Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit dem zentralsymmetrischen
Coulomb-Potenzial soll auf gebundene Zustände
abgeklopft werden, also Energie-Eigenwerte . Weil der Operator
auch rotations-symmetrisch ist, zerfallen die Lösungen in Produkte
- .
Allgemein profitiert die Physik gern von Symmetrien, um Differenzialgleichungen
mit entsprechend angepassten Koordinaten in Faktoren zu zerlegen.
Die Funktion u(r) gehorcht der radialen Schrödinger-Gleichung:
Das sieht aus wie ein anziehendes Potenzial bei plus ein abstoßendes
für , hervorgerufen von der Zentrifugalkraft bei Drehbewegung.
Der störende Faktor vor der zweiten Ableitung wird mit der Definition
hinweg dividert:
- .
Jetzt noch eine dimensionslose Länge so einbauen, dass der Energie-
Eigenwert genau 1 wird!
als Funktion von x werde
wieder mit u bezeichnet. Dann folgt mit :
Nahe bei divergiert der Operator . Der wirft das Monom auf Null.
Bei x gegen Unendlich
dominiert die Gleichung , gelöst als .
Der Trick ist nun, diese zwei Randterme als Faktoren von u abzuspalten
und auf angenehmere Gleichungen zu hoffen.
Ansatz: mit eine Gleichung
für schreiben.
Dann ergibt sich folgendes für f:
Versuchen wir eine Potenzreihe , wo angenommen
wird um in genau die Potenz beim Nullpunkt zu bewahren.
In der eckigen Klammer sind zwei Potenzen von x. Indexieren wir den ersten und dritten
Term so um, dass immer dieselbe Potenz dasteht:
Ein Term k=-1 ist unnötig, er entfällt wegen der Faktoren (k+1). Also
Alle Koeffizienten dieser Potenzreihe müssen einzeln verschwinden.
Es folgt eine Rekursionsgleichung für die Reihe :
Der erste Faktor verschwindet nie für , daher kann mit beliebig
festgelegtem Anfangswert die Reihe hingeschrieben werden.
Die Tendenz bei großem wäre: . Unangenehm exponentielles
Wachstum.
Die Rettung kommt mit dem unbekannten , worin sich über das
unbekannte der gesuchte Energie-Eigenwert versteckt. Wenn irgendwann
wird, bricht die Reihe nach ab und die Lösung ist
ein Polynom. Das gesuchte z ist eine gerade ganze Zahl. Wir quantisieren.
Definiere . Grad des Polynoms .
Konventionell heißen diese Lösungen die Laguerre-Polynome.
- löst den Fall . Unnormiert:
ergibt für den Eigenwert dies, unabhängig von :
Der Bohrsche Radius ist .
Die Wellenfunktion hat einen Faktor . Sie ist
recht gut in einer Kugel vom Radius gefangen.
Die Energien der gebundenen Zustände hängen von n, nicht von , ab.
Diese Formel wurde bereits am Bohrschen Atommodell gefunden und stimmt recht
gut für die Spektren der Atome und Ionen mit nur einem Elektron.
Für vorgegebene Hauptquantenzahl n kann die Werte von 0 bis n-1 haben.
Für jeden Drehimpuls gibt es eine Basis von Werten von m.
Daher ist die Energie entartet mit der totalen Zahl von Zuständen
- .
Die Zustände heißen nach alter Tradition wie folgt:
Einige Wahrscheinlickeitsverteilungen zu solchen stationären Zuständen,
berechnet als (Radialfunktion mal Kugelfunktion) zum Quadrat, sind hier
Unsere Quantenwelt abgebildet.
Python-Schnipsel für Polynom-Koeffizienten (nicht normiert)
def division(p,q) : # to print integer fractions
def hasfact(x,z) : return (x>0) and ((x % z)==0)
def div(p,q) : return int(p/q)
pn=[2,3,5,7,11,13,17,19,23]; ln= len(pn) # small prime nbrs
p,q,s = (abs(p),abs(q),-1) if ((p*q)<0) else (abs(p),abs(q),1)
for i in range(ln) :
z=pn[i]
while hasfact(p,z) and hasfact(q,z) : p=div(p,z); q=div(q,z)
return s*p,q
def laguerre() : # coeffs of radial hydrogen atom polyns
# n=1,2,3,4, l=0..n-1, a0=1.
for n in range(1,5+1) :
for l in range(n) :
j=2*l+2; k=0; p=1; q=1; t=''
while p != 0 :
p,q= division(p,q)
t += ' '+ (str(p) if(q==1) else (str(p)+'/'+str(q)))
q *= (k+1)*(k+j); p *= (-2*n+2*k+j); k+=1
print('n='+str(n)+' l='+str(l)+' '+t)
In diesem Abschnitt wird die Kugelsymmetrie ausgenutzt und ein vollstændiges
Orthonormalsystem von Eigenfunktionen
aufgebaut, die auf der Einheitskugel
definiert sind. Ihre Fortsetzungen auf lösen die
Potenzialgleichung ,
sind die Null-Eigenfunktionen des Laplace-Operators.
