Der Lamb-Shift und das magnetische Moment des Elektrons konnten mit souveräner Genauigkeit ausgerechnet werden.

Wellengleichungen[Bearbeiten]

Die wichtigen Wellengleichungen, die bei Lorentz-Transformationen intakt bleiben, sind hier behandelt: