Quantenmechanik/ Quantenfelder

Relativistische Quantentheorie

Quantisierung von Feldern

In der Punktmechanik hat jeder Freiheitsgrad ein Paar von Funktionen der Zeitachse, Ort und Impuls q(t), p(t). Eine Hamilton-Funktion H(t,p,q) diktiert die Zeitentwicklung mit dem Paar von gekoppelten Differenzialgleichungen

${\dot {q}}=\partial H/\partial p;\quad {\dot {p}}=-\partial H/\partial q.$

Von der Punktmechanik geht ein Schritt zur Kontinuums-Mechanik. Man stellt sich eine bewegliche Materie verschmiert vor und hat Funktionen von Ort und Zeit ${\vec {q}}(t,{\vec {x}}),{\vec {p}}(t,{\vec {x}})$, welche die momentanen Auslenkungen und Impulse pro Einheitsvolumen dieses Wackelpuddings beschreiben. Die Dynamik soll lokal sein, an jedem Punkt nur von den Variablen dort und von den unmittelbaren Nachbarn, also praktisch von den Ortsableitungen der Variablen, abhängen. Es gibt eine Hamilton-Dichte, Integrand eines Hamilton-Funktionals ${\bar {H}}(t):$

$H(t,x_{i},p_{k}(t,x),\partial _{i}p_{k}(t,x),\;q_{k}(t,x),\partial _{i}q_{k}(t,x));\quad {\bar {H}}(t)=\int d^{3}x\;H(...).$

Die Bewegungsgleichungen folgen aus den Funktionalableitungen

$\partial _{t}q=\delta {\bar {H}}/\delta p;\quad \partial _{t}p=-\delta {\bar {H}}/\delta q.$

Erinnerung. Die Funktionalableitung für eine Dichte $H(p,\partial _{k}p)$ bindet wegen partieller Integrationen die Ableitungen wie folgt ein:

${\frac {\delta {\bar {H}}}{\delta p}}={\frac {\partial H}{\partial p}}-\sum \nolimits _{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial \;\partial _{k}p}}.$

Die Hamilton-Gleichungen sind ein System von partiellen Differenzialgleichungen, in denen die paarweise konjugierten "Felder" $({\vec {p}},{\vec {q}})$ und ihre partiellen Ableitungen gekoppelt werden. Die Hamiltondichte und die dynamischen Paare sind reellwertig.

Von der Punktmechanik geht Heisenbergs Weg zur Quantenmechanik, so dass die Objekte p,q nicht mehr reelle Zahlen sind, sondern zu einer Algebra nichtvertauschender Elemente gehören: Matrizen, Operatoren, allgemeinere $C^{*}$-Algebren. Die Hamiltongleichungen werden als Operator-Gleichungen gelesen. H ist ein Hamilton-Operator, der algebraisch aus den Orts- und Impuls-Operatoren kombiniert wird. Das Axiom der Heisenberg-Mechanik ist die gleichzeitige Vertauschungsrelation

$[p,q]=p(t)q(t)-q(t)p(t)=-i,$

wo wir Einheiten mit ℏ=1 benutzen. Natürlich vertauschen p und q mit sich selbst zur selben Zeit, aber nicht mehr zu verschiedenen Zeiten. Ein präzise definierter Ort wird zwangsläufig unscharf. Definitionsbereich der Operatoren ist ein komplexer Vektorraum. Sie sind hermitesch, ihre Erwartungswerte sind reell, nur solche sind messbare physikalische Größen.

Die Bewegungsgleichungen für Operatoren haben die äquivalente Version

${\dot {p}}=i[H,p];\quad {\dot {q}}=i[H,q].$

Observablen G sind hermitesche Operatoren, sie sind typischerweise polynom-artig, also multiplikativ und linearkombiniert aus p,q aufgebaut, und sie haben auch die Zeitentwicklung ${\dot {G}}=i[H,G].$ Wir befinden uns im Heisenberg-Bild, es bewegen sich nicht die "Zustände", sondern die Observablen.

Die Quantenfeldtheorie bemüht sich, die Idee Heisenbergs über das "kanonische" Modell der Kontinuumsmechanik zu stülpen. Die Felder p,q werden zu operator-wertigen Funktionen von Ort und Zeit. Sie erfüllen die dynamischen Gleichungen. Aber mit Produkt-Verknüpfungen, die nicht mehr kommutativ sind. Zur gleichen Zeit, aber an verschiedenen Orten sollen die Feldoperatoren vertauschen, sie sind unabhängige Freiheitsgrade. Aber am selben Punkt soll der Kommutator der kanonischen Paare sich zu einer Deltafunktion aufschaukeln:

$[p_{i}(t,{\vec {x}}),q_{k}(t,{\vec {y}})]=-i\;\delta _{ik}\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}}).$

Das ist der Grenzwert eines Systems von quantisierter Punktmechanik auf einem Raumgitter, wenn mutig die Abstände der Punkte gegen Null gefahren werden.

Genau wie die Kontinuumsmechanik eine Idealisierung der Punktmechanik unendlich vieler Teilchen ist, erwarten wir von den Quantenfeldern eine Interpretation als Vielteilchen-Theorie. Die Teilchen sind die elementaren Anregungen der Felder. Wenn zum Beispiel ein Feld eine ebene Welle absondert, wäre dieser elementare Freiheitsgrad ganz wie ein harmonischer Oszillator zu quantisieren, mit einer Leiter von diskreten Energien. Das Niveau N enthält N Teilchen oder Quasiteilchen. Im Unterschied zur Schrödingergleichung ist die Teilchenzahl nicht konstant, sondern die Quantendynamik der Wechselwirkungen kann Teilchen erzeugen und vernichten.

Die Maxwell-Gleichungen sind das Musterbeispiel einer Dynamik des Kontinuums, deren Bewegungsgleichungen sich aus einer Hamiltondichte herleiten. Funktioniert da die kanonische Quantisierung? Kann die Sache zu ungleichzeitigen Vertauschungsrelationen integriert werden, die dennoch zahlenwertige Zweipunktfunktionen sind, nach dem Muster von Greenschen Funktionen, also Integral-Kernen? Bleibt die fundamentale Symmetrie des Elektromagnetismus erhalten, nämlich die Lorentz-Invarianz? Und die Symmetrie der Kopplung an andere Felder, genannt die Eichinvarianz?

Gibt es eine Darstellung einer solchen Algebra auf einem Hilbert-Raum mit positivem Skalarprodukt? Gibt es ein Spektrum von Eigenzuständen mit einer Untergrenze, der Energie des Vakuums? All diese Punkte und mehr müssen geklärt werden, bevor wir diese Quantisierung als ein Modell der Photonen akzeptieren. Der Bedarf danach ist groß. Die Natur befiehlt uns, dass die grob makroskopischen Maxwell-Gleichungen durch ein Quantenmodell abzulösen sind.

Mit Operatorfeldern wird formal in großem Umfang Grenzwert- und Differenzial- und Integral-Rechnung sowie Fourier-Transformation betrieben. Das ist alles im Sinn einer schwachen Konvergenz zu verstehen. Gemeint ist das Rechnen mit Matrixelementen der Operatoren, also ihre Auswertung zwischen Paaren von konstanten Hilbertraum-Vektoren. Diese Elemente sind immer noch Distributionen mit mancherlei Singularitäten. Erst die Faltung derselben mit glatten, schnell abfallenden Testfunktionen ergibt ausgeschmierte Matrixelemente, die klasische Mathematik erlauben. Sehr oft werden bedenkenlos Ableitungen, Integrale und Grenzwerte vertauscht, bis auf Fälle, die eklatant Unsinn verursachen. Die Physik hat es eilig, zu Resultaten zu kommen und verschiebt die mathematische Strenge auf später. Solange nur lineare Rechenschritte auf die operatorwertigen Felder losgehen, scheint es unpoblematisch, wie mit klassischen Feldern zu hantieren. Wenn Nichtlineares wie die Multiplikation solcher Objekte anfällt, wird es heikel.

Im Punktteilchen-Quantenmodell war der Ort ein Operator, aber die Zeit war nur ein Parameter. Ein Unterschied, der nicht auch relativistisch gelten kann. Im Quantenfeld-Modell werden Ort und Zeit gleich behandelt als bloße Parameter. Die Operatoren messen andere Freiheitsgrade, in den zusätzlichen Dimensionen der Feldvariablen.

Spielwiese: Die skalare Wellengleichung

Messen wir die Raumzeit-Punkte

$(ct,{\vec {x}})=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\;$ in Metern.

Die Wellengleichung mit der Geschwindigkeit c=1 und einem Masseterm

$\partial _{0}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})q=0\quad$ (Klein-Gordon)

ist motiviert durch die relativistische Energie-Impuls-Beziehung

$E^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}$

und de-Broglies Korrespondenz zwischen imaginär genommener Zeit- bzw. Ortsableitung und Energie bzw. Impuls.

Behauptung: Die relativistische Wellengleichung scheitert kläglich, wenn sie nach dem Muster der Schrödinger-Gleichung Zustände beschreiben soll, mit Wahrscheinlichkeitsinterpretation und mit einer Untergrenze der Energie. Selbst mit komplexwertigen Wellen.

Begründung. Die ebenen Wellen $\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}}-i\omega t)$ existieren nicht nur mit positiver Frequenz. Bei Schrödinger galt das, da die Zeit nur mit der ersten Ableitung auftritt. Hier ist mit jedem ω auch sein Negatives eine Lösung. Eine Schwierigkeit besteht, Energie als Frequenz zu setzen und eine begrenzte Skala mit so etwas wie einem Grundzustand zu definieren. Schwieriger ist noch, an eine Wahrscheinlickkeitsdichte im Raum und eine Stromdichte zu kommen, mit einer Kontinuitätsgleichung. Komplexwertige Funktionen sind da ein Muss, denn der Erhaltungssatz ist technisch der Noether-Strom der Symmetrie unter Phasendrehung. Ladung und Strom sind reellwertig.

$\partial _{0}\rho +{\vec {\nabla }}{\vec {j}}=\partial _{0}\;i[\phi ^{*}(\partial _{0}\phi )-(\partial _{0}\phi ^{*})\phi ]-{\vec {\nabla }}\;i[\phi ^{*}({\vec {\nabla }}\phi )-({\vec {\nabla }}\phi ^{*})\phi ]=0.$

Die Terme, die nicht sofort nach der Produktregel wegfallen, verschwinden wenn man die Klein-Gordon-Gleichung für φ und sein Konjugiertes einträgt. Das Problem: die Ladungsdichte ist nicht positiv definit. Zu jeder Lösung hat die Konjugierte die Dichte mit dem anderen Vorzeichen. Geht nicht gut für Einteilchen-Modelle. Es ist höchstens eine Ladungs-Dichte, keine von Wahrscheinlichkeit. Sind es viele Teilchen, mit beider Art Ladungen?

Der nächste Versuch wirft die Lösungen weg als Wellenfunktionen einzelner Teilchen im Schrödinger-Bild. Sind sie vielleicht zu retten als Operatorfunktionen für ein Kollektiv beliebig vieler Teilchen? Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung von Operatoren im Heisenberg-Bild?

Eine Hamilton-Dichte für die reellwertige Wellengleichung lautet

$H(p,q)={\frac {1}{2}}(p^{2}+({\vec {\nabla }}q)^{2}+m^{2}q^{2});\quad q(t,{\vec {x}})=\phi (t,{\vec {x}}).$

$\partial _{0}q=\delta {\bar {H}}/\delta p=p;\quad \partial _{0}p=-\delta {\bar {H}}/\delta q={\vec {\nabla }}^{2}q-m^{2}q.$

Es soll ein Operator-Ansatz ausprobiert werden mit dem Kommutator

$[p(t,{\vec {x}}),q(t,{\vec {y}})]=-i\;\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

Klassische ebene reelle Wellen der Klein-Gordon-Gleichung sind

$\{\cos ,\sin \}({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega (k)t);\quad \omega ({\vec {k}}):={\sqrt {{\vec {k}}^{2}+m^{2}}}.$

Sie lassen sich als Summe komplex konjugierter Terme schreiben

$w_{a}({\vec {k}})=a(k)\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}}-i\omega (k)t)+a^{*}(k)\exp(-i{\vec {k}}{\vec {x}}+i\omega (k)t).$

Die gutartigen Lösungen haben dann eine Fourier-Darstellung

$q(t,{\vec {x}})=\int {\frac {d^{3}k}{\sqrt {(2\pi )^{3}2\omega (k)}}}w_{a}({\vec {k}})$

wo ein Integrationsmaß mit Blick auf spätere Kovarianz gewählt wurde.

Fourier-Zerlegung des Hamilton-Funktionals für Lösungen.

Zunächst wird in die Dichte H(p,q) ein Gradiententerm eingebaut

$({\vec {\nabla }}q)^{2}={\vec {\nabla }}(q{\vec {\nabla }}q)-q({\vec {\nabla }}^{2}q)$

der bei der Integration wegfällt. Weil q die Wellengleichung erfüllen soll, wird

$p^{2}=(\partial _{0}q)^{2}{\text{ und }}-{\vec {\nabla }}^{2}q+m^{2}q=-\partial _{0}^{2}q.$

$\Rightarrow \;{\bar {H}}=(1/2)\cdot \int d^{3}x\;[(\partial _{0}q)^{2}-q\;\partial _{0}^{2}q]$

Mit Abkürzung für das Lorentz-Skalarprodukt $(kx)=\omega (k)t-({\vec {k}}\cdot {\vec {x}})$ wird die eckige Klammer in ebenen Wellen entwickelt, die Zeitableitungen werden zu Faktoren $(\pm i\omega ){\text{ oder }}-\omega ^{2}.$

${\bar {H}}=\int {\frac {d^{3}x}{2}}\int {\frac {d^{3}k\;d^{3}g}{(2\pi )^{3}{\sqrt {4\omega (k)\omega (g)}}}}\cdot {\Big (}[(-i\omega (k))a(k)e^{-ikx}+(i\omega (k))a(k)^{*}e^{ikx}]\cdot$

$[(-i\omega (g))a(g)e^{-igx}+(i\omega (g))a(g)^{*}e^{igx}]-[a(k)e^{-ikx}+a(k)^{*}e^{ikx}]\cdot$

$[(-\omega (g)^{2})a(g)e^{-igx}-\omega (g)^{2}a(g)^{*}e^{igx}]{\Big )}$

Die x-Integration produziert Deltafunktionen, $\delta ^{3}(k+g){\text{ und }}\delta ^{3}(k-g)$. Wegen ω(k) = ω(g) im ersten Fall ist zu sehen, dass die betroffenen Terme sich aufheben. Die Integration über g für den Rest ergibt dann

${\bar {H}}=(1/2)\int {\frac {d^{3}k}{2\omega (k)}}[2\omega (k)^{2}a(k)a(k)^{*}+2\omega (k)^{2}a(k)^{*}a(k)]$

${\bar {H}}=\int d^{3}k\;\omega (k)\cdot (a(k)a(k)^{*}+a(k)^{*}a(k))/2$

Hier wurde bewusst die Ordnung der a-Koeffizienten nicht geändert, weil sie später nichtkommutierende Operatoren werden. Sind sie gewöhnliche Zahlen, dann ist jedenfalls das Funktional reell und positiv definit. Das gilt für reell-wertige Wellen, erst bei komplexen Wellen kommt die ungemütliche Aufspaltung in Teile mit positiver und negativer Frequenz. Nun wird $q(t,{\vec {x}})$ zu einem Operator ernannt und die komplex konjugierten Koeffizienten in der Fourier-Entwicklung werden zu Paaren von hermitesch adungierten Operatoren $(a({\vec {k}}),a^{\dagger }({\vec {k}}))$ katapultiert, die also zwei Operatorfelder im Impulsraum bilden. Behauptung: Die Operatorfelder $(a,a^{\dagger })$ haben die Kommutatoren

$[a({\vec {k}}),a^{\dagger }({\vec {g}})]=\delta ^{3}({\vec {k}}-{\vec {g}}),$

$[a({\vec {k}}),a({\vec {g}})]=[a^{\dagger }({\vec {k}}),a^{\dagger }({\vec {g}})]=0.$

Weisen wir einfach nach, dass hieraus die gleichzeitigen Kommutatoren im Ortsraum folgen, nämlich wenn q der Wellengleichung gehorcht:

$[\partial _{0}q(t,{\vec {x}}),q(t,{\vec {y}})]=-i\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}}),$

$[\partial _{0}q(t,{\vec {x}}),\partial _{0}q(t,{\vec {y}})]=[q(t,{\vec {x}}),q(t,{\vec {y}}]=0.$

$[,]=\int {\frac {d^{3}k\;d^{3}g}{(2\pi )^{3}{\sqrt {4\omega (k)\omega (g)}}}}\cdot$

$[\;[(-i\omega (k))a(k)e^{-ikx}+(i\omega (k))a(k)^{\dagger }e^{ikx}],[a(g)e^{-igy}+(i\omega (g))a(g)^{\dagger }e^{igy}]\;]$

Es gibt nur die Mischterme $[a,a^{\dagger }]$ und mit der Antisymmetrie des Kommutators folgt das g-Integral so:

$[,]=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}\cdot 2\omega (k)}}\cdot [(-i\omega (k)e^{-ik(x-y)}-(i\omega (k))e^{-ik(y-x)}]$

Das k-Integral macht dann

$(-i/2)(\delta ^{3}(x-y)+\delta ^{3}(y-x))$

was gleich dem behaupteten Ortsraum-Kommutator ist. Die anderen, verschwindenden Kommutatoren werden ähnlich hergeleitet, wobei wieder nur die Mischterme zu beachten sind. Folgerung: Das Hamilton-Operator-Funktional hat die Darstellung

${\bar {H}}={\frac {1}{2}}\int d^{3}k\;\omega (k)[a^{\dagger }(k)a(k)+a(k)a^{\dagger }(k)]$

Diese Form wurde oben ausgerechnet. Die Impulsdarstellung ist zu deuten als die Algebra eines harmonischen Oszillators für jeden Impuls ${\vec {k}}$. Der Hamilton-Operator ist damit diagonalisiert. Jede ebene Welle hat einen Grundzustand und ein Spektrum von Energiequanten im Abstand ω(k). Zur Vereinfachung sei eine diskrete Summe statt einer kontinuierlichen angenommen. Ein Ozillator-Modus hat den Erzeuger $a^{\dagger }$ und den hermitesch adjungierten Vernichter a mit $[a,a^{\dagger }]=1$. Das Spektrumdes Operators

$(a^{\dagger }a+aa^{\dagger })=(1/2)+a^{\dagger }a$

ist die Leiter

$\{n+{\tfrac {1}{2}}|n=0,1,2...\}$

und der Operator $N=a^{\dagger }a$ hat als Eigenwerte die Quantenzahl der Anregung, die Teilchenzahl. Der Hamilton-Operator in der obigen Form hat eine unendliche Nullpunkts-Energie, wenn alle Moden die Teilchenzahl Null vorweisen. Um sie unter den Teppich zu kehren, wird bei Feldoperatoren ein Normalprodukt eingeführt, gleich dem naiven Operatorprodukt minus dem Vakuumerwartungswert desselben. Das System hat einen Hilbert-Raum, wenn man seinen Grundzustand, also sein Vakuum $|0\rangle$ definiert als das Tensorprodukt der Oszillator- Grundzustände aller Impulse ${\vec {k}}$. Zugegeben etwas abenteuerlich, diese Quantenfelder operieren auf einem überabzählbar unendlichen Tensorprodukt. Der Zustandsraum ist kein Raum von gewöhnlichen Funktionen mehr, vielleicht eher einer von Funktionalen auf einer Menge der klassischen Felder, gemessen als Oszillator-Auslenkungen im Impulsraum. Es gilt $a({\vec {k}})|0\rangle =0\;\forall {\vec {k}}$. Die unendliche Nullpunkts- Energie denkt man sich weg, da absolute Energiewerte nicht messbar sind. Der Hilbertraum wird rein algebraisch aufgebaut durch Anwendung aller Produkte von Erzeugern $a^{\dagger }(k)$ auf das Vakuum. Die Erzeuger und die Vernichter a(k) sind hermitesch adjungierte Operatoren. Die Quantenzustände des Klein-Gordon-Feldes bilden ein System von Bosonen. Man gibt ihnen eine Basis in der Teilchenzahl-Darstellung. In dieser Form wird der Hilbertraum als ein Fock-Raum bezeichnet.

Ladungen, Teilchen und Antiteilchen

Das zweite Spielzeug-Modell scheint eine triviale Variante zu sein, die Klein-Gordon-Gleichung mit komplexwertigen Feldern. Da die komplexe Phase in keiner Weise in der Gleichung erscheint, sind die Lösungen einfach Paare von reellen Lösungen, Realteil und Imaginärteil sind entkoppelt. Die globale Phase der Wellenfunktion ist in der 'freien' Gleichung ein überflüssiger Freiheitsgrad ohne Eigendynamik.

Aus mindestens zwei Gründen ist die komplexe Version interessant.

Erstens, die Kraftfelder speziell der Elektrodynamik koppeln genau an die Phasen und hauchen ihnen das Leben ein, sobald eine Wechselwirkung eingeschaltet wird. Die Konstanten der Kopplung sind die Ladungen.

Zweitens, in der reellen Quantisierung passierte ein gewisser Symmetriebruch. Eine Art Polarität des Quanten-Grundzustandes. Klassisch gab es die Amplitude eines Schwingungsmodus und seine komplex Konjugierte, symmetrisch, eine aus der anderen zu bestimmen. Quantisiert wurden daraus Vernichter und Erzeuger, unabhängig und völlig verschieden auf das Vakuum einwirkend. Mit dem komplexen Feld kommt mehr Symmetrie. Ein Erzeuger von Teilchen agiert gleichzeitig als Vernichter von Antiteilchen.

Ein Paar von Feldern wird zu einem komplexen Feld verklebt:

$q=(q_{1}+iq_{2})/{\sqrt {2}},\quad p=(p_{1}-ip_{2})/{\sqrt {2}}.$

Die Vorzeichen sind gewählt für eleganteres Rechnen mit komplexen Variablen. Die Hamilton-Dichte bleibt reell, mit komplexer Konjugation

$H(p,q,p^{*},q^{*})=p^{*}p+({\vec {\nabla }}q^{*})({\vec {\nabla }}q)+m^{2}\;q^{*}q$

Rechnen mit komplexen Feldvariablen

Es funktioniert vortrefflich, komplexe Tupel-Felder und ihre komplex-konjugierten formell wie unabhängige reelle Variablen zu behandeln, in Sachen Differenzialrechnung. Warum?

Sei eine Funktion zweier Variablen f(x,y) darstellbar mit einer algebraische Formel als Funktion $g(z,z^{*})$ der komplexen Variablen z=x+iy und ihrer Konjugierten. Vorzugsweise ein Polynom oder konvergente Reihe in diesen Argumenten. Hängt sie nicht von der Konjugierten ab, ist sie analytisch. Hängt sie nur von der Konjugierten ab, antianalytisch. Partielle Ableitungen von g nach z und $z^{*}$ werden so definiert, dass Rechenregeln diese Symbole als unabhängige Variablen ansehen können, und so dass analytisch bzw. antianalytisch bedeutet:

$\partial g/\partial z^{*}=0\;{\text{ bzw. }}\;\partial g/\partial z=0.$

Es folgt:

$\partial g/\partial z=(\partial f/\partial x-i\;\partial f/\partial y)/2$

$\partial g/\partial z*=(\partial f/\partial x+i\;\partial f/\partial y)/2$

Beispiel: Die komplexe Klein-Gordon-Welle hat die Hamilton-Dichte, geschrieben als Funktion der Variablenpaare (q,p) und $(q^{*},p^{*})$

$H=p^{*}p+({\vec {\nabla }}q^{*}\cdot {\vec {\nabla }}q)+m^{2}q^{*}q$

Man manipuliert mit ihnen als seien sie unabhängige reelle Variablen.

$\partial _{t}q=\delta {\bar {H}}/\delta p=p^{*};\quad -\partial _{t}p=\delta {\bar {H}}/\delta q=-{\vec {\nabla }}^{2}q^{*}+m^{2}q^{*}$

$\partial _{t}q^{*}=\delta {\bar {H}}/\delta p^{*}=p;\quad -\partial _{t}p^{*}=\delta {\bar {H}}/\delta q^{*}=-{\vec {\nabla }}^{2}q+m^{2}q$

Es folgt die Wellengleichung $(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2})q=0.$

Quantenfelder der komplexen Wellen

Man nehme zwei miteinander kommutierende hermitesche kanonische Feldpaare (q,p):

$[p_{1}(x),q_{1}(y)]=P(x,y);\quad [q_{1}(x),q_{1}(y)]=Q(x,y)$

$[p_{2}(x),q_{2}(y)]=P(x,y);\quad [q_{2}(x),q_{2}(y)]=Q(x,y)$

mit zahlenwertigen Distributionen P,Q. Sie werden zu einem komplexen Feld und seinem Adjungierten vereint.

$q(x)=(q_{1}(x)+iq_{2}(x))/{\sqrt {2}};\quad p(x)=(p_{1}(x)-ip_{2}(x))/{\sqrt {2}};$

$q^{\dagger }(x)=(q_{1}(x)-iq_{2}(x))/{\sqrt {2}};\quad p^{\dagger }(x)=(p_{1}(x)+ip_{2}(x))/{\sqrt {2}}.$

Die nichtverschwindenden Kommutatoren sind bei dieser Kombination:

$[p(x),q(y)]=[p^{\dagger }(x),q^{\dagger }(y)]=P(x,y);$

$[q(x),q^{\dagger }(y)]=Q(x,y)$

Die gekreuzten Kommutatoren

$[p(x),q^{\dagger }(y)]=0,\quad [p^{\dagger }(x),q(y)]=0,$

sowie [q(x),q(y)] werden Null, weil ein i²=-1 im Spiel ist. So geht es also zur kanonischen Quantisierung komplexer Felder.

Setzt man also zwei Exemplare der kanonischen Quantisierung des reellen Feldes ein, folgen diese nichttrivialen gleichzeitigen Kommutatoren:

$[p(t,{\vec {x}}),q(t,{\vec {y}})]=[p^{*}(t,{\vec {x}}),q^{*}(t,{\vec {y}})]=-i\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

Im Folgenden sei abgekürzt

$kx:=\omega ({\vec {k}})t-({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}),\quad \mu (k):={\frac {d^{3}k}{\sqrt {(2\pi )^{3}2\omega ({\vec {k}})}}}.$

Dies ist die Konvention für das Lorentz-Skalarprodukt und das Integrationsmaß.

Eine Fourier-Zerlegung des komplexen Feldes wird aufgebaut:

$q_{1}(x)=\int \mu (k)\;[a_{1}(k)\exp(-ikx)+a_{1}^{*}(k)\exp(ikx)]$

$q_{2}(x)=\int \mu (k)\;[a_{2}(k)\exp(-ikx)+a_{2}^{*}(k)\exp(ikx)]$

$q(x)=\int \mu (k)\;[u(k)\exp(-ikx)+v^{*}(k)\exp(ikx)]$

$q^{*}(x)=\int \mu (k)\;[v(k)\exp(-ikx)+u*(k)\exp(ikx)]$

$u(k)=(a_{1}(k)+ia_{2}(k))/{\sqrt {2}};\quad u^{*}(k)=(a_{1}^{*}(k)-ia_{2}^{*}(k))/{\sqrt {2}}$

$v(k)=(a_{1}(k)-ia_{2}(k))/{\sqrt {2}};\quad v^{*}(k)=(a_{1}^{*}(k)+ia_{2}^{*}(k))/{\sqrt {2}}$

Die erhaltene Ladung

$Q=i\int d^{3}x[q^{*}\partial _{0}q-q\;\partial _{0}q^{*}]$

wird im Impulsraum ausgerechnet.

$Q=i\int {\frac {d^{3}k\;d^{3}g}{(2\pi )^{3}{\sqrt {4\omega (k)\omega (g)}}}}\cdot {\Big (}[u(k)^{*}e^{ikx}+v(k)e^{-ikx}]\times$

$[(-i\omega (g))u(g)e^{-igx}+(i\omega (g))v(g)^{*}e^{igx}]-[u(k)e^{-ikx}+v(k)^{*}e^{ikx}]\times$

$[(i\omega (g))u(g)^{*}e^{igx}+(-i\omega (g))v(g)e^{-igx}]{\Big )}$

Die x-Integration produziert vier Deltafunktionen, mit Argumenten (k+g),(-k-g),(k-g),(-k+g). Die beiden ersten werden Null, wenn etwa gilt u(k)v(k)=v(k)u(k). Bei Zahlen ist das selbstverständlich. Weiter unten bei Operatoren wird es eingefordert, dass die ungesternten und die gesternten je untereinander kommutieren. Das andere Zeug in den eckigen Klammern macht dies, hier ohne die u,v zu vertauschen:

$i\omega (k)[(v(k)^{*}v(k)+v(k)v(k)^{*})-(u(k)^{*}u(k)+u(k)u(k)^{*})]$

Mt dem Faktor $(i/2/\omega (k))$ im vollen Ausdruck kommt heraus

$Q=\int d^{3}k[(u(k)^{*}u(k)+u(k)u(k)^{*})-(v(k)^{*}v(k)+v(k)v(k)^{*})]/2$

Nun werde alles zu Operatoren und jedes Sternchen zum Adjungier-Dolch. Wie im reellen Fall kommen die Kommutator-Regeln heraus.

${\begin{array}{lll}\;&[u(k),u^{\dagger }(g)]=\delta ^{3}(k-g)&[v[k),v^{\dagger }(g)]=\delta ^{3}(k-g)\\\;&[u(k),u(g)]=0&[v(k),v(g)]=0\\\;&[u^{\dagger }(k),u^{\dagger }(g)]=0&[v^{\dagger }(k),v^{\dagger }(g)]=0\\\end{array}}$

Jedes u oder $u^{\dagger }$ vertauscht mit jedem v oder $v^{\dagger }$.

Der Hilbert-Raum enthält zwei Familien von harmonischen Oszillatoren

die u-Quanten mit Vernichtern,Erzeugern $\;u(k),\;u^{\dagger }(k)$.

die v-Quanten mit Vernichtern,Erzeugern $\;v(k),\;v^{\dagger }(k)$.

Das Feld q erzeugt die einen und vernichtet die anderen, sein hermitesch adjungiertes Feld arbeitet in Gegenrichtung.

Das komplexe Feld hat eine Kontinuitätsgleichung und die erhaltene Ladung

$Q(t)=i\int d^{3}x(q^{*}{\dot {q}}-q{\dot {q}}^{*})=\;$ const.

In der quantisierten Version $q^{*}\to q^{\dagger }$ ein Operator. Dieser Ladungs-Operator kann im Impulsraum entwickelt werden und nimmt dort eine diagonalisierte Form an:

$Q=\int d^{3}k[u^{\dagger }(k)u(k)-v^{\dagger }(k)v(k)]$

Das wurde oben schon ausgerechnet und wird hier vereinfacht unter dem Einsatz des Kommutators

$u(k)u^{\dagger }(k)={\text{ const }}+u^{\dagger }(k)u(k).$

Die formal unendliche Konstante wird im Normalprodukt der Operatoren absorbiert.

In Q steht eine Teilchenzahldichte der u-Quanten minus Dichte der v-Quanten. Sie haben entgegengesetzte Ladungen, nicht unbedingt elektrischer sondern auch anderer Art. Sie werden als Teilchen und Antiteilchen interpretiert. Wichtig ist es zu wissen, welche Prozesse in der Natur bei der Vertauschung von Teilchen und Antiteilchen gleich bleiben und welche nicht. Zu studieren: der Symmetrie-Operator C der Ladungskonjugation.

Normalprodukte von Feldoperatoren

Das Normalprodukt ist grob gesagt das gewöhnliche Produkt von Operatoren minus seinem Vakuum-Erwartungswert.

Die einfachsten Operatoren sind die kanonischen Paare, die linearen Feldgleichungen gehorchen. Sie stellen idealisierte freie elementare Teilchen dar und sind Linearkombinationen aus Erzeugern und Vernichtern. Gibt es verschiedene Sorten von Teilchen, baut man einen Hilbertraum als Tensorprodukt der einfachen Fock-Räume. Man schaltet die Wechselwirkungen ein mit nichtlinearen Termen, einfachheitshalber mit Produkten von Feldern. Wie soll man die Produkte definieren? Felder kommutieren ja nicht, wenn ihre Träger im Minkowski-Raum nicht völlig raumartig zueinander liegen. Besonders die Hamilton-Operator-Dichte, die solche Monome enthält, sollte den Vakuumzustand nicht bewegen.

Nehmen wir an, die Operatoren haben Reihenentwicklungen als Polynome von Erzeugern und Vernichtern. Womöglich mit vielen Integralen über kontinuierliche Familien solcher Erzeuger/Vernichter an Stelle von unendlichen Summen. Dem formalen Polynomprodukt der Operatoren ordnet man ein Normalprodukt zu, indem man in jedem Monom die Erzeuger nach links schiebt, wobei sie ihre Ordnung unter sich beibehalten. Also brutal permutieren, nicht unter Benutzung einer Kommutator-Algebra rechnerisch umordnen. Geschrieben etwa

A(x)B(y)C(z) --> N(A(x),B(y),C(z)) = :A(x)B(y)C(z):

Eine Zusatzregel betrifft Erzeuger und Vernichter, die antivertauschen. Falls

$ba^{\dagger }=-a^{\dagger }b\;$ + const

gilt, wird beim Linksruck des Erzeugers der Vorzeichenwechsel mitgemacht. Das Normalprodukt bedeutet den Rausschmiss von einfachen Zahlen (mal Eins-Operator).

Das Matrixelement eines Operators mit dem Grundzustand links und rechts heißt sein Vakuumerwartungswert (VEW). Der VEW der normalgeordneten Operatoren verschwindet, weil der erste Erzeuger links und der letzte Vernichter ganz rechts mit dem angeflanschten Grundzustand Null ergeben. In allen Termen, von einem konstanten Term mal abgesehen. Das Konstrukt wurde erfunden, um manche unerwünschte Unendlichkeiten wegzuräumen. Bei bilinearen Formen, Summen von Produkten von je zwei Basis-Operatoren, Erzeugern und Vernichtern, unterscheiden sich der VEW des naiven Produkts und des Normalprodukts wegen der Vertauschungsrelationen um eine Konstante. Weil die Feldtheorie eine Tendenz zu unendlichen Summen und Integralen von Operatoren hat, beträgt die Konstante bisweilen Unendlich.

Elektromagnetische Felder

In den folgenden Abschnitten kommen mitunter zwei Abkürzungen vor,

QED = Quantenelektrodynamik,

VEW = Vakuumerwartungswert.

Zuerst, folgende zwei Annahmen gehen in das Modell ein:

• Das Einheitensystem für die Felder, Ladungen und Ströme ist so gewählt,

dass die Konstanten $(\epsilon _{0},\mu _{0},c)$ zu Eins werden und dass kein Faktor von der Sorte (4π) auftritt.

• Es sind keine polarisierbaren Medien vorhanden (ε=μ=1),

nur eventuelle Ladungsdichten ρ und Stromdichten j.

Die Einheiten, mit denen zusätzlich zu ℏ=c=1 die Maxwell-Gleichungen blitzsauber aussehen, messen die Ladung im "rationalisierten Gauß-System". Im legalen MKSA-SI ist das Coulomb-Potenzial $q_{1}q_{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)$. Im kompromisslosen Gauß-System $q_{1}q_{2}/r$; im rationalisierten, $q_{1}q_{2}/(4\pi r)$.

Die dimensionslose Feinstruktur-Konstante hat die drei Formeln

$\alpha =\{q^{2}/(4\pi \epsilon _{0}\hbar c);\quad q^{2};\quad q^{2}/(4\pi )\}.$

Klassischer Elektromagnetismus

Klassisch gibt es zwei dynamisch gekoppelte Vektorfelder (E,B), das elektrische und das magnetische. Zwei homogen-lineare Gleichungen:

$({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})=0;\quad {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\partial _{t}{\vec {B}}.$

Das B-feld hat keine Quellen und die Wirbel im E-feld werden von der Zeitableitung des B-feldes erzeugt.

Dazu kommen zwei inhomogene Gleichungen mit den Ursachen der Felder:

$({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})=\rho ;\quad {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\partial _{t}{\vec {E}}+{\vec {j}}.$

Die Quellen des E-feldes sind die Ladungen, die Wirbel im B-feld sind die zeitliche Änderung des E-feldes und die Ströme.

Nimmt man die Divergenz der letzten Gleichung, worin die Divergenz einer Rotation verschwindet und die vorletzte Gleichung eingesetzt wird, folgt die Kontinuitätsgleichung für Strom und Ladung:

$\partial _{t}\rho +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}})=0.$

Jede Komponente des Paares (E,B) hat zwar eine Gleichung für ihre Zeitableitung, aber dazu kommen die zeitunabhängigen Nebenbedingungen. Man möchte das System einkochen auf die geringste Zahl von wirklich unabhängigen Feldvariablen. Das homogene Gleichungpaar ist tatsächlich eine Bedingung der Integrierbarkeit: die Felder lassen sich aus einem Viererpotenzial

$(A_{\mu })=(A_{0},{\vec {A}})=(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})$

durch Ableitungen gewinnen:

${\vec {E}}={\vec {\nabla }}A_{0}-\partial _{t}{\vec {A}};\quad {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}.$

Die homogenen Gleichungen ergeben sich aus der Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen.

Ein Vektorpotenzial kann mit dem Vierer-Gradienten einer beliebigen Funktion $f(t,{\vec {x}})$ verschoben werden.

$A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }f$

erzeugt dieselben (E,B)-Felder, was wieder mit der Vertauschbarkeit der Ableitungen leicht einzusehen ist. Ein additiver Gradient macht eine Eichtransformation. Von den vielen Möglichkeiten, ein A-feld durch eine Eichung zu vereinfachen, wählen wir hier eine Strahlungseichung im ladungsfreien Raum:

$A_{0}=0;\quad ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0.$

Ausgehend von einem ungeeichten Viererpotenzial A geht es zur Eichung in zwei Schritten. Zuerst wird $A_{0}$ wegtransformiert mit einer Eichfunktion, deren t-Ableitung die Kompensation vornimmt,

$f(t,{\vec {x}})=-\int _{0}^{t}dt'\;A_{0}(t',{\vec {x}}).$

Dann bleibt das Problem, eine zweite t-unabhängige Eichfunktion g zu erzeugen, die folgendes erreicht, erst einmal zur Zeit t=0:

$({\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}+{\vec {\nabla }}g))=0;\quad \sigma =({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}});\;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}^{2}\;g=\Delta g=-\sigma .$

Diese dreidimensionale Potenzialgleichung ist integrierbar mit dem Coulombschen Integralkern, so etwa:

$g({\vec {x}})=\int {\frac {d^{3}y}{4\pi |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}\sigma ({\vec {y}}).$

Aber wieso hängt g(*) nicht von der Zeit ab? Weil $A_{0}=0$ wurde, ist die Zeitableitung des A-Dreiervektors das E-feld, dessen Divergenz die Ladungsdichte ist. Ist keine Ladung da, verschwindet also bereits die Zeitableitung von $\sigma (t,{\vec {x}})$, denn dieses ist die Divergenz der Zeitableitung von A, wegen vertauschender Ableitungen.

Eine Lösung der freien Maxwell-Gleichungen, ohne Ladungen und Ströme, ist also gegeben durch ein divergenzfreies Vektorfeld ${\vec {A}}(t,{\vec {x}})$, von dem noch $\partial _{t}{\vec {E}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}$ zu fordern ist. Das besagt: Kein Strom. Dass keine Ladung da ist, wurde in die Strahlungseichung eingebaut. Setzen wir ein:

${\vec {E}}=-\partial _{t}{\vec {A}};\quad {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}.$

Ein zweimaliger Rotations-Operator hat die Rechenregel

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-{\vec {\nabla }}^{2}\;{\vec {A}}.$

Mit dem divergenzfreiem Vektorfeld folgt

$(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2})\;{\vec {A}}=\square {\vec {A}}=0.$

Alle Komponenten des A-feldes erfüllen die freie Wellengleichung.

Wie beim Klein-Gordon-Feld kann eine Fourier-Entwicklung der braven Lösungen in ebenen Wellen hingeschrieben werden. Für jeden Wellenvektor ${\vec {k}}$ gibt es drei komplexe Koeffizienten, aber die Divergenzfreiheit liefert eine lineare Gleichung zwischen ihnen. Es läuft darauf hinaus, dass die elektromagnetische Welle zwei Freiheitsgrade hat, nämlich zwei transversale Polarisationen. Die longitudinale Polarisation fehlt, sie ist verboten.

Hamilton-Formalismus

Wir suchen zu den drei Komponenten des A-feldes, die als q-Variablen angesehen werden, drei komplementäre p-Variablen.

Die Zeitableitung von A soll (-E) ergeben, andererseits ist dies auch die Funktionalableitung des H-Funktionals nach p. Nehmen wir (-E) als p-Variablen. Dann ist bereits E²/2 ein brauchbarer Term in der Hamilton-Dichte. Nun muss noch die Zeitableitung von E die Rotation von B abgeben, gleich zweifache Rotation von A. Gefordert war andererseits: $-\partial _{t}p=(\delta {\bar {H}}/\delta q),\;q=A.$

Als Funktionalableitung nach A käme der Term eventuell aus einer quadratischen Form von B in der H-dichte, etwa $Z={\vec {B}}^{2}/2$ ? Test:

$Y_{i}:=\delta {\bar {Z}}/\delta A_{i}=-\sum \nolimits _{j}\partial _{j}[\partial Z/\partial (\partial _{j}A_{i})]$

$\partial Z/\partial (\partial _{j}A_{i})=\sum \nolimits _{k}B_{k}\partial B_{k}/\partial (\partial _{j}A_{i})=\sum \nolimits _{k}B_{k}\epsilon _{kji}B_{k}=\sum \nolimits _{ji}\epsilon _{kji}\partial _{j}A_{i}$

$Y_{i}=-\sum \nolimits _{jk}\partial _{j}B_{k}\epsilon _{kji}=\sum \nolimits _{jk}\epsilon _{ijk}\partial _{j}B_{k}$

Richtig geraten. In der Tat kommt die Rotation von B heraus, also

$\partial _{t}E={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}.$

Resultat: Eine Hamilton-Dichte für das Potenzialfeld lautet

$H(q,p)=H({\vec {A}},-{\vec {E}})=({\vec {B}}^{2}+{\vec {E}}^{2})/2;\quad ({\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}},\;({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0).$

Fourier-Superposition aus ebenen Wellen.

Das reelle Vektorfeld ${\vec {A}}(t,{\vec {x}})$ genügt

der Wellengleichung $(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}){\vec {A}}=0$

und der Nebenbedingung $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0.$

Es hat die Fourier-Darstellung $\{a({\vec {k}},s)\}$, mit Indizes

$s,r=1,2;\quad k_{0}=\omega ({\vec {k}})=|{\vec {k}}|;\quad kx=k_{0}t-({\vec {k}}\cdot {\vec {x}})$

${\vec {A}}(t,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}k}{\sqrt {(2\pi )^{3}2\omega }}}{\vec {\epsilon }}(k,s)[a(k,s)\exp(-ikx)+a^{*}(k,s)\exp(ikx)]$

Hier sind die ${\vec {\epsilon }}(k,s)$ Paare von Einheitsvektoren der Polarisation, die transversal zum Wellenvektor liegen: $({\vec {\epsilon }}(k,s)\cdot {\vec {k}})=0$, was die Nebenbedingung zufriedenstellt. Man wählt die zwei Polarisationen orthonormal und mit folgender Umklapp-Symmetrie:

$({\vec {\epsilon }}(-k,1),{\vec {\epsilon }}(-k,2))=(-{\vec {\epsilon }}(k,1),{\vec {\epsilon }}(k,2))\;\Rightarrow \;({\vec {\epsilon }}(k,s)\cdot {\vec {\epsilon }}(-k,r))=(-1)^{s}\delta _{sr}$

Das Integralmaß wurde mal wieder so austariert, dass das Energie-Funktional im Impulsraum gut aussieht.

Mit $\;{\vec {E}}=-\partial _{0}{\vec {A}};\quad {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}:$

${\bar {H}}=\int {\frac {d^{3}x}{2}}(E^{2}+B^{2})=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k\;\omega (k)\;a^{*}(k,s)a(k,s)$

Ausrechnung.

${\bar {H}}=\int {\frac {d^{3}x}{2}}{\Big [}\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}k\;d^{3}g}{(2\pi )^{3}2{\sqrt {k_{0}g_{0}}}}}(A+B+C+D){\Big ]}$

$A=a(k,s)a(g,r)\exp(-i(k+g)x)[({\vec {\epsilon }}(k,s){\vec {\epsilon }}(g,r)(-ik_{0})(-ig_{0})+((i{\vec {k}}\times {\vec {\epsilon }}(k,s))\cdot (i{\vec {g}}\times {\vec {\epsilon }}(g,r))]$

$B=a(k,s)a^{*}(g,r)\exp(-i(k-g)x)[({\vec {\epsilon }}(k,s){\vec {\epsilon }}(g,r)(-ik_{0})(ig_{0})+((i{\vec {k}}\times {\vec {\epsilon }}(k,s))\cdot (-i{\vec {g}}\times {\vec {\epsilon }}(g,r))]$

$C=a^{*}(k,s)a(g,r)\exp(-i(g-k)x)[({\vec {\epsilon }}(k,s){\vec {\epsilon }}(g,r)(ik_{0})(-ig_{0})+((-i{\vec {k}}\times {\vec {\epsilon }}(k,s))\cdot (i{\vec {g}}\times {\vec {\epsilon }}(g,r))]$

$D=a^{*}(k,s)a^{*}(g,r)\exp(i(k+g)x)[({\vec {\epsilon }}(k,s){\vec {\epsilon }}(g,r)(ik_{0})(ig_{0})+((-i{\vec {k}}\times {\vec {\epsilon }}(k,s))\cdot (-i{\vec {g}}\times {\vec {\epsilon }}(g,r))]$

Das x-Integral gibt den Termen A und D eine $\delta ^{3}({\vec {k}}+{\vec {g}})$, der Exponentialfaktor und der Nenner $(2\pi )^{3}$ werden verdaut. Also ersetzt man dort ${\vec {g}}$ durch $-{\vec {k}}$. In den zwei mittleren Termen setze man ${\vec {g}}={\vec {k}}$. In allen Fällen wird $g_{0}=k_{0}$.

Im Term A hat man dann $(-k_{0}^{2})$ beim Skalarprodukt und $+|{\vec {k}}|^{2}$ aus dem Vektorprodukte-Skalarpodukt, wenn darin Einheitsvektoren ${\hat {k}}$ verbaut werden. Dann erhält man Faktoren vom Typ $({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})$ und $({\hat {k}}\times {\vec {u}})\cdot ({\hat {k}}\times {\vec {v}})$, wo alle Beteiligten normiert und orthogonal oder parallel sind. Diese Faktoren sind gleich und Term A wird Null. Term D verschwindet genauso.

Im Term B gibt es $k_{0}^{2}$ beim Skalarprodukt und auch $+|{\vec {k}}|^{2}=k_{0}^{2}$ beim anderen Produkt. Das Indexpaar s,r macht jeweils ein $\delta _{sr}$ wegen der orthonormalen ε. Insgesamt bleibt übrig $\sum \nolimits _{s}(2k_{0}^{2})a^{*}(k,s)a(k,s).$

Term C funktioniert wie B, Ergebnis $=\sum \nolimits _{s}(2k_{0}^{2})a(k,s)a^{*}(k,s).$

Ein Divisor $(2k_{0})$ wird noch geschluckt und das Resultat ist da:

${\bar {H}}=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k\;k_{0}\;[a^{*}(k,s)a(k,s)+a(k,s)a^{*}(k,s)]/2.$

Wieder haben wir die Ordung der Koeffizienten nicht gestört, um sie weiter unten in Operatoren zu verwandeln.

Bemerkung: Bisher wurde alles, was die Lorentz-Symmetrie des Elektromagnetismus angeht, geflissentlich ignoriert und mit den Eichungen auch hart gebrochen. Dass der Hamilton-Formalismus aus dem Lagrange-Formalismus folgt, nachdem man eine geeignete "Zeit"-Koordinate wählt, wurde auch nicht genutzt. Die Formulierung als Wirkungsprinzip mit Lorentz-invarianten Lagrangedichten wird auf später verschoben.

Quantisierung des Elektromagnetismus

Das freie Maxwell-Feld im kanonischen Formalismus hat drei konjugierte Variablenpaare. Man versucht, ihnen mit kanonischen Kommutatoren ein neues Leben als Operator einzuhauchen. Zu bedenken ist aber, dass Nebenbedingungen existieren, hier die Divergenzfreiheit. Jeder Wellenvektor enthält zwei entkoppelte Freiheitsgrade von Operatoren, die isomorph sein sollen zum Harmonischen Oszillator. Der Hamilton-Operator sollte die Summe all dieser Oszillator-Energien sein. Gibt es einen Hilbertraum für die Photonen, wie beim skalaren Feld als Fock-Raum von Bosonen mit einer Teilchenzahldarstellung versehen? Schließlich muss das ganze System in allen Lorentz-Inertialsystemen und mit allen Eichungen die gleiche Physik ergeben.

Analog zum reellen Klein-Gordon-Feld erblühen die Koeffizienten a(k,s) und Konjugierte $a^{*}(k,s)$ zu Operatoren, nämlich Vernichtern und Erzeugern von Photonen. Die Oszillator-Algebra soll so gehen:

$[a(k,s),a^{\dagger }(g,r)]=\delta ^{3}({\vec {k}}-{\vec {g}})\delta _{sr}$

$[a(k,s),a(g,r)]=0;\quad [a^{\dagger }(k,s),a^{\dagger }(g,r)]=0.$

Das soll nun zu den Ortsraum-Kommutatoren führen wie folgt, weil die kanonischen Impulse für die $A_{i}$ die Größen $(-E_{i})$ sind:

$[A_{i}(t,{\vec {x}}),A_{j}(t,{\vec {y}})]=0;\quad [E_{i}(t,{\vec {x}}),E_{j}(t,{\vec {y}})]=0$

$[-E_{i}(t,{\vec {x}}),A_{j}(t,{\vec {y}})]=-i\delta _{ij}\;\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

Die Ausrechnung wird zeigen, dass es nicht ganz reibungslos klappt und dass der Zwang zur Transversalität einer Delta-Distribution ein paar Ableitungsterme verpasst. Die Quantisierung unter Nebenbedingungen ist nicht mehr so hundertprozentig kanonisch.

$[A_{h}(t,{\vec {x}}),\partial _{t}A_{j}(t,{\vec {y}})]=\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}k\;d^{3}g}{(2\pi )^{3}{\sqrt {(2k_{0})(2g_{0})}}}}\epsilon _{h}(k,s)\epsilon _{j}(k;s)\cdot$

${\Big (}[a(k,s)\exp(-ikx),a^{\dagger }(g,r)\exp(igy)(ig_{0})]+[a^{\dagger }(k,s)\exp(ikx),a(g,r)\exp(-igy)(-ig_{0})]{\Big )}$

Hier wurden schon die verschwindenden Kommutatoren zwischen den gleichsinnigen a-Operatoren weggewischt. Wird im zweiten Kommutator hier die Ordnung vertauscht (Minuszeichen) und werden die Integrations- und Summenvariablen umgetauft, dann sind beide Terme so gut wie deckungsgleich und addieren sich. Bei den Kommutatoren vom Typ $[A_{h},A_{j}]$ und $[\partial _{t}A_{h},\partial _{t}A_{j}]$ würden sie sich subtrahieren. Ohne weitere Schreibarbeit schließt man schon, dass solche verschwinden.

Jedenfalls wird jetzt $\delta _{sr}\delta ^{3}({\vec {k}}-{\vec {g}})$ eingesetzt, die g-Integration erledigt und ein verbleibendes $(2ik_{0})$ wird gegen ein Stück Nenner gekürzt. Es bleibt der Kommutator

$=i\;\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\epsilon _{h}(k,s)\epsilon _{j}(k,s)\exp(-ik(x-y))$

Die Summe über den Index s=1,2 wird klarer mit der Beobachtung, dass die drei Vektoren

$({\vec {\epsilon }}(k,1),{\vec {\epsilon }}(k,2),{\hat {k}}={\vec {k}}/|k|)$

eine orthogonale Matrix bilden. Folglich

$\sum \nolimits _{s}\epsilon _{h}(k,s)\epsilon _{j}(k,s)+{\hat {k}}_{h}{\hat {k}}_{j}=\delta _{hj}$

Der Kommutator nun, die wegfallende Zeitabhängigkeit nutzend:

$=i\;\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\exp(i{\vec {k}}({\vec {x}}-{\vec {y}}))(\delta _{hj}-{\hat {k}}_{h}{\hat {k}}_{j})$

Das Integral über den konstanten Teil wäre eine Delta-Distribution, jedoch mit den k-abhängigen Teilen kommt eine matrixwertige andere Distribution heraus, die als transversale Deltafunktion definiert wird:

$\delta _{hj}^{T}(x):=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\exp(i{\vec {k}}{\vec {x}})(\delta _{hj}-{\hat {k}}_{h}{\hat {k}}_{j})$

Sie neutralisiert Divergenzen, indem sie als Distribution die Gleichung erfüllt: $\sum \nolimits _{h=1}^{3}\partial _{h}\delta _{hj}^{T}=0.$

Tatsächlich, denn in der Fourier-Darstellung bedeutet das

$\sum \nolimits _{h}k_{h}(\delta _{hj}-k_{h}k_{j}/({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}))=k_{j}-k_{j}=0.$

Der korrigierte Feldkommutator lautet nun:

$[A_{h}(t,{\vec {x}}),-E_{j}(t,{\vec {y}})]=i\;\delta _{hj}^{T}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

Der Energie-Operator, gleich Hamilton-Operator, summiert alle Frequenzen gewichtet mit Teilchenzahl-Operatoren und wird wie beim Klein-Gordon-Feld als Normalprodukt von undefinierten, unendlichen Vakuum-Beiträgen gereinigt. Gemäß der ausgerechneten Formel erscheinen die Operatoren $[a^{\dagger }(k,s)a(k,s)+a(k,s)a^{\dagger }(k,s)]/2$. Das sind die Teilchenzahl-Operatoren mit konstanter Verschiebung (1/2), und deren unendliches Integral boxen wir weg mit dem Normalprodukt.

${\bar {H}}=\int {\frac {d^{3}x}{2}}N(E^{2}+B^{2})=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}k\;\omega (k)\;a^{\dagger }(k,s)a(k,s).$

Die Dirac-Felder

Die zweite Zeitableitung in der Klein-Gordon-Gleichung war von Anfang an unbeliebt. Andererseits muss in relativistischen Modellen wohl die Ordnung von Orts- und Zeitableitungen gleich sein, was die Schrödinger- Gleichung nicht leistet. Dirac suchte also nach linearen Gleichungen erster Ordnung in Ort und Zeit, die nach mehrfacher Differenzierung doch die Klein-Gordon-Wellen liefern. Maxwell-Gleichungen sind zwar relativistisch und erster Ordnung, aber wie die Masse dort einbauen?

Diracs siegreicher Ansatz hat vier Matrizen $\beta ,{\vec {\alpha }}$ :

$i\partial _{t}\Psi =-i({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }})\Psi +m\beta \Psi .$

Der Faktor i trägt der Erwartung Rechnung, dass ebene Wellen mit dem eingefleischten Zeitverhalten exp(-iωt) auftreten sollen. Ab der Dimension 4 gibt es die verlangten paarweisen Matrixprodukte, so dass die zweite Zeitableitung die Wellengleichung abwirft.

$-\partial _{0}^{2}\Psi =-{\vec {\nabla }}^{2}\phi +m^{2}\Psi .$

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\;(i\neq j);\quad \alpha _{i}^{2}=1$

$\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0;\beta ^{2}=1.$

Ein Diracscher Operator ist eine Art Quadratwurzel des Klein-Gordon-Operators $\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}+m^{2}$.

Wie viele Freiheitsgrade, verstanden als Hamiltonsche Paare, stecken nun in dem System? Es gibt 4x4-Matrizen als reelle α und eine rein imaginäre β, die funktionieren. Nach Ausklammern eines Faktors i ist die Dirac-Gleichung dann reell und hat Wellenfunktionen mit 4 reellen Komponenten. Der Trick ist nun, die Dirac-Funktionen doch komplex zu lassen und zu zeigen, dass damit Hamiltons konjugierte p-Partner drin stecken. Die Gleichung hat also vier konjugierte Paare, die Wellen führen sie alle mit im Wertebereich $\mathbb {C} ^{4}$ der Dirac-Spinoren.

Hinter den 4 verstecken sich zwei Teilchen mit je zwei Orientierungen im Raum, insbesondere das Elektron und das Positron mit dem Spin 1/2.

Ausrechnung. Es gibt drei hermitesche spurfreie 2x2-Pauli-Matrizen, davon sind $\sigma _{1},\sigma _{3}$ reell, $\sigma _{2}$ ist imaginär. Sie ergeben

$\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}\;\mathbf {1} .$

Mit drei 4x4- Matrizen, nämlich den Blockdiagonalen diag($\sigma _{i},-\sigma _{i}$) und einer vierten Matrix die antidiagonal zwei 1-Matrizen(2x2) hat, gibt es vier Matrizen M, die eine Clifford-Algebra eine Nummer größer darstellen:

$M_{\mu }M_{\nu }+M_{\nu }M_{\mu }=2\delta _{\mu \nu }.$

Als Tensorprodukte (k=1,2,3) etwa so zu lesen, mit $\sigma _{3}={\text{ diag}}(1,-1)$:

$M_{k}=\sigma _{3}\otimes \sigma _{k};\quad M_{0}=\sigma _{1}\otimes \mathbf {1} .$

Man ernenne die imaginäre $M_{2}$ zu β und die drei anderen in irgendeiner Reihenfolge zu ${\vec {\alpha }}$. Die Matrizen sind hermitesch und spurfrei. Allein β ist antisymmetrisch.

In der reellen Version der Gleichung haben die Gradienten-Terme also symmetrische reelle Matrizen, der Massenterm hat eine antisymmetrische reelle Matrix. Zeigen wir jetzt, wie der Hamilton-Formalismus und die Komplexifizierung der Gleichung ideal zusammenkommen.

Eine (wie immer reelle) Hamilton-Dichte H(p,q) habe bilineare Terme

$\sum \nolimits _{i,k}p_{i}A_{ik}q_{k}+\sum \nolimits _{i,k}p_{i}S_{ik}\partial q_{k},$

wo in der zweiten Summe irgendeine der Ortsableitungen gemeint ist. Leicht zu zeigen: Die Hamilton-Gleichungen produzieren identische Formeln für die Variablen p und q, wenn S eine symmetrische und A eine antisymmetrische Matrix ist. Eine korrekte Dichte für die Dirac-Gleichung mit reellen Argumenten wäre folglich

$H(p,q)=p^{T}\;(-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}-im\beta )q.$

Funktionen p,q erfüllen beide dieselbe reelle Wellengleichung. Für p=q verschwindet das Funktional, wegen der Antisymmetrie von β und weil der symmetrische Teil eine Ableitung wird.

Ein Ausdruck mit komplex Konjugierten, modulo totale Ableitungen:

$(p-iq)^{T}A(p+iq)+(p-iq)^{T}S\;\partial (p+iq)=2ip^{T}Aq+2ip^{T}S\;\partial q$

ist imaginär, (2i) mal die obige Hamilton-Dichte. Normal, denn vom komplexen Standpunkt her ist der Operator darin anti-hermitesch.

Verpackt man also p,q zu einem komplexen Tupel, bekommt man die vier kanonischen Paare zusammen frei Haus geliefert. Die reelle Hamiltondichte wird umgeschrieben mit

$\Psi =(p+iq)/{\sqrt {2}};\;p={\sqrt {2}}\;{\text{Re}}(\Psi );\;q={\sqrt {2}}\;{\text{Im}}(\Psi ).$

$H(\Psi ,\Psi ^{*})=\Psi ^{*T}\;(i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}-m\beta )\Psi .$

Probleme der Diracschen Wellengleichung

Die Dirac-Gleichung hat ein schöneres Kleid, wenn alle Ableitungsterme gleichartig aussehen und der Masseterm keine Matrix mitführt. Man multipliziert die Urform mit β, definiert die Gamma-Matrizen

$\{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}=\{\beta ,\beta \alpha _{1},\beta \alpha _{2},\beta \alpha _{3}\}$

und erhält mit der Summenkonvention für Hoch-Tief-Indexpaare:

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\;\Psi -m\Psi =0.$

Die Gleichung ist reell, wenn wie hier die Gamma alle rein imaginär daherkommen. Obwohl es zahllose Darstellungen dieser Matrizen gibt mit der definierenden Bedingung

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }=2{\text{ diag}}(1,-1,-1,-1),$

und obwohl seriöse Bücher die weitere Theorie unabhängig von der Darstellung entwickeln, setzen wir im Folgenden imaginäre Gamma voraus; es erlaubt kleine Schnellschlüsse.

Dient der Faktor i nur dazu, die unbefangene Leserin zu täuschen? Sicherlich kommt er vom Reflex der Physiker, alles was Wellen hat mit den Faktoren vom Typ exp(i*irgendwas) anzurühren. Und vom Reflex, alle Operatoren hermitesch zu machen; erste Ableitungen bekommen so fast automatisch ihren imaginären Faktor.

Es kommt ein Aber. Dies war nur die freie Wellengleichung, ohne irgendein Potenzial, das die Wellen streut oder gar zu kompakten Wolken bindet. Um ein Potenzial anzukoppeln und wie bei der Schrödinger-Gleichung die linear-homogen-hermitesche Struktur zu wahren, also das Superpositionsprinzip und reelle Erwartungswerte, kommt relativistisch ein Vektorpotenzial in Frage, welches als Matrix $\gamma ^{\mu }A_{\mu }$ multiplikativ andockt.

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\;\Psi -m\Psi =\gamma ^{\mu }A_{\mu }\;\Psi .$

• Bei Schrödinger wurde $(i\partial _{t}\;\to \;i\partial _{t}-V).$
• Ein Potenzialterm wird relativistisch kovariant verallgemeinert, $(i\partial _{\mu }\;\to \;i\partial _{\mu }-A_{\mu }).$

Die freie Gleichung ist reell, die Potenzialkopplung rein imaginär. Die Nachbarschaft an jedem Punkt der Dirac-Welle, also die partiellen Ableitungen, zerren nur an der Amplitude. Jedoch das Potenzial zerrt senkrecht dazu an der Phase, an einem Freiheitsgrad der inneren Symmetrie. Es handelt sich um eine Eichkopplung.

Wie bei der komplex gemachten Klein-Gordon-Welle kommt eine Kontinuitätsgleichung auf, eine erhaltene Ladungsdichte und eine Stromdichte. Lokal-bilinear aus der Wellenfunktion kombiniert und reell, aber mit besseren Eigenschaften als bei den skalaren Wellen. Die Erhaltungsgröße hat eine positiv definite Dichte und ist auch bei reellen Lösungen brauchbar (wo die Klein-Gordon-Dichte verschwindet).

Die Kontinuitätsgleichung gilt mit und ohne Potenzialterm. Sie lautet mit $\Psi ^{\dagger }:=\Psi ^{*T}$ :

$\partial _{t}\rho +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}})=0;\quad \rho =\Psi ^{\dagger }\Psi ;\quad j_{i}=\Psi ^{\dagger }\alpha _{i}\Psi$

Die Wellengleichung hier noch einmal, so reell es geht, geschrieben:

$\partial _{t}\Psi =[-{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}-m(i\beta )-i(A_{0}+{\vec {\alpha }}{\vec {A}})]\Psi$

Sie hat als Terme ohne Ableitung den reellen Massefaktor mit schiefsymmetrischer Matrix und eine symmetrische imaginäre Matrix mit dem Potenzial. Beides fällt heraus, wenn man die Zeitableitung von ρ nach der Produktregel ausrechnet. Der Rest mit symmetrischen Alpha-Matrizen ist genau die Divergenz des bilinearen Stroms.

Die Ladung ist positiv definit. Sie wurde ursprünglich wie bei Schrödinger-Wellen als Einteilchen-Wahrscheinlichkeitsdichte gesehen. Und Diracs Gleichung als Fortschritt verglichen zu Klein-Gordon.

Nur, Dirac hat eine Ladungs-Symmetrie, die bei Schrödinger fehlt. Die komplex konjugierte Welle gekoppelt ans negative Vektorpotenzial erfüllt auch die Gleichung. Beschreibt sie Teilchen mit umgekehrter Ladung? Das Zeitverhalten bei Schrödinger war immer exp(-i ω t) mit einer Frequenz, die die Energie misst und eine Untergrenze, keine Obergrenze hatte. Quantenschwingungen sind komplexe Zahlen, die sich drehen, sind nicht bloß klassische Sinus- oder Kosinusfunktionen.

Bei Diracwellen werden nun positive und negative Frequenzen unbegrenzt. Sind Frequenz und Energie immer noch linear nach E=hν verknüpft? Wo ist der stabile Grundzustand? Ohne jetzt die alten Rettungsversuche mit der Löchertheorie und dem mit Partikeln halb vollgestopften Vakuum zu bemühen, erklären wir, dass die Einteilchen- Interpretation tot ist. Erst mit dem quantisierten Dirac-Feld steht widerspruchsfrei ein Spektrum von Anregungen bereit, in dem die Antiteilchen mit negativer Frequenz, aber positiver Energie auftreten. Teilchen und Antiteilchen drehen eben ihre Phasen im Gegensinn, wenn die Zeit vergeht. Das Vakuum bleibt ein stabiles Energie-Minimum. Gleichzeitig wird aus der positive Dichte eine Ladungsdichte mit beiden Vorzeichen.

Mit etwas Unbehagen behandeln die Lehrbücher die aufgemotzte Version des Wasserstoff-Spektrums mit der Diracgleichung. Der große Physiker Steven Weinberg weigerte sich ganz, die Gleichung überhaupt außerhalb der Quantenfeldtheorie aufzutischen. Merzbachers Klassiker zog erst die Feldquantisierung ganz durch, umd dann mit Mahnungen zur Vorsicht und mit Handschuhen angefasst, die Gleichung zu lösen. Das Spektrum hat den berühmten Fehler, nicht die experimentelle Lamb-Verschiebung zu zeigen. Diese bekam erst mit der vollen Quantenelektrodynamik ein brauchbares Modell.

Hamilton-Dichte für die Dirac-Gleichung

Den Vierervektor aus Ladung und Strom schreiben wir

$(\psi ^{\dagger }\psi ,\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi )=\{{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \};\quad {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\beta .$

Behauptung: Betrachtet man das Symbol ψ als q-Variablen, dann stecken konjugierte p-Variablen im Symbol π, das als Zeilenspinor $\pi ^{T}=i\psi ^{\dagger }$ definiert ist. Der Trick, mit komplex-Konjugierten wie mit unabhängigen reellen Variablen zu rechnen, funktioniert. Die Hamilton-Dichte lautet mit externem Vektorpotenzial

$H(\psi ,\pi )=\psi ^{\dagger }(-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+m\beta )\psi +{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi =$

$H=\pi ^{T}(-{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}-i\beta m)\psi +\pi ^{T}(-iA_{0}-i{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\psi$

$\partial _{t}\psi =\delta {\bar {H}}/\delta \pi =(-{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}-i\beta m-iA_{0}-i{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\psi$

$i\partial _{t}\psi =(-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+\beta m+A_{0}+{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\psi$

Das ist die Dirac-Gleichung.

H wird noch einmal transponiert umgeschrieben bei reell dargestelltem Diracoperator, mit ${\vec {\alpha }}^{T}={\vec {\alpha }},\;\beta ^{T}=-\beta .$

Eine partielle Integration verschiebt den Ableitungsteil auf die Variablen π. Ergebnis:

$H(\psi ,\pi )=\psi ^{T}(+{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+i\beta m)\pi +\psi ^{T}(-iA_{0}-i{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\pi$

Damit prüft man die andere Hamiltongleichung.

$-i\partial _{t}\psi ^{*}=-\partial _{t}\pi =\delta {\bar {H}}/\delta \psi =$

$=({\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+i\beta m-iA_{0}-i{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\pi$

$=({\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+i\beta m-iA_{0}-i{\vec {\alpha }}{\vec {A}})(i\psi ^{*})$

$=(i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}-\beta m+A_{0}+{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\psi ^{*}$

Man erhält die komplex-konjugierte Dirac-Gleichung. Dieselbe Gleichung steckt doppelt im Hamilton-Formalismus drin.

Fourier-Entwicklung der freien Dirac-Wellen

Der Raum der Wellenvektoren ${\vec {p}}$ heißt der Impulsraum, weil seine Elemente nach de Broglie zu Teilchen-Impulsen äquivalent sind.

Ebene Dirac-Wellen existieren für alle Vierervektoren $p^{\mu }$, doch sie werden traditionell in zwei Hälften mit positivem $p^{0}$, nur im Gegensinn drehend, aufgeteilt.

Notation $\{p^{\mu }\}=(E,{\vec {p}}),\;(\gamma \partial )=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }),\;(px)=p_{\mu }x^{\mu }$

$\psi =u(p)\exp(-i(px)),\;i(\gamma \delta )\psi =m\psi \;\Rightarrow \;((\gamma p)-m)u(p)=0,\;E^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2},\;E(p)={\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}};$

$\psi =v(p)\exp(+i(px)),\;i(\gamma \delta )\psi =m\psi \;\Rightarrow \;((\gamma p)+m)v(p)=0,\;E^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2},\;E(p)={\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}.$

Für jeden Vektor ${\vec {p}}$ existiert eine Basis in $\mathbb {C} ^{4}$ aus Lösungen $\{u(p,1),u(p,2),v(p,1),v(p,2)\}.$

Im Folgenden laufen Indizes s,r über 1,2. Aus später besprochenen Gründen der Drehsymmetrie heißen die komplexen 4-tupel (Spalten) ab jetzt Spinoren und s ist ein Spin-Index. Zwei transponierte Versionen, also Zeilenspinoren, sind im Gebrauch.

$u\;\mapsto \;u^{\dagger }=u^{*T},\;{\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}.$

Es gilt folgender Katalog von Gleichungen und Orthogonalitätsrelationen:

${\begin{array}{ll}((\gamma p)-m)u(p,s)=0,&{\bar {u}}(p,s)((\gamma p)-m)=0;\\((\gamma p)+m)v(p,s)=0,&{\bar {v}}(p,s)((\gamma p)+m)=0;\\{\bar {u}}(p,s)u(p,r)=\delta _{sr},&{\bar {v}}(p,s)v(p,r)=-\delta _{sr};\\{\bar {v}}(p,s)u(p,r)=0,&{\bar {u}}(p,s)v(p,r)=0;\\u^{\dagger }(p,s)u(p,r)=(E/m)\delta _{sr},&v^{\dagger }(p,s)v(p,r)=(E/m)\delta _{sr};\\v^{\dagger }(p,s)u(Pp,r)=0,&{\bar {u}}^{\dagger }(p,s)v(Pp,r)=0;\\\sum \nolimits _{s}u(p,s){\bar {u}}(p,s)=((\gamma p)+m)/(2m),&\sum \nolimits _{s}v(p,s){\bar {v}}(p,s)=((\gamma p)-m)/(2m).\end{array}}$

Hier bezeichnet P die Raumspiegelung $P:(E,{\vec {p}})\mapsto (E,-{\vec {p}})$. Die Beweise all dieser Formeln kommen in einem langweiligen Anhang.

Wie beim komplexen Klein-Gordon-Feld haben eine allgemeine Diracwelle und ihre hermitesch Transponierte eine Fourier-Entwicklung mit zwei komplexen Spin-Impuls-Funktionen b(p,s) und d(p,s). Die Wellenfunktion ist reell, wenn b,d identisch sind.

Integralmaß $\mu (p):={\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m}{E}}}$

$\psi (t,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int \mu (p)\;[b(p,s)u(p,s)\exp(-i(px))+d^{*}(p,s)v(p,s)\exp(i(px))],$

$\psi ^{\dagger }(t,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int \mu (p)\;[b^{*}(p,s){\bar {u}}(p,s)\gamma ^{0}\exp(i(px))+d(p,s){\bar {v}}(p,s)\gamma ^{0}\exp(-i(px))].$

Um die Wahl des Integralmaßes zu rechtfertigen, wird nun das Hamilton-Funktional einer Lösung im Impulsraum entwickelt.

${\bar {H}}=\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }[-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+m\beta ]\psi =i\int d^{3}x\;\psi ^{\dagger }\partial _{0}\psi$

Beim Einsetzen der Entwicklung bringt die Zeitableitung die Faktoren E(p) bzw. -E(p) ein, es wird

${\bar {H}}=\int d^{3}x\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}p\;d^{3}q}{2\pi ^{3}}}{\sqrt {\frac {m^{2}}{E(p)E(q)}}}\cdot E(p)\times$

$[b^{*}(p,s)u^{\dagger }(p,s)exp(i(px))+d(p,s)v^{\dagger }(p,s)\exp(-i(px))]\;\times$

$[b(q,r)u(q,r)exp(-i(qx))-d^{*}(q,r)v(q,r)exp(i(qx))]$

Mit der Formel

$\int d^{3}x\;\exp(ipx)/(2\pi ^{3})=\delta ^{3}(p)$

und zur Zeit $t=x^{0}=0$ bekommen die Produkte mit zwei u oder v-Spinoren ein $\delta ^{3}(p-q)$, die gemischten Terme ein $\delta ^{3}(p+q)$.

Mit den Relationen aus dem obigen Katalog

$v^{\dagger }(p,s)u(Pp,r)=0,\quad {\bar {u}}^{\dagger }(p,s)v(Pp,r)=0$

verschwinden dann die Mischterme und bei den anderen bleibt p=q:

${\bar {H}}=\sum \nolimits _{s,r}\int d^{3}p\;m\;[b^{*}(p,s)b(p,r)u^{\dagger }(p,s)u(p,r)-d(p,s)d^{*}(p,r)v^{\dagger }('p,s)v(p,r)]$

Mit den Katalogformeln, worin E(p)/m vorkommt, bleibt dann

${\bar {H}}=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;E(p)\;[b^{*}(p,s)b(p,s)-d(p,s)d^{*}(p,s)]$

Die "Gesamtenergie" ist die Differenz zweier positiv definiter Terme, sie ist nicht definit!

Fourier-Zerlegung der erhaltenen Ladungsdichte bei t=0:

$Q(t)=\int d^{3}x\psi ^{\dagger }(t,{\vec {x}})\psi ((t,x)$

$Q=\int d^{3}x\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}p\;d^{3}q}{2\pi ^{3}}}{\sqrt {\frac {m^{2}}{E(p)E(q)}}}\;\times$

$[b^{*}(p,s)u^{\dagger }(p,s)\exp(i(px))+d(p,s)v^{\dagger }(p,s)\exp(-i(px))]\;\times$

$[b(q,r)u(q,r)\exp(-i(qx))+d^{*}(q,r)v(q,r)\exp(i(qx))]$

Wie oben entfallen die gemischten Terme, die x-Integration der anderen produziert eine Deltafunktion.

$Q=\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}p\;d^{3}q\;m}{\sqrt {E(p)E(q)}}}\delta ^{3}(p-q)\;[b^{*}(p,s)b(q,r)u^{\dagger }(p,s)u(q,r)+d(p,s)d^{*}(q,r)v^{\dagger }(p,s)v(q,r)]$

Die q-Integration bewirkt, dass p=q gesetzt wird und dass laut Katalog in den eckigen Klammern wieder E(p)/m anfällt. Daher

$Q=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;[b^{*}(p,s)b(p,s)+d(p,s)d^{*}(p,s)]$

Diese Darstellung ist zweifellos positiv definit.

Quantisierung des Dirac-Feldes

Ist es sinnvoll, aus den Paaren wie $(b^{*}(p,s),b(p,s))$ entkoppelte elementare harmonische Oszillatoren zu machen? Das Paar wird zu hermitesch adjungierten Erzeuger- und Vernichter-Operatoren. Beider Produkt, gleich in welcher Ordnung, ist ein Teilchenzahloperator mit dem diskreten Spektrum von nahezu Null bis Unendlich. Nur war die Hamilton-Dichte im Impulsraum, also die Energieverteilung, nicht definit. Die obige Rechnung hing an keinem Punkt von der Ordnung der b und d Faktoren ab, also lesen wir die Impulsentwicklung auch als Operator. Ein Grundzustand niedrigster Energie scheint unmöglich! Daher kam der Vorschlag, eine andere Operator-Algebra einzubauen, die nur die Teilchenzahlen 0, 1 pro Freiheitsgrad zulässt. Dann kann man zumindest händewedelnd ein stabiles Vakuum herbeireden.

Der Hamilton-Operator als Energie-Operator hat die Impulsdarstellung

${\bar {H}}=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;E(p)\;[b^{\dagger }(p,s)b(p,s)-d(p,s)d^{\dagger }(p,s)]$

Soll H den Schwachpunkt der klassischen Wellengleichung reparieren, nämlich die unbegrenzt negativen Energien, dann kann einfach gefordert werden, dass die Operatoren $(dd^{\dagger })$ negativ werden sollen. Ein Widerspruch, denn so ein Produkt ist hermitesch-positiv- definit? Ein Taschenspieler-Trick machts möglich, wenn die elementaren Komponenten des Hilbertraums keine harmonischen Oszillatoren, sondern Qubits sind.

Von Wolfgang Pauli zuerst hergeleitet und dann in der Mathematik- lastigen axiomatischen Feldtheorie sehr allgemein bewiesen, sagt das Spin-Statistik-Theorem, dass Systeme gleicher Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen sind (unbegrenzt viele auf demselben Zustand) und solche mit halbzahligem Spin Fermionen (Besetzung 0,1).

Damit steht fest: Jeder Freiheitsgrad der Dirac-Teilchen hat einen Zustandsraum der Dimension 2: frei oder besetzt. Ein Qubit. Welche Operator-Algebra spielt da Erzeuger und Vernichter? Einfache 2x2-Matrizen mit nichts außer einer 1 entweder rechts oben oder links unten. Sie sind hermitesch konjugiert, haben das Quadrat Null und die Summe ihrer zwei Produkte ist Eins. Es gilt Kanonische Antivertauschung:

$\{A,A\}=0;\quad \{A^{\dagger },A^{\dagger }\}=0;\quad \{A,A^{\dagger }\}=1.$

Für Systeme mit endlich oder abzählbar vielen Plätzen, also Basiszuständen eines Teilchens, wird der Hilbertraum vieler gleicher Fermionen aufgebaut mit der Vernichter-Erzeuger-Algebra:

$\{A_{i},A_{k}\}=0;\quad \{A_{i}^{\dagger },A_{k}^{\dagger }\}=0;\quad \{A_{i},A_{k}^{\dagger }\}=\delta _{ik}.$

Bei kontinuierlichen Familien von Basiszuständen bemüht man entsprechende Deltafunktionen. Das Vakuum ist der Zustand, der von allen Vernichtern auf Null geworfen wird. Der allgemeine N-Teilchen-Zustand entsteht, wenn ein Produkt aus N verschiedenen Erzeugern auf das Vakuum wirkt.

Frage: Antivertauscher bei i=j seien akzeptiert. Aber können es für i ungleich k nicht einfache Vertauscher sein? Nein, wenn wir das Superpositionsprinzip eisern respektieren. Jede Linearkombination der Erzeuger soll auch als Erzeuger vom selben Typ funktionieren.

Wo stecken nun die Elektronen und die Positronen? Was ist der Trick? Der Operator $b^{\dagger }(p,s)$ erzeugt ein Elektron, Operator b(p,s) vernichtet eines. Ihr Produkt in dieser Ordnung ist ihr Teilchenzahl-Operator. Operatoren $d^{\dagger }(p,s),\;d(p,s)$ erzeugen und vernichten ein Positron. Wegen der Antivertauschung

$d^{\dagger }(p,s)d(p,s)={\text{ const }}-d(p,s)d^{\dagger }(p,s)$

klappt im Hamilton-Funktional ein Vorzeichen um. Die Konstante wird per Dekret als unbeobachtbare Unendlichkeit entsorgt. Der wahre Energie-Operator ist das Normalprodukt des bisherigen, also

${\tilde {H}}=N({\bar {H}})=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;E(p)\;[b^{\dagger }(p,s)b(p,s)+d^{\dagger }(p,s)d(p,s)]$

Mit Quantenfeldern gibt es allewo Normalprodukte, anders gesagt unliebsame unendliche Konstanten werden abgestoßen. Manche mögen an dieser Stelle die Geschichte vom Vakuum als halb gefülltem Dirac-See, in dem die Positronen als Löcher schwimmen. Andere, und nicht die Geringsten (S.Weinberg), hassen sie.

Das Neue verglichen mit Bosonen ist also, dass alle Erzeuger antivertauschen. Die Menge der Erzeuger spannt eine Grassmann-Algebra auf. Allgemeine Polynome auf dieser Menge, wo jeder Faktor nur mit der Potenz 1 erlaubt ist, machen aus dem Vakuum einen Fock-Raum, allgemeine Zustandsvektoren mit unbestimmter Teilchenzahl.

Speziell für die Impulsdarstellung der Diracwellen verordnen wir:

• Paare $b(p,s),b^{*}(p,s)$ werden zu Operatoren $b(p,s),b^{\dagger }(p,s)$
• Paare $d(p,s),d^{*}(p,s)$ werden zu Operatoren $d(p,s),d^{\dagger }(p,s)$

Es gilt die Antikommutation für gleichartige Konjugierte:

$\{b(p,s),b^{\dagger }(q,r)\}=\delta _{sr}\delta ^{3}({\vec {p}}-{\vec {q}})$

$\{d(p,s),d^{\dagger }(q,r)\}=\delta _{sr}\delta ^{3}({\vec {p}}-{\vec {q}})$

Alle anderen Paare von Operatoren antivertauschen.

Aus diesen Vorschriften lassen sich die gleichzeitigen Vertauschungs-Relationen der Spinorfeld-Komponenten in Ortsdarstellung herleiten. Diracspinor ψ bezeichnet ein Operatorfeld und ein entprechendes Symbol sein adjungiertes Feld. Sie quantisieren die freie Dirac-Gleichung, wenn gilt:

$\{\psi _{a}(t,{\vec {x}}),\psi _{b}^{\dagger }(t,{\vec {y}})\}=\delta _{ab}\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}});$

$\{\psi _{a}(t,{\vec {x}}),\psi _{b}(t,{\vec {y}})\}=0$

$\{\psi _{a}^{\dagger }(t,{\vec {x}}),\psi _{b}^{\dagger }(t,{\vec {y}})\}=0$

Die erste Regel sei als 4x4-Matrix geschrieben und soll explizit ausgerechnet wreden.

$\{\psi (t,{\vec {x}}),\psi ^{\dagger }(t,{\vec {y}})\}=\sum \nolimits _{s,r}\int {\frac {d^{3}p\;d^{3}q}{(2\pi )^{3}}}{\sqrt {\frac {m^{2}}{E(p)E(q)}}}$

$\cdot \delta ^{3}({\vec {p}}-{\vec {q}})\delta _{sr}\;\times$

$[u(p,s)u^{\dagger }(q,r)\exp(i(p(x-y)))+v(p,s)v^{\dagger }(q,r)\exp(-ip(x-y))]$

Hier fielen die gemischten u-v-Terme wegen Antikommutation heraus. Nach der Integration über q mit der Deltafunktion, mit $u^{\dagger }={\bar {u}}\gamma ^{0}$ und mit den Katalogregeln für $u{\bar {u}},\;v{\bar {v}}$ folgt:

$=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(p)}}[((\gamma p)+m)\gamma ^{0}\exp(ip(x-y))-(m-(\gamma p))\gamma ^{0}\exp(-ip(x-y))]$

Nach Vorzeichenwechsel der Integralvariablen im zweiten Teil fliegen die Teile mit m und ${\vec {\gamma }}{\vec {p}}$ raus und es bleibt ein Faktor $2E(p)\gamma ^{0}$, der das andere $\gamma ^{0}$ zu Eins multipliziert.

$=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(p)}}\exp(ip(x-y))\cdot 2E(p)\mathbf {1} =\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})\mathbf {1}$

Der Operator der Ladung hat im Impulsraum die gleiche Form wie die klassische Ladung, nur mit Operatoren.

$Q=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;[b^{\dagger }(p,s)b(p,s)+d(p,s)d^{\dagger }(p,s)]$

Jedoch kommt eine radikale Neu-Interpretation. Ein Operator $b^{\dagger }b$ misst die Ladung der Elektronen und ist positiv definit, ein Operator $dd^{\dagger }$ stellt negativ definit eine Positronen-Ladung bereit. Daher ist nun die Gesamtladung von unbestimmtem Vorzeichen. Vom Operator Q schalten wir um auf sein Normalprodukt

$N(Q)=\sum \nolimits _{s}\int d^{3}p\;[b^{\dagger }(p,s)b(p,s)-d^{\dagger }(p,s)d(p,s)]$

Die Quantisierung dreht die klassische Situation um: statt positiver Ladung, bei Energien beider Vorzeichen, bekommt man mit Fermion- Erzeugern/Vernichtern nun Ladungen beider Art und einen absoluten Nullpunkt der Energie.

Fazit: Die Erfindung der Fermionen und ihrer Antiteilchen macht das möglich, was ein Einteilchen-Modell der Dirac-Gleichung nicht kann. Erst die Quantisierung mit dem Antikommutator-System und der billige Trick mit dem Normalprodukt machen die Diracwelle physikalisch. Ein Grundzustand niedrigster Energie kann existieren und Ladungen mit beiderlei Vorzeichen können sich neutralisieren.

Das Hamilton-Operator-Funktional der Klein-Gordon Welle war

${\bar {H}}={\frac {1}{2}}\int d^{3}k\;\omega (k)[a^{\dagger }(k)a(k)+a(k)a^{\dagger }(k)]$

Wenn hier mit Antikommutatoren quantisiert würde, käme als Normalprodukt einfach Null heraus, genauso bei der Maxwell-Gleichung. Die Skalare und Vektoren sind nur mit Bosonen kompatibel, die Spinoren im Gegenteil nur mit Fermionen.

Anmerkung 1. In den Berechnungen kam wiederholt eine lokales bilineares Funktional (Energie, Ladung) im Ortsraum auch lokal-bilinear im Impulsraum an. Unschöne Terme kompensierten sich. Kein Zufall, sondern System. Die lokal bilinearen Dinger sind alle quadratische Formen (f,Hf) mit hermiteschen Operatoren vom Schrödinger-Typ, symbolisch $Hf=P(x)f+Q(i\partial _{x})f$ mit Polynomen P,Q in Koordinaten bzw. Ableitungen. Die Fourier-Transformation macht daraus Operatoren vom gleichen Typ

$f\mapsto {\bar {f}}\;\Rightarrow \;Hf\mapsto {\bar {H}}{\bar {f}}=(P(-i\partial _{k})+Q(k)){\bar {f}}$

Andererseits ist die Fourier-Transformation eine unitäre Abbildung,

$(f,g)=\int d^{n}x\;f^{*}(x)g(x)\mapsto ({\bar {f}},{\bar {g}})=\int d^{n}k\;{\bar {f}}^{*}(k){\bar {g}}(k)$

Aus diesen Fakten folgt, dass die Ergebnisse so sauber sein müssen.

Anmerkung 2. Es wurde gesagt, dass Operatoren sich nicht gegenseitig stören, wenn sie vertauschen, wie es für raumartig getrennte Bosonen gilt. Aber bei Fermionen antivertauschen sie, ist das auch noch kausal genug? Ja. In physikalisch sichtbaren Operatoren kommen wohl immer nur Zweierprodukte von antikommutierenden Operatoren vor. Wenn A,B mit C,D antikommutieren, dann kommutiert (AB) mit (CD) und das Modell ist gerettet. Gerechnet:

[AB,CD] = ABCD-CDAB = (ABCD+ACBD)-(ACBD+CABD)+(CABD-CADB)-(CADB+CDAB)

In allen Klammern steckt je ein verschwindender Antikommutator.

Kopplung von Elektronen, Positronen, Photonen

Die sterilen, freien, bilinearen Hamilton-Dichten tun nichts anderes als ebene Wellen schlagen, die sich störungsfrei überlagern. Es ist an der Zeit, die Hamiltonfunktionale von Dirac und von Maxwell zu vereinen, so dass die etablierte Eichkopplung darin auftaucht. Es kommt ein Wechselwirkungsterm hinzu, der nicht mehr bilinear sondern dritter Ordnung in den Feldern ist. Die Wellen reagieren miteinander. Die Hamiltongleichungen ziehen aus demselben Term einerseits die Diracgleichung mit Potenzial, andererseits die Maxwellgleichung mit Ladung und Strom. Das Newtonsche Prinzip Kraft gleich Gegenkraft steckt im Formalismus drin. Die Dichte hängt nicht explizit von Ort und Zeit ab; das impliziert die globale Energie- und Impulserhaltung.

Das Quantenmodell dazu wird mit einer Störungsrechnung angegangen. Die Zeitentwicklung des vollen Hamilton-Operators wird vom freien Operator her als Potenzreihe des Wechselwirkungs-Teils ermittelt. Den Kontakt mit konkreter Physik stellt dann die S-Matrix her, die aus den Quantenamplituden besteht, mit denen einlaufende und auslaufende Vielteilchen-Zustände überlappen. Die Reihenentwicklung mündet in den berühmten Feynman-Diagrammen der Quantenelektrodynamik. Der Weg dahin soll im nächsten Kapitel dieses Buches skizziert werden. Die gründliche Behandlung der Materie bleibt dicken Büchern der Quantenfeldtheorie vorbehalten.

Von der Strahlungseichung geht es nun über zur Coulomb-Eichung. Das Dreiervektor-Potenzial bleibt divergenzfrei. Die vierte Komponente, das Coulombpotenzial, wird aus der Ladungsdichte gewonnen.

$\rho ({\vec {x}},t)=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})=\Delta A_{0}({\vec {x}},t);\quad A_{0}({\vec {x}},t)=-\int {\frac {d^{3}y\;\rho ({\vec {y}},t)}{4\pi |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}$

Vor allem sollen eine Ladungsdichte und eine Stromdichte aus einer Hamiltonfunktional-Dichte die inhomogenen Maxwellgleichungen liefern. Ansatz, in dem vorgegebene Ströme und Ladungen ankoppeln.

$H({\vec {A}},-{\vec {E}})=({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2})/2-{\vec {j}}{\vec {A}}\pm \rho A_{0}$

Allerdings soll $A_{0}$ keine dynamische Variable sein, sondern über ρ und ${\vec {E}}$ bestimmt werden. Explizit nur von ρ abhängend.

Mit der Zwangsbedingung $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0$ folgt aus den Maxwell-Gleichungen

$({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})={\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=\rho .$

Die zweite folgende Hamiltongleichung wird genau dadurch korrekt, dass

$\rho A_{0}=(\nabla \cdot {\vec {E}})A_{0}={\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}A_{0})-({\vec {E}}\cdot {\vec {\nabla }}A_{0})$

in die Dichte kommt und der Divergenzterm zum Integral nicht beiträgt. Statt ρ fungiert nun $A_{0}$ als inhomogener Teil.

$\partial _{t}{\vec {E}}=\delta H/\delta {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-{\vec {j}}$

$\partial _{t}{\vec {A}}=-\delta H/\delta {\vec {E}}=-{\vec {E}}+{\vec {\nabla }}A_{0}$

Die Logik bei vorgegeben Ladungen: Zuerst für alle Zeitscheiben das Hilfsfeld $A_{0}$ berechnen, dann die Dynamik mit den Hamiltongleichungen.

$H({\vec {A}},-{\vec {E}})=({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2})/2-{\vec {j}}{\vec {A}}-({\vec {E}}\cdot {\vec {\nabla }})A_{0};\quad ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0$

Danach sind folgende Gleichungen erfüllt:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}};\quad {\vec {E}}={\vec {\nabla }}A_{0}-\partial _{t}{\vec {A}}$

$\partial _{t}{\vec {E}}={\vec {j}}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}$

Die restliche Maxwell-Gleichung $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})=\rho$ folgt, wenn für ${\vec {E}}$ die Potenzial-Ableitungen eingesetzt werden. Mit divergenzfreiem ${\vec {A}}$ ist dann

$\rho ={\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=\Delta A_{0}$ genau die Hilfsgleichung,

die keine Zeitableitungen hatte.

Das Integral über einen Term $(\rho A_{0})$ ist die Coulomb-Selbstenergie einer Ladungsdichte,

$\int d^{3}x\;\rho ({\vec {x}})A_{0}({\vec {x}})=\int {\frac {d^{3}x\;d^{3}y\;\rho ({\vec {x}})\rho ({\vec {y}})}{4\pi |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}.$

Eine akzeptable Hamiltondichte für die Maxwell-Gleichungen ist also

$H=(E^{2}+B^{2})/2-{\vec {E}}{\vec {\nabla }}A_{0}-{\vec {j}}{\vec {A}}+h(A_{0},\rho )$

Der Term h(*) sei reserviert, um die Dynamik der geladenen Materie anzupassen, im elektromagnetischen Teil der Gleichungen ist er stumm.

Nun wird das Vektorpotenzial in die Hamilton-Dichte der Diracgleichung eingespeist. Können wir die Koppelterme so abgleichen, dass ein gemeinsames Hamiltonfunktional zugleich die inhomogene Maxwell- und die inhomogene Dirac-Gleichung abwirft?

Die Dirac-Gleichung mit Potenzialkopplung sieht so aus, mit einer Kopplungskonstanten e:

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\;\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi$

$i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}\psi +m\beta \psi +e(A_{0}+{\vec {\alpha }}{\vec {A}})\psi$

Die passende Hamilton-Dichte mit trilinearem Term in den Feldern

$H=\psi ^{\dagger }[-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}\psi +m\beta ]\psi +e\;{\bar {\psi }}\;\gamma ^{\mu }A_{\mu }\;\psi$

Um diese Form mit dem Maxwell-Teil zu harmonisieren, kommt zur Identifikation von Ladungs- und Stromdichte nur dieses in Frage:

$(\rho ,{\vec {j}})=(j^{\mu })=(-e){\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ;\quad h(A_{0},\rho )=-\rho A_{0}=-j^{0}A_{0}.$

Damit ist das Modell der gekoppelten Felder fertig. Die Kontinuitätsgleichung für die so eingebauten Größen Ladung und Strom genießt eine Doppelgarantie. Einmal als Folge der Maxwell-Gleichungen, dann als Konsequenz der Dirac-Gleichung. Da kann die Wechselwirkung nur die Richtige sein.

Die Hamilton Dichte hat drei Teile, freie Maxwell- und Dirac-Dichten und den Kopplungsterm.

$H_{M}({\vec {A}},-{\vec {E}})=({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2})/2-({\vec {E}}\cdot {\vec {\nabla }}A_{0}),$

$H_{D}(\psi ,i\psi ^{\dagger })=\psi ^{\dagger }(-i{\vec {\alpha }}{\vec {\nabla }}+m\beta )\psi ,$

$H_{K}({\vec {A}},A_{0},\;\psi ,{\bar {\psi }})=e({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )A_{\mu }.$

Die Zahl e ist eine nackte Ladung, so wie die Masse im Dirac-Operator als nackt anzusehen sei. Denn die wirklich beobachtbaren Teilchen erwachsen theoretisch aus nackten Quanten der Eingabe-Felder, welche sozusagen von Wolken wechselwirkender virtueller Teilchen umhüllt werden. Man erwartet eine Renormierung von Ladung und Masse.

Bemerkung. Jemand könnte einwenden, dass die Kombination

$(-{\vec {E}}{\vec {\nabla }}A_{0}-\rho A_{0})$

wegen der Maxwell-Gleichung $\rho =({\vec {\nabla }}{\vec {E}})$ zu einem Divergenzterm ${\vec {\nabla }}({\vec {E}}A_{0})$ wird, der aus der Dichte herausfallen möge. Es müssen jedoch alle dynamisch relevanten Terme für die Hamiltongleichungen anwesend sein. Wenn dann als Folge der Gleichungen einige 'neutrale' Passagen in die Dichte einziehen, heißt das nicht, dass man sie vorauseilend entfernen darf. Das Hamiltonfunktional ist auf der Menge aller Felder definiert, ob Lösungen oder nicht.

Nach dieser etwas mühsamen Herleitung des Hamiltonfunktionals bleibt anzumerken, dass die besseren Bücher erst den relativistisch kovarianten Lagrangeformalismus bringen und dann automatisch die Hamilton-Version herausholen. Das lohnt sich, wenn auch kovariant quantisiert wird. Die altertümliche Art und Weise hier im Text ist wohl angemessen für einen Schnupperkurs in QED.

Noch eine Anmerkung. Die Eichtransformationen $A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }f$ verändern massiv dieses Hamilton-Funktional. Aber die Dirac-Gleichung ändert sich nicht, wenn die Funktion f gleichzeitig lokal an den Spinor-Phasen dreht:

$\gamma ^{\mu }(i\partial _{\mu }-eA_{\mu })\psi =m\psi ;\quad \psi '(x)=\psi (x)\cdot \exp(-ief(x));\;A'(x)=A(x)+\nabla f(x)$

Auch die inhomogenen Maxwell-Gleichungen bleiben unbeeinflusst, weil Ladung und Strom in der phasenneutralen Kombination $({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )$ auftauchen.

Alle Feldgleichungen sind also invariant unter den Eichtransformationen

$(A,\psi )\mapsto (A',\psi ')=(A+\nabla f,\psi \cdot e^{-ief}).$

Nur, die gewählte Hamilton-Darstellung scheint Unglück zu bringen? Sind die messbaren Daten, die aus Quantenfeldern berechnet werden, ohne weiteres eichinvariant? Eine gründliche Prüfung des folgenden Modells wäre hier nötig. Ja, die Eichinvarianz der QED ist eines ihrer grundlegenden Prinzipien. Die QED gehört zu den Eichtheorien.

Eichtransformationen gelten als passive Transformationen, reine Koordinatenwechsel die am beschriebenen System nichts ändern. Im Gegensatz dazu erzeugen aktive Symmetrietransformationen, wie Translationen, Drehungen, Lorentz-Transformationen, aus einem physikalisch realisierbaren Zustand viele andere, die denselben Gleichungen gehorchen und in Wirklichkeit genauso vorkommen könnten.

Die Mathematik hat eine allgemeine Beschreibung entwickelt für Objekte, deren Koordinatendarstellung prinzipiell nur modulo Eichungen wählbar ist. Sie heißen dort 'Schnitte durch Faserbündel'.

Das Systemmodell für Elektronen, Positronen und Photonen hat damit folgende Zutaten:

• ein operatorwertiges Spinorfeld ψ mit 4 komplexen Komponenten
• zwei reelle operatorwertige Vektorfelder ${\vec {A}},{\vec {E}}$
• Der Spinor enthält 4 Hamilton-Paare
• Die Felder $(A_{j},-E_{j}=\partial _{0}A_{j})$ sind Hamilton-konjugiert
• Es bestehen die Nebenbedingungen $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})=0;\quad \Delta A_{0}={\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=\rho =-e\psi ^{\dagger }\psi$.
• Die Hamilton-Dichte hat freie bilineare Teile und trilineare Kopplung.

$H=(E^{2}+B^{2})/2-({\vec {E}}\cdot {\vec {\nabla }}A_{0})+\psi ^{\dagger }(-i({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }})+m\beta )\psi +e{\bar {\psi }}(\gamma ^{\mu }A_{\mu })\psi$

• Alle Produkte von Operatoren sind als Normalprodukte zu verstehen.

Die Quantenbedingungen der Operatorfelder zur Zeit t lauten:

$\{\psi _{a}(t,{\vec {x}}),\psi _{b}^{\dagger }(t,{\vec {y}})\}=\delta _{ab}\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

$\{\psi _{a}(t,{\vec {x}}),\psi _{b}(t,{\vec {y}})\}=0$

$\{\psi _{a}^{\dagger }(t,{\vec {x}}),\psi _{b}^{\dagger }(t,{\vec {y}})\}=0$

$[\partial _{t}A_{j}(t,{\vec {x}}),A_{k}(t,{\vec {y}})]=-i\;\delta _{jk}^{T}({\vec {x}}-{\vec {y}})$

$[\partial _{t}A_{j}(t,{\vec {x}}),\partial _{t}A_{k}(t,{\vec {y}})]=0$

$[A_{j}(t,{\vec {x}}),A_{k}(t,{\vec {y}})]=0$

Alle ψ-Komponenten kommutieren mit allen A-Komponenten.

Wegen der gekoppelten Zeitentwicklung gibt es keine durchgehende Darstellung im Impulsraum mehr. Man kann jedoch fordern, dass für t=0 eine Basis von Feldoperatoren existiert mit der Wellenzerlegung zu irgendeiner Masse m bzw. zur Masse Null.

$\psi (0,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{(}3/2)}}{\sqrt {\frac {m}{p_{0}}}}[b(p,s)u(p,s)\exp(i({\vec {p}}{\vec {x}}))+d^{\dagger }(p,s)v(p,s)\exp(-i({\vec {p}}{\vec {x}})a)]$

$\psi ^{\dagger }(0,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{(}3/2)}}{\sqrt {\frac {m}{p_{0}}}}[b^{\dagger }(p,s)u^{\dagger }(p,s)\exp(-i({\vec {p}}{\vec {x}}))+d(p,s)v^{\dagger }(p,s)\exp(i({\vec {p}}{\vec {x}}))]$

${\vec {A}}(0,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}k}{\sqrt {(2\pi )^{3}(2k_{0})}}}{\vec {\epsilon }}({\vec {k}},s)[a(k,s)\exp(i({\vec {k}}{\vec {x}}))+a^{\dagger }(k,s)\exp(-i({\vec {k}}{\vec {x}}))]$

${\vec {\partial }}_{t}A(0,{\vec {x}})=\sum \nolimits _{s}\int {\frac {d^{3}k}{\sqrt {(2\pi )^{3}(2k_{0})}}}(-ik_{0}){\vec {\epsilon }}({\vec {k}},s)[a(k,s)\exp(i({\vec {k}}{\vec {x}}))-a^{\dagger }(k,s)\exp(-i({\vec {k}}{\vec {x}}))]$

Die Symbole a,b,d und ihre Konjugierten haben dieselben kanonischen Vertauschungsrelationen wie die freien Felder, zusätzlich kommutieren die a-Operatoren mit den b,d-Operatoren. Alle Operatoren a,b,d ändern sich mit der Zeit und entsprechen nicht mehr den Erzeugern und Vernichtern von elementaren Anregungen.

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