Dieses Stück Angewandte Mathematik gilt auch anderswo
als in der Quantenmechanik, daher hier alles ohne den Faktor .
Das Rechnen mit Differenzialoperatoren besteht im Wesentlichen daraus, die
Produktregel zu nutzen.
Der hermitesche Operator ,
ist invariant bei Drehungen um das Zentrum, das heißt
- für alle Rotationen.
Man kann erst drehen, dann differenzieren, oder differenzieren vor der Drehung,
mit gleichem Ergebnis.
Sei eine stetig differenzierbare Familie von z. B. Rotationsmatrizen mit
. Dann ist
- ein Ableitungsoperator in Richtung Vektorfeld
. Anwendung auf ergibt
.
Das alte Lied: ein Operator ist genau dann
invariant unter Transformationen, wenn er mit den 'infinitesimalen'
Operatoren solcher Symmetrietransformationen vertauscht.
Speziell die Ein-Parameter-Gruppe der Rotation um Achse 3:
- Ergibt: .
Wegen der großen Vorliebe für eventuell reelle Eigenwerte definieren wir
den hermiteschen Operator
und zyklisch für die anderen Achsen. Die Drehimpuls-Operatoren.
Der Operator kommutiert
also mit den , folglich mit allen Polynomen davon, insbesondere mit
.
Die kommutieren nicht miteinander, doch sie kommutieren mit .
Daher der Plan, um das Spektrum von Delta zu durchleuchten:
Man finde gemeinsame Eigenfunktionen zu den hermiteschen .
Eigenwerte zu werden den Index
und die zu den Index, wenn nicht sogar Wert, bekommen.
Die Ein-Parameter-Gruppe der Dilatationen bewirkt
auf Funktionen den 'Aufblas-Operator', nach der Ableitung bei t=0:
- .
In einem
Koordinatensystem aus Radius und
gleich welchen Winkeln w auf einer Kugelfläche,
, ist und der Operator
.
Eine Eigenfunktion zu ,
ist eine homogene Funktion vom Grad ,
das heißt .
A hat Kommutatoren mit ,
mit Multiplikations-Operator
und mit , wie leicht zu prüfen ist:
- .
senkt die Eigenwerte von A um 2 ab, hebt sie um 2 an.
Nun wird als Kombination des Trios ausgedrückt.
Gebraucht wird:
Summiert über die drei , ergibt die zweite eckige Klammer .
Die dritte wäre fast das erwähnte , aber es fehlen
drei quadratischen Terme . Setzen wir sie negativ
dazu und kompensieren positiv in der ersten eckigen Klammer. Dann
passt alles: mit 9 Termen wird die erste Klammer zum Operator ,
die dritte Klammer zu .
Ergebnis: Es folgt die Operatorgleichung
- mit .
Eine äquivalente Formel lautet
.
Homogene Funktionen f sind Eigenfunktionen zu Operator mit Eigenwert
. Folglich sind diese
genau dann Lösungen der Gleichung (außerhalb des Nullpunkts),
wenn sie auch Eigenvektoren von sind mit Eigenwert .
Beispiel, 6 homogene Polynome Grad 2, die von vernichtet werden:
- (zyklisch 1,2,3). Davon sind 5 linear unabhängig.
Beispiel 2.
Aus der komplexen Analysis in der z-Ebene erinnert man sich vielleicht, dass
die analytischen (sprich, Potenzreihen in z) wie auch die antianalytischen
(Potenzreihen im komplex-konjugierten ) Funktionen die
Potenzialgleichung erfüllen. Probieren wir also die Potenzen von
in der Ebene .
Sie hängen nicht von ab; sie sind homogen vom Grad ; sie erfüllen
die Gleichung , wie leicht nachzurechnen.
Auch leicht zu bestätigen, sie sind Eigenfunktionen des - Operators:
.
Damit sind einfache gemeinsame Eigenfunktionen zu
schon gefunden. Wegen Linearität sind die Summen und Differenzen von f und
g, also der Realteil und der Imaginärteil für sich, auch Eigenfunktionen
zu aber nicht mehr zu .
Einfachste homogene Funktionen sind Polynome in den 3 Koordinaten.
Homogenen vom Grad bedeutet,
dass alle Terme die Potenzsumme
haben. Ihre Werte auf der Kugelfläche bestimmen die Funktion eindeutig. Die
Operatoren als infinitesimale Rotationen sind Richtungsableitungen
tangential zur Kugel, bei Anwendung verlassen die Funktionen nicht die Kugel.
Aus den homogenen Polynomen rekrutieren sich die versprochenen orthonormalen
Systeme. Die sind keine höheren transzendenten Funktionen,
sondern einfach Polynome, die auf die Kugelfläche geklatscht wurden.
Definition:
ist eine gemeinsame Eigenfunktion zu den Operatoren
- .
Sie ist homogen, ,
und erfüllt nach obigen Ergebnissen die
Potenzialgleichung. Ihre Beschränkung auf der Einheitskugel
heißt Kugel(flächen)funktion soll berechnet werden.
Warum sind die Eigenwerte ganze Zahlen? Und welche sind erlaubt?
- soll Y zu Null machen, mit
.
Es werden nur sanfte Funktionen Y mit konvergierender Potenzreihe um den
Nullpunkt herum erlaubt. Darin seien Z die Monome mit kleinster Summe von
Potenzen k; dann muss für diesen Teil schon gelten: .
Also ist eine nichtnegative ganze Zahl, und die gesuchten Y sind
homogene Polynome.
Der Operator ist so definiert, dass die Funktionen Y in der
Ebene dreht. Mit Eigenwert heißt das, der Funktionswert
beim Winkel ist . Da nach einer Umdrehung
der Faktor 1 kommen muss, ist m eine ganze (positive oder negative) Zahl.
Ene Basis aus drei Monomen sei so definiert:
Sie sind Eigenfunktionen zu mit Eigenwerten (1,-1,0):
.
Der Operator differenziert, mit Anwendung der Produktregel wird er
additiv für Eigenwerte. Für alle Monome folgt:
.
- Auch:
Diese Monome sollen nun zu Polynomen vom Grad gehören, also sind i
und j maximal = , und m:= i-j erfüllt .
Damit steht der Eigenwerte-Bereich von ganzen Zahlen fest:
- .
Wie viele unabhängige Polynome vom Grad gibt es? Und wie viele
unabhängige Polynome bleiben übrig, wenn mit dem Laplace-Operator sich
Null ergibt? Abzählen der mit : Für u gibt es
Fälle ; bei gegebenem i für v wähle ,
und k hat keine Wahl mehr. Also ist die Größe der Monom-Basis:
- .
Der -Operator senkt den Polynomgrad um 2, so dass die Null-Bedingung
lineare Gleichungen abgibt. Daher die Zahl der linear unabhängigen
Polynome zu gegebenem Grad :
Andererseits ist in den Monomen der Basis schon alles an Eigenwerten für
m enthalten, alle Werte. Folgerung: Zu jedem Wert m gibt es bis auf
Normierungsfaktor genau eine Lösung .
Algorithmus zur Berechnung von :
- Ansatz Linearkombination aller Monome mit
- Fixiere einen Koeffizienten z.B. i=max,k=0 (Normierung später)
- Berechne die Polynome angewandt auf die Monome
- Löse die linearen Gleichungen, die aus folgen.
Die Kugelkoordinaten sind so definiert:
- .
Auf der Kugel (r=const=1) ist der Breitengrad mit Nordpol bei 0,
ist der Längengrad.
Das Integralmaß sieht umgerechnet so aus:
Die Einheitskugel hat selbstverständlich die Fläche .
Der Laplace-Operator ist die Summe aus
, das aus Richtungsableitungen
längs der Kugel besteht, und einem radialen Operator, wie oben errechnet:
Für eine Radialfunktion vom Typ wird der Radialoperator besonders einfach:
Es gilt:
wo reellwertig ist. Wenn nur der Definitionsbereich Einheitskugel
interessiert, wird auch geschrieben. Die
sind Werte in der Ebene und können
als dargestellt werden.
Es gibt die Symmetrie , weil sie von Monomen
beziehungsweise
abstammen. Auf der xz-Ebene ist u=v.
Daher werden nur die Fälle gelistet.
Folgende Tabelle zeigt auch homogene Polynome in der x-z Ebene
mit ganzen Koeffizienten. Ihre Form auf
der Einheitskugel ergibt sich mit . Oder äquivalent mit .
In der reduzierten Form werden Faktoren durch
ersetzt, sie ist nur auf der Kugel gültig. Die homogene Form
folgt aus der reduzierten, indem alle fehlenden Potenzen bis als
eingebaut werden.
Die speziellen sind Polynome ohne x, weil
wegen m=0 nur quadratische x drinstecken und ausgetrieben wurden, .
Die Spalte Integral zeigt die Werte , für eventuelle Orthonormierung.
Die Tabelle kommt aus einem Skript, mitsamt dem
Algorithmus, der als rationale lineare Gleichungen verwertet. Es
liegt im Anhang als peinlich langer, schlecht dokumentierter Code pltable.py.
Das Skript nutzt faul Rekursionen für Integrale von Sinus-Cosinus-Monomen.
Mit gilt:
Zum Ankurbeln dient
- .
Bequemer skriptet sich die Reihe der mit folgenden Formeln.
Die ersten Legendre-Polynome P(z), getrimmt auf P(1)=1, sehen so aus:
Das Skript plplot.py im Anhang schreibt eine Bild-Datei plplot.svg.
Die Legendre-Differenzalgleichung, aus der sie folgen, sei nur zitiert:
Die Gleichung fällt an, wenn der Operator in Kugelkoordinaten
umgerechnet wird. Wie es sein muss, hat keine Radial-Abhängigkeit.
Die Polynome sind alternativ definiert als
Die Legendre-Polynome sind orthogonal bezüglich des reellen
Skalarprodukts, äquivalent in den Variablen
oder geschrieben:
Die definieren ein vollständiges Orthonormal-System auf dem
Intervall [-1,1]. Denn dort können
alle gutartigen Funktionen gleichmäßig durch Polynome in angenähert
werden und die mit all ihren Graden
spannen die Polynome auf.
Die assoziierten Legendre-Funktionen auf der Kugel ergeben sich
mit aus der Formel
Orthogonal sind sie bei gleichem Index m,
- .
Nicht immer verschwindet das Integral,
wenn sowohl als auch m verschieden sind.
Dann garantiert das -Integral
der verschiedenen Faktoren
die Orthogonalität der .
Für die Normierung gilt:
Die orthonormierten auf der Einheitskugel haben die Form:
Alle sind orthogonal bei Integration über
die Kugelfläche, weil sie
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der hermiteschen Operatoren
sind.
Darüber hinaus sind sie ein vollständiges System; jede glatte Funktion
auf der Kugel hat eine Reihenentwicklung in dieser Basis. Warum? Waren nicht
die Zwangsbedingungen auferlegt?
Ja, aber die sagen nur
was über eine radiale Fortsetzung der Funktion, nämlich .
Auf der Kugelfläche schränken sie nichts ein, und dort stellen die
das Eigenwert-Spektrum erschöpfend und eindeutig dar.
Die Reihenentwicklung nach einer Funktion auf der Kugel gedeiht
bestens zum Beispiel der ungleichmäßigen Winkelverteilung
der kosmischen Hintergrundstrahlung aus allen
Richtungen. Sie wird als Zerlegung in Multipolmomente bezeichnet.
Terme zu heißen Monpol, Dipol etc.
Beeindruckend hohe Ordnungen von wurden analysiert, Bild hier:
- w:Datei:PowerSpectrumExt.svg
Schrödinger-Gleichung im Zentralpotenzial
[Bearbeiten]
Die zeitunabhängige Gleichung mit Potenzial schreit
nach Anwendung der Kugelfunktionen. Der Winkel-Anteil des Delta-Operators
wird über Eigenwerte von erledigt, es bleibt nur eine Radial-Gleichung.
Der Laplace-Operator ergibt auf einer Funktion
:
Aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
lässt sich also der Term Kugelflächenfunktion
mal 1/r ausklammern.
Es bleibt die Radialgleichung für u übrig:
Genau so steht die radiale Schrödingergleichung am Anfang des Kapitels.
Im legalen SI (MKSA)-System ist das elektrostatische Potenzial
.
In vielen Quantenmechanik-Büchern steht es mit
altmodischen elektrostatischen Einheiten für die Ladung einfacher da,
.
Alte Theoretiker-Einheiten ausgedrückt in legalen SI-Einheiten:
In physikalisch konsequenten Einheiten bleibt vom MKSA nur eine unabhängige
Maßeinheit, zum Beispiel das Meter. Denn die Lichtgeschwindigkeit und das
Planck-Quantum sind so fundamental, dass damit die Zeit als (ct) in Metern
gemessen wird, der Impuls in 1/Meter, genauso Energie und
Masse in reziproken Metern. Man schreibt salopp .
Die Elementarladung wird zu einer dimensionslosen Größe, der
Feinstrukturkonstante
Wahre Konstanten in der Physik sind dimensionslos. Die dimensionsbehafteten
wurden durch ein vereinfachtes Maßsytem weggeschafft. Die Boltzmann-
Konstante etwa verschwindet, indem die Temperaturskala berichtigt wird.
Zum Beispiel Elektronenvolt statt willkürlicher Kelvin, Celsius, Fahrenheit.
Weil die Feinstrukturkonstante klein ist, funktioniert die Störungsrechnung
in der Quantenelektrodynamik sehr gut und lieferte beeindruckend gute
Ergebnisse, nachdem die Technik der Feynman-Graphen und der richtige
Renormierungs-Algorithmus entwickelt wurden.
Theoretiker haben scheinbar wenig Geduld mit pingeligen Skalenfaktoren
von Einheitensystemem. Gerüchtehalber gilt in der Stringtheorie sogar
und so weiter.
Ungebundene Zustände und Partialwellen
[Bearbeiten]
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist bei gebundenen Zuständen
eine Eigenwertgleichung und liefert diskrete Energien. Bei Energien oberhalb
eines maximalen jedoch liegt das Kontinuum. Zu jeder Energie E
gibt es beliebig viele Lösungen, einen großen Hilbert-Teilraum pro E-Wert.
Welche Berechnungen sind da sinnvoll? Die Berechnung von Streuungen, von
Wirkungquerschnitten. Beispiel, ein ruhender Atomkern hat ein Zentral-
Potenzial V(r) und wird bombardiert mit Elektronen, die als
ebene Wellen ankommen.
Man möchte die auslaufende Kugelwelle in allen Richtungen untersuchen
und etwa die Rutherford-Formel bestätigen, die ursprünglich ohne
Erlaubnis klassisch hergeleitet wurde.
Seien Energien E>0 vorgegeben, gesucht wird im Raum der Lösungen
- :
- Eine Basis von einlaufenden Wellen
die genau in der Richtung des
Wellenvektors aussehen wie ebene Wellen, deren Amplitude in allen anderen
Richtungen aber mit 1/r abfallen.
- Symmetrisch eine Basis von auslaufenden Wellen .
Diese simulieren
hypothetische Zustände, wo eine Kugelwelle auf das Zentrum zuläuft; geschickt
so abgeglichen dass sie gebündelt in Richtung
als Strahl ausgeliefert wird.
Die einlaufenden Wellen sind Resultate eines Vorbereitungs-Experiments, in
dem das Labor einen Teilchenstrahl mit bekannten Eigenwerten E,k zubereitet.
Die auslaufenden Wellen sind die Eigenzustände der Observablen "ideale
Detektor-Anlage". Diese überwacht eine Kugelfläche um das Ziel herum und
findet bei jedem Aufschlag die Winkel und Energien, also Eigenwerte E,k.
Weit weg vom Zentrum soll eine "in"-Welle
die gesuchte Form Ebene Welle plus Kugelwelle haben
Die gestreute Kugelwelle muss mit 1/r abfallen, damit die Wahrscheinlichkeit
erhalten bleibt, also ihr Betragsquadrat mit fällt.
heißt Streuamplitude.
Die Axiome der Quantenmechanik lehren dann, dass die Amplitude der Projektion
die Statistik vorhersagt.
Nämlich nach der
Born-Regel ist das Betragsquadrat (einlaufendes k' fixiert)
das Maß der Wahrscheinlichkeitsverteilung der auslaufenden Teilchen k.
Technisch muss
noch in Wirkungsquerschnitte umgewandelt werden, weil diese bei
der Praxis von Messungen anfallen. Wichtig vorher also, diese
Streumatrix auszurechnen. Eine Matrix
mit kontinuierlichen Indizes.
Sie kann bei Bedarf noch Spin-Quantenzahlen und andere Argumente haben.
Es ist
die Entwicklung der einlaufenden in der
Basis der auslaufenden Zustände. Die Wahrscheinlichkeits-Summen 1 sind mit
einem unitären S gewährleistet.
Aufgefasst als Operator, ordnet S jedem auslaufenden Zustand den einlaufenden
mit denselben Quantenzahlen zu,
Damit: . Operator S ist unitär.
Sei angenommen, die auslaufenden Zustände haben eine unitäre Entwicklung in
der Basis der freien Zustände , die zur potenzialfreien Schrödinger-
Gleichung gehören.
- .
Operator S hat dann seine äquivalente unitäre Matrix in der freien Basis:
- .
Bei der Symmetrie im Zentralpotenzial V(r) hängt
nur vom Winkel
zwischen den Impulsen und von der Energie ab.
Energie und Impulsbetrag
seien Erhaltungsgrößen. Die Winkelfunktion wird nun in Legendre-Polynome
entwickelt.
Die Unitarität der S-Matrix besagt:
.
Einsetzen der orthogonalen Legendre-Reihe und Raumwinkel-Integral
bringen:
Dies wird mit der folgenden Identität verglichen, die aus der
Vollständigkeits-Eigenschaft der folgt:
Ergebnis, es sind nur die Phasen unbekannt:
mit reellen Funktionen von Partialwellen-Nummer
und Impulsbetrag.
Die S-Matrix nimmt die Form an:
Die Physik der Streuung erscheint hier als eine Reihe energie-abhängiger
Phasenverschiebungen, indexiert mit der Drehimpuls-Quantenzahl.
Für eine ungestörte Welle sind alle Phasen Null in dieser Entwicklung.
Die Phase der Partialwelle gibt Auskunft, wie lange sie in dem Zentralpotenzial
aufgehalten wird. Bei Resonanzen wird die Welle beachtlich verzögert.
Man interpretiert eine Welle, die nahe am Zentrum eine Zeit lang gespeichert
wird und dann exponentiell abfließt, auch als einen 'unstabil gebundenen'
Zustand. Wie immer als Wahrscheinlichkeitswelle zu verstehen. Die Messung sieht
nach einer Versuchsreihe die Statistik von verzögerten Teilchen mit
der typisch exponentiellen Verteilung der Lebensdauer.
Ein eigenes Kapitel über Streuungen wäre nötig, wo konkret gearbeitet wird:
- Existenz und Berechnung der "in" bzw. "out"-Zustände
- Berechnung von S-Matrix, Streuamplituden, Wirkungsquerschnitten
- Berechnung der Phasengänge von Partialwellen
- optisches Theorem, Born-Approximation, Coulomb-Streuung
und mehr.
Listings plplot.py und pltable.py
Quantenmechanik/ H-Atom-Spektrum/ Pythonskript
Der Code plplot.py macht auch unnormierte Graphen
radialf.svg von einigen Radialfunktionen des Typs
- .
Die Radialgleichung im Coulombpotenzial endete oben praktisch in dieser Form:
Hier noch einiges dazu, wie die Laguerre-Polynome da hereinpassen.
Die Exponentialfunktion mal Polynom liefert bei Ableitungen immer wieder
Exponential mal Polynom, also lag es nahe, die Serien zu untersuchen.
Sei
- durch Differenzieren.
- ergibt sich mit Operatorgleichung:
- (Beweis Induktion).
Nun wird eine Differenzialgleichung für erstellt.
Mit zweiten Ableitungen folgt und damit für G:
- .
Spezialfall :
Nun sei das Polynom eingebaut, man neutralisiert so die in G.
Mit Ableitungs-Notation gilt
Die Differenzialgleichung für G wird in F umgeschrieben und lautet:
Ergebnis. Die Polynome lösen die Differenzialgleichung
Es gibt Rekursionen für den Hausgebrauch:
Die Polynome haben den Wert und sind orthogonal im Bezug auf
das mit gewichtete Integral:
Die assoziierten Laguerre-Polynome sind die Ableitungen der Basispolynome:
Die Vorzeichenwahl sichert einen positiven Wert bei z=0.
Wenn die Gleichung erfüllt, dann
die 'verschobene' Gleichung
- ,
was sich wohl durch Induktion zeigen lässt.
Jetzt schimmert die Radialgleichung durch, denn mit r mal einem konstanten
Faktor sollte sich der noch störende Koeffizient 2 entfernen lassen.
Mit :
Bleibt zu identifizieren: .
Damit ist die versprochene Lösung gefunden:
.
Für die Normalisierung der Wellenfunktion gibt es folgendes Integral: