Quantenmechanik/ Lorentzgruppe

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Raumzeit

Ein Punkt in der vierdimensionalen Raumzeit bekommt die Koordinaten $x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$. Mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit c wird die Zeit in Metern gemessen. Die Raumzeit hat privilegierte Inertial-Koordinatensysteme, in denen das Licht im Vakuum, sowie die Gravitation und andere maximal schnelle Vorgänge, sich mit der Geschwindigkeit c ausbreiten. Eine Beobachterin bei $x^{\mu }=0$ empfängt das Licht aus Punkten $(t,{\vec {x}})$ in der Vergangenheit, die zur Menge

$L_{-}=\{x|x^{0}<0,q(x)=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}=0\}$

gehören, dem Rückwärts-Lichtkegel. Und sie sendet Signale in die Zukunft, die auf den Punkten des Vorwärts-Lichtkegels ankommen:

$L_{+}=\{x|x^{0}>0,q(x)=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}=0\}$.

Die Spezielle Relativität lehrt, dass zwei mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Beobachter dieselbe Lichtgeschwindigkeit wahrnehmen. Wenn sie sich am Nullpunkt treffen, sind ihre Lichtkegel dort dieselben Punktmengen. Wenn $(x_{1})^{\mu }$ und $(x_{2})^{\mu }$ Koordinaten sind, gesehen von Betrachtern 1 und 2, dann gilt für die quadratische Form ihrer Kegel: $q(x_{1})=q(x_{2})=0$. Eine lineare Transformation verbindet beide Koordinatensysteme: $(x_{2})^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }(x_{1})^{\nu }$, mit Summenkonvention geschrieben.

Alle linearen Transformationen, die die quadratische Form q() invariant lassen, bilden eine Gruppe, die Lorentz-Gruppe. Die Untergruppe davon, die weder die Zeit umklappt noch den Raum spiegelt, sind die eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen.

Man schreibt q() als quadratische Form $q(x)=g(x,x)=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ mit der Diagonalmatrix $g_{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)$. Wenn eine lineare Transformation L die quadratische Form invariant lässt, g(Lx,Lx)=g(x,x), dann ist auch die bilineare Form erhalten für $x\neq y$: g(Lx,Ly)=g(x,y). Denn 2 g(x,y)= g(x+y,x+y) - g(x,x) - g(y,y) führt die Bilinearform auf die quadratische zurück. g heißt auch die metrische Form oder kurz die Metrik der Raumzeit, denn sie misst Längen und Winkel und Lichtstrahlen.

Dualität und Indizes

Die Logik hinter den hoch und tief stehenden Indizes ist nicht intuitiv klar. Daher möchte der selbst etwas verwirrte Autor eine ganze Predigt dazu loslassen.

Raumzeit- oder Ortskoordinaten haben hochstehenden Index. An jedem Punkt x denkt man sich auch die Richtungsvektoren angeheftet, die Tangenten, welche den Tangentialraum von derselben Dimension 4 bilden. Warum? Weil bei gekrümmten Räumen die Tangentialräume von Punkt zu Punkt schief zueinander liegen und eine Extrastruktur für ihren Zusammenhang zuständig ist. In der Speziellen Relativität ist alles noch flach, weil g() konstant ist. Gutgemeinte Vorsorge also: wer weiß, wann Interesse für die Allgemeine Relativität aufkommt?

Also, auf der Raumzeit gibt es Vektorfelder V(x), wobei der Wertebereich am Punkt x der dortige Tangentialraum ist. Wir schmeißen oft, nicht immer, alle Wertebereiche in denselben Topf. Vektorwerte als Tupel beziehen sich auf ein vorhandenes Koordinatensystem und haben den Hoch-Index .

Die Ableitungen von Funktionen f(x) auf der Raumzeit bekommen tiefen Index. $\partial _{\mu }f={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$. Warum? Weil der Gradient ein duales Objekt zu einem Vektorfeld ist. Das Vektorfeld "V" agiert auf dem Gradienten "df" nach der Formel $Vf==df(V):=V^{\mu }(x)\partial _{\mu }f(x)$. Geometrisch ist Vf die Richtungsableitung von f längs des Vektorfeldes V.

• Ein Vektorfeld wird stets aufgefasst als ein Differentialoperator.
• Ein Gradient df wird katalogisiert als eine '1-Form' oder 'Pfaffsche Form'.

Das magische Wort ist Dualität. Jeder Vektorraum hat einen dualen Raum derselben Dimension, die Menge aller linearen Formen (linearen Abbildungen auf den Körper, hier die reellen Zahlen). Der duale vom dualen Raum ist wieder der Raum, womit es anfing. Ein Tupel-Vektorraum hat Hoch-Indizes, der Dualraum hat dann Tief-Indizes.

Die Aktion von Dual-d auf Vektor-v ergibt einfach die Zahl $d_{\mu }v^{\mu }$. Die obigen Vektorfelder V und Gradienten df gehören zu dualen Räumen. Man definiert den Dualraum der Tangentialvektoren als den Raum der Differentialformen, weil er die Gradienten enthält. Aber Achtung! Es gibt Differentialformen, die nicht integrierbar sind, die keine Gradienten von einer Funktion sind. (Dunkle Erinnerung aus der Thermodynamik: dort werden die exakten, zu einer Zustandsfunktion integrierbaren 1-Formen mit dS oder so notiert, während die anderen ein minderwertiges $\delta$ -Symbol abkriegen).

Die Koordinaten selbst sind Funktionen $x^{\mu }$, deren Gradienten $dx^{\mu }$ eine duale Basis zu den 4 Richtungsableitungen bilden. Per Definition:

$dx^{\mu }(\partial _{\nu })=\partial _{\nu }x^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }$.

• Ein allgemeines Vektorfeld ist ein Operator $V=V^{\mu }(x)\partial _{\mu }$.
• Eine allgemeine Differentialform oder 1-Form ist $f=f_{\mu }(x)dx^{\mu }$.

Wenn auf einem Vektorraum eine symmetrische Bilinearform g(x,y), also ein nicht entartetes Skalarprodukt, definiert ist, dann kann jedem Vektor x ein Dualvektor ${\bar {x}}$ zugeordnet werden, nämlich $({\bar {x}})(y)=g(x,y)$. In Indizes: $g(x,y)=g_{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu }=({\bar {x}})_{\nu }y^{\nu }$.

In lockerer Sprechweise: mit Hilfe von g werden die Indizes von x heruntergezogen; dadurch wird er in einem Dualvektor verwandelt. Genauso wird ein Dualvektor durch 'Raufziehen' auf einen Vektor geworfen. Rauf- und Runterziehen sind selbstverständlich bijektive lineare Abbildungen.

Differentialform-Komponenten und die Unten-Indizes heißen kovariant, Vektorfeld-Komponenten und die Oben-Indizes sind kontravariant. Woher kommt das? Vom Verhalten solcher Objekte bei allgemeinen, sprich krummlinigen, Koordinatentransformationen. Kovariant ist definiert als das Schema, nach dem die natürliche Basis ${\partial _{\mu }}$ der Vektorfelder zu transformieren ist. Rechenregel: Basen einerseits, und Komponenten von Vektoren in diesen Basen andererseits, benutzen zueinander inverse Matrizen.

Sei $F:G\to H:x\mapsto y$ eine glatte, umkehrbare Abbildung von einem Gebiet G des $\mathbb {R} ^{n}$ in ein anderes Gebiet H. Ein Diffeomorphismus. Eine reellwertige Funktion h auf H induziert eine Funktion g auf G mit der Definition g(x)= h(F(x)). Ein Differentialoperator Z auf G sei losgelassen auf g:

$Z^{\mu }\partial _{\mu }g(x)=Z^{\mu }(\partial _{\nu }h){\frac {\partial F^{\nu }(x)}{\partial x^{\mu }}}=(\partial _{\mu }F^{\nu })Z^{\mu }(\partial _{\nu }h)$.

Operator Z wird mit der Jacobimatrix behandelt und von G nach H transportiert, wo er einen Differentialoperator auf der Bildmenge H darstellt. Kurz, die Abbildung F transportiert Vektorfelder von G nach H mittels der Jacobimatrix

$J(x)=DF(x);\quad y=F(x);\quad Z'(y)=DF(x)(Z(x))$.

Sei nun eine Differentialform w, duales Object zu Vektorfeldern, auf H definiert. Das heißt, $w(y)(Z'(y))=w(y)(DF(x)(Z(x)))$ ist reellwertig. Damit fällt auch direkt eine Differentialform auf G ab, definiert als $w'(x)=w(F(x))DF(x)$. Die Abbildung {F,DF} transportiert Differentialformen rückwärts von H nach G.

Will man Differentialformen, gegeben in Komponenten $f_{\mu }$, in derselben Richtung wie F verpflanzen, sollte das mit dem Inversen der Jacobimatrix geschehen. Vektorfeld-Komponenten migrieren entgegen der Richtung von F mit dieser Inversen.

Sei $F:G\to H:x\mapsto y$ ein Diffeomorphismus. Die Standardbasis der 1-Formen auf H kann in der auf G ausgedrückt werden.

$dy^{i}=({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{k}}})dx^{k}=J(x)_{k}^{i}dx^{k}$

Die Standardbasis der Vektorfelder auf G kann in der auf H beschrieben werden.

${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}={\frac {\partial }{\partial y^{i}}}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{k}}}=J(x)_{k}^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}$

Man sieht explizit, dass die dualen Objekte im Gegensinn migrieren.

Tensorfelder vom Typ (m,n) sind multilineare Formen auf m Argumenten vom dualen Typ 1-Form und n Argumenten vom Typ Vektorfeld. Der Tensor hat demnach m Hoch-Indizes und n Tief-Indizes, wenn dargestellt in Koordinaten. Bei Koordinatenwechsel werden die ersten, kontravarianten, mit der Jacobi-Matrix, die zweiten, kovarianten, mit ihrer Inversen umgerechnet.

Beispiel, ein metrischer Tensor, der von Punkt zu Punkt variiert. In einer Standardbasis

um Punkt $x:g(x)=g_{ij}(x)dx^{i}\otimes dx^{j}$.

Er hat zwei kovariante Indizes. Anwendung einer Koordinatentransformation $F:x\mapsto y$ und ihrer Jacobomatrix $J_{k}^{i}={\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{k}}}$.

Die Gleichung für die Komponenten von g in y-Koordinaten, nennen wir sie ${\bar {g}}_{kl}(y)$, lautet:

${\bar {g}}_{kl}(y)dy^{k}dy^{l}={\bar {g}}_{kl}J_{i}^{k}J_{j}^{l}dx^{i}dx^{j}=g_{ij}(x)dx^{i}dx^{j}$

Also ist nach ${\bar {g}}$ zu lösen: $g_{ij}(x)={\bar {g}}_{kl}(y)J_{i}^{k}(x)J_{j}^{l}(x)$.

Auch Tensorprodukte von Differentialformen migrieren mit der Matrix $(J)^{-1}$